[ToniGim]

Gracias Luis   

Saludos

[ancape]

Efectivamente, tal y como dije en un comentario anterior, el resultado no sólo es cierto para elipses sino para cualquier tipo de cónica pues las construcciones empleadas, como el trazado de una normal desde un punto, son de tipo proyectivo y valen para todo tipo de cónicas.
Adjunto hojas de Geogebra en las que hago la representación animada para una hipérbola.

[ancape]

Buscar una circunferencia que sea a la vez tangente a los ejes de la hipérbola y a ésta, no tiene sentido, pero podemos sustituir el problema por el de hallar una circunferencia tangente a la hipérbola, su eje mayor y un recta paralela al eje menor.
Adjunto hoja de Geogebra con la construcción que sigue la misma pauta de la empleada con elipses, esto es, el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la hipérbola y a su eje mayor es otra cónica.
Lo mismo podría hacerse si la segunda recta no es paralela la eje menor, sino que simplemente corta al eje mayor.

Saludos

[ToniGim]

Buenos días Ancape
La construcción que haces con Geogebra (cónica por cinco puntos) ¿De dónde salen esos cinco puntos?
Saludos

[ToniGim]

Buenos días Luis:
¿Alguna pista de cómo lo has hecho? Lo he intentado pero es muy engorroso
saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Adjunto hoja de Geogebra que da la construcción del primer fotograma de la hoja que publiqué anteriormente, esto es, la circunferencia que es tangente a la elipse y los ejes de ésta.
Observar la similitud de este problema con el de Apolonio CRR 'Circunferencia tangente a dos rectas y un círculo dados'. Probablemente se pueda hacer la construcción, tanto la fija como la de la circunferencia móvil, para toda cónica y todo par de rectas. Seguiré pensando en este problema.

Pues, si no me equivoco, NO está bien. No es cierto que los centros de las circunferencias describan una elipse; de hecho ni siquiera describen una cónica.

Hay una cosa que no me cuadraba desde el principio, y es hacer la construcción comenzando con el punto del eje \( OX \) que es la intersección de tal eje con la normal a la elipse en el punto de tangencia.

Dado que por ahora no somos capaces de iniciar la construcción a partir del punto de tangencia con el eje \( OX \), que sería lo ideal, lo más natural es hacer la construcción tomando como punto de partida el punto de tangencia sobre la elipse.

La construcción es muy sencilla ahora. En este gráfico pueden modificarse los puntos \( A,B \) para variar el tamaño de la elipse. Podemos variar el punto \( C \) para mover el punto de tangencia con la elipse de la circunferencia tangente a \( OX \) y a la elipse.

La curva verde es el lugar geométrico de los centros y como he dicho no es una elipse y ni tan siquiera una cónica.


Saludos.

[ToniGim]

Corrijo la figura inicial sustituyendo D por d para que se ajuste a las ecuaciones de Luis

[Luis Fuentes]

Hola

Corrijo la figura inicial sustituyendo D por d para que se ajuste a las ecuaciones de Luis

¿Alguna pista de cómo lo has hecho? Lo he intentado pero es muy engorroso
saludos

Si te fijas tenía alguna error que he corregido.

\( x=\dfrac{\color{red}a^2\cdot d\color{black}}{a^2-b^2} \)

\( y=\dfrac{b\sqrt{(a^2-b^2)^2-a^2d^2}}{a^2-b^2} \)

\( \color{red}\cancel{R=\dfrac{a^2 d-b \sqrt{(a^2-b^2)^2-a^2 d^2}}{a^2-b^2}}\color{red} \)

OJO. Esto no es del todo correcto. Esa d que pongo ahí no es la distancia del centro al eje \( OY \), sino la abcisa del punto de corte de la normal a la elipse por el punto de tangencia con el eje \( OX \).

El valor de \( R \) se podría calcular igualmente, pero no es una expresión muy bonita. La cosa es que poner todo en función de esa distancia \( d \) (con el significado que comenté antes), ahora no me parece demasiado natural.

Para eso es muy fácil hacer la construcción tomando como punto de partida el propio punto de tangencia con la elipse, como he indicado en mi mensaje anterior.

