[Michel]

Construir un triángulo rectángulo conociendo la suma de los catetos y el radio de la cirunferencia inscrita.

[Michel]

PISTA:

Encontrar una relación entre la suma de los catetos y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita

[hméndez]

PISTA:

Encontrar una relación entre la suma de los catetos y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita

Una solución:

Prefiero usar la formula de Poncelet:

\( c=a+b-2r \) aquí \( r \) es inradio \( c \) hipotenusa, \( a \) y \( b \) catetos.

1. Tomamos un segmento rectilíneo de longitud \( a+b \).
2. Trazamos una semirrecta formando angulo de 45° por uno de los extremos y haciendo centro
    en el otro extremo (al que denotamos por A) y con abertura \( a+b-2r \) trazamos una circunferencia.
3. La semirrecta intersectará la circunferencia en uno o dos puntos. ¿Por que? (se toma solo uno cualquiera al que denotamos por B)
4. Proyectando el punto B sobre el segmento en cuestión se obtiene otro punto (C).
5. Uniendo los puntos A, B, C se obtiene el triangulo pedido.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Mi solución en un applet:



Por la igualdad de tangentes a una circunferencia desde un punto, y teniendo en cuenta que \( \angle C \) es recto, \( c = a + b - 2r \).

El máximo valor de \( r \) corresponde a un triángulo rectángulo e isósceles, en el que \( a = b\textrm{ y }c = \sqrt[ ]{2}a \), para el que \( r = \dfrac{s}{2}- \dfrac{s}{2}\cdot{}\dfrac{\sqrt[ ]{2}}{2} = \dfrac{s(2-\sqrt[ ]{2})}{4} \).

\( \angle AIB = 180^\circ{} - \displaystyle\frac{\angle A}{2} - \displaystyle\frac{\angle B}{2} = 90^\circ{} + \dfrac{\angle C}{2} = 135^\circ{} \). Por tanto el incentro \( I \) debe estar en el arco \( AB \) de la circunferencia de centro \( P \) y en la recta \( CP \), pues la bisectriz divide al arco \( AB \) en dos partes iguales.

Saludos,