Hola de nuevo,
He hecho el problema otra vez, y mi duda en el último apartado se repite.
Sea \( X \) una variable aleatoria continua con función de densidad:
\( f_{X}(x)=\begin {Bmatrix}
a + bx& \mbox{ si } -1 < x < 1\\
\\
0& \mbox{ en otro caso }\\
\end{matrix} \)
Sabemos además que \( E(X) = 1/3 \).
- Calcular \( a \) y \( b \) para que \( f \) sea una función de densidad.
- Calcular la función de distribución de \( X \).
- Calcular \( E(X) \) y \( Var(X) \).
- Utilizando las fórmulas de transformación de variables, calcular la función de densidad de \( Y = X^2 \), y \( E(Y) \).
De nuevo voy a escribir los apartados que he realizado del problema:
- Calcular \( a \) y \( b \) para que \( f \) sea una función de densidad.
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x)\,dx = 1 \Rightarrow \int_{-1}^{1} f_{X}(x)\,dx = \int_{-1}^{1} (a + bx)\,dx = \left. \left(ax + \displaystyle\frac{bx^2}{2}\right) \right|_{-1}^1 = \)
\( = \left(a + \displaystyle\frac{b}{2}\right) - \left(-a + \displaystyle\frac{b}{2}\right) = 2a = 1 \Rightarrow a = \displaystyle\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} E(X)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_{X}(x)\,dx = \displaystyle\frac{1}{3} \Rightarrow \int_{-1}^{1} x \cdot (a + bx)\,dx = \)
\( = \displaystyle\int_{-1}^{1} (ax + bx^2)\,dx = \left. \left(\displaystyle\frac{ax^2}{2} + \displaystyle\frac{bx^3}{3}\right) \right|_{-1}^1 = \left(\displaystyle\frac{a}{2} + \displaystyle\frac{b}{3}\right) - \left(\displaystyle\frac{a}{2} + \displaystyle\frac{b}{3}\right) = \)
\( = \displaystyle\frac{2b}{3} = \displaystyle\frac{1}{3} \Rightarrow b = \displaystyle\frac{1}{2} \)
Por lo tanto, tenemos la siguiente función de densidad para \( X \):
\( f_{X}(x)=\begin {Bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2} \cdot (1 + x)& \mbox{ si } -1 < x < 1\\
\\
0& \mbox{ en otro caso }\\
\end{matrix} \)
- Calcular la función de distribución de \( X \).
\( F_{X}(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f_{X}(t)\,dt = \int_{-1}^{x} \left(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{2}t\right)\,dt = \left. \left(\displaystyle\frac{t}{2} + \displaystyle\frac{t^2}{4}\right) \right|_{-1}^x = \)
\( = \left(\displaystyle\frac{x}{2} + \displaystyle\frac{x^2}{4}\right) - \left(-\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{4}\right) = \displaystyle\frac{x}{2} + \displaystyle\frac{x^2}{4} + \displaystyle\frac{1}{4} = \displaystyle\frac{1}{4} \cdot (2x + x^2 + 1) = \displaystyle\frac{1}{4} \cdot (x + 1)^2 \)
\( F_{X}(x)=\begin {Bmatrix}
\displaystyle\frac{1}{4} \cdot (x + 1)^2& \mbox{ si } -1 < x <1\\
\\
0& \mbox{ en otro caso }\\
\end{matrix} \)
- Calcular \( E(X) \) y \( Var(X) \).
\( E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f_{X}(x)\,dx = \int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{1}{2}x \cdot \left(1 + x\right)\,dx = \int_{-1}^{1} \left(\dysplaystyle\frac{x}{2} + \dysplaystyle\frac{x^2}{2}\right)\,dx \)
\( = \left. \left(\displaystyle\frac{x^2}{4} + \displaystyle\frac{x^3}{6}\right) \right|_{-1}^1 = \left(\displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{6}\right) - \left(\displaystyle\frac{1}{4} - \displaystyle\frac{1}{6}\right) = \displaystyle\frac{2}{6} = \displaystyle\frac{1}{3} \)
\( Var(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \left(x - \displaystyle\frac{1}{3}\right)^2 \cdot f_{X}(x)\,dx = \int_{-1}^{1} \left(x^2 - \displaystyle\frac{2}{3}x + \displaystyle\frac{1}{9}\right) \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2} + \dysplaystyle\frac{x}{2}\right)\,dx = \)
\( = \displaystyle\int_{-1}^{1} \left(\displaystyle\frac{x^2}{2} + \displaystyle\frac{x^3}{2} - \displaystyle\frac{2}{6}x - \displaystyle\frac{2}{6}x^2 + \displaystyle\frac{1}{18} + \displaystyle\frac{x}{18}\right) \,dx = \int_{-1}^{1} \left(\displaystyle\frac{x^3}{2} + \displaystyle\frac{x^2}{6} - \displaystyle\frac{5}{18}x + \displaystyle\frac{1}{18}\right) \,dx = \)
\( = \left. \left(\displaystyle\frac{x^4}{8} + \displaystyle\frac{x^3}{18} - \displaystyle\frac{5}{36}x^2 + \displaystyle\frac{x}{18}\right) \right|_{-1}^1 = \left(\displaystyle\frac{1}{8} + \displaystyle\frac{1}{18} - \displaystyle\frac{5}{36} + \displaystyle\frac{1}{18}\right) - \left(\displaystyle\frac{1}{8} - \displaystyle\frac{1}{18} - \displaystyle\frac{5}{36} - \displaystyle\frac{1}{18}\right) = \)
\( = \displaystyle\frac{2}{18} + \displaystyle\frac{2}{18} = \displaystyle\frac{4}{18} = \displaystyle\frac{2}{9} \)
- Utilizando las fórmulas de transformación de variables, calcular la función de densidad de \( Y = X^2 \), y \( E(Y) \).
\( f_{Y}(y) = f_{X}(\sqrt{y}) \cdot \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y}} + f_{X}(-\sqrt{y}) \cdot \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y}} = \)
\( = \left(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{y}}{2}\right) \cdot \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y}} + \left(\displaystyle\frac{1}{2} -\displaystyle\frac{\sqrt{y}}{2}\right) \cdot \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y}} = \displaystyle\frac{1}{4\sqrt{y}} + \displaystyle\frac{\sqrt{y}}{4\sqrt{y}} + \displaystyle\frac{1}{4\sqrt{y}} - \displaystyle\frac{\sqrt{y}}{4\sqrt{y}} = \)
\( = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y}} \)
\( E(Y) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f_{Y}(y)\,dy = \displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{y}}\,dy = \left. \left(\displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{y}\right) \right|_{-1}^1 = \left. (\sqrt{y}) \right|_{-1}^1 = \)
\( = \sqrt{1} - \sqrt{-1} \Rightarrow ? \)
No sé si esto es correcto o me he equivocado en algún paso, porque la última expresión que me sale no está definida para los reales.
Muchas gracias por adelantado.