A partir de ahí también pueden calcularse las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes, que NO es una cónica.

Resumiendo se tiene:

- El punto de tangencia, que es un punto cualquiera de la elipse, puede parametrizarse como:

\( x(t)=acos(t),\quad y(t)=bcos(t) \)

- A partir de ahí puede verse que el radio de la circunferencia tangente correspondiente es:

\( R(t)=\dfrac{b^2y(t)\sqrt{\frac{x(t)^2}{a^4}+\frac{y(t)^2}{b^4}}}{y(t)+b^2\sqrt{\frac{x(t)^2}{a^4}+\frac{y(t)^2}{b^4}}} \)

- Y el centro:

\( Centro(t)=(x(t),y(t))-R(t)\cdot \dfrac{(x(t)/a^2,y(t)/b^2)}{\sqrt{\frac{x(t)^2}{a^4}+\frac{y(t)^2}{b^4}}} \)

Saludos.

[ancape]

Hola

Pues, si no me equivoco, NO está bien. No es cierto que los centros de las circunferencias describan una elipse; de hecho ni siquiera describen una cónica.

Hay una cosa que no me cuadraba desde el principio, y es hacer la construcción comenzando con el punto del eje \( OX \) que es la intersección de tal eje con la normal a la elipse en el punto de tangencia.

Dado que por ahora no somos capaces de iniciar la construcción a partir del punto de tangencia con el eje \( OX \), que sería lo ideal, lo más natural es hacer la construcción tomando como punto de partida el punto de tangencia sobre la elipse.

La construcción es muy sencilla ahora. En este gráfico pueden modificarse los puntos \( A,B \) para variar el tamaño de la elipse. Podemos variar el punto \( C \) para mover el punto de tangencia con la elipse de la circunferencia tangente a \( OX \) y a la elipse.

La curva verde es el lugar geométrico de los centros y como he dicho no es una elipse y ni tan siquiera una cónica.


Saludos.

Luis
Efectivamente, la curva COMPLETA que describen los centros de los círculos buscados no es una cónica pero sí lo es el arco que tengamos en la franja (-t0,t0) que da los puntos que interesan cuando se pretende buscar la circunferencia tangente a la elipse, el eje OX y el eje OY. Si no, ¿Cómo explicas que la construcción funciona cuando mueves la elipse, cambias sus focos o un punto para hacerla mas o menos esbelta. También funciona si cambias la elipse por otro tipo de cónica (por ejemplo una hipérbola) e incluso cuando buscas construcciones con ejes no perpendiculares.

La construcción que haces está muy bien si partimos del punto de tangencia, pero nuestro problema es que no lo conocemos, sólo el punto del eje OX que dista D del centro. Aún así, prueba que la curva de centros no es una cónica (si la consideramos entera). Ya que has calculado el centro (lo que te sirve para calcular la curva verde), mira el valor máximo  alrededor de t=0  para que el arco de curva de los centros sea una cónica. Evidentemente, dicho valor dependerá de la precisión que impongamos pero en cualquier caso, de la expresión que obtienes de la curva de centros, es claro que el límite cuando t tiende a cero es una expresión de 2º grado, esto es, una cónica.
Si lo que se pretende es dar una construcción genérica de círculos tangentes al eje OX y la cónica, no se usa el lugar de centros, así que todas las hojas que he expuesto siguen siendo válidas.

Soy consciente de que soy un forero con karma = -5, esto es, calificación de COMPLETAMENTE IGNORANTE, pero las matemáticas no son opinables y cuando algo está bien puede sostenerse independientemente que quienes sean los interlocutores. Te recomiendo que leas el problema de Monty Hall https://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html
cuando se publicó su solución generó no poca polémica en la que incluso matemáticos de cierto prestigio arremetieron contra la autora y la tacharon de ignorante.

[ancape]

Buenos días Ancape
La construcción que haces con Geogebra (cónica por cinco puntos) ¿De dónde salen esos cinco puntos?
Saludos

Los puntos se eligen arbitrariamente, la única condición es la de ser próximos al eje OY o en el caso general a la segunda recta a la que la circunferencia debe ser tangente. Mira la respuesta que he dado a Luis para desarrollar el concepto 'próximos'

Saludos