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Estadística / Re: Error tipo I y tipo II
« Último mensaje por nktclau en Ayer a las 06:28 pm »
Gracias martiniano intento a ver que pasa
 Millon de gracias!!! ;)
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Álgebra / Descomposición vectorial
« Último mensaje por franpiece en Ayer a las 06:22 pm »
Hola muy buenas a todos, gracias de antemano por la ayuda.
Enunciado del ejercicio:

El conjunto \( \left\{{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}}\right\} \) es linealmente independiente. Descompon el vector \( \vec{a} \)= 5\( \vec{i} \) + 2\( \vec{j} \) + \( \vec{k} \) en componentes paralelos a \( \vec{e} \)1 = \( \vec{i} \) + \( \vec{j} \),      \( \vec{e} \)2 = \( \vec{j} \) + \( \vec{k} \)    y    \( \vec{e} \)3 = \( \vec{i} \) + \( \vec{k} \)

He intentado resolverlo por mi cuenta pero solo me he liado más. Ya sea vídeos u otra cosa que creaís que me puedan ayudar por favor no dudeís en enviarlo siempre es bien recibido.

Gracias y un saludo.
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Estadística / Re: Error tipo I y tipo II
« Último mensaje por martiniano en Ayer a las 06:21 pm »
Vale.

Viéndolo así creo que lo que te están pidiendo es que consideres que ahora la región de aceptación sea de la forma \( [68-A,68+A] \) y que tomes una muestra de tamaño \( n \) de manera que:

\( P[N(68,3.6/\sqrt[ ]{n})\not\in{[68-A,68+A]}]=0.1 \)
\( P[N(69,3.6/\sqrt[ ]{n})\in{[68-A,68+A}]=0.05 \)

De aquí sacas un sistema en \( n \) y \( A \). Para resolverlo probablemente necesites algún recurso no convencional, es decir, algún método numérico o algún programa que te permita resolver ecuaciones en las que esté implicada la función de distribución de la \( N(0,1) \).

Espero que te sirva. Un saludo.
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Me explicarían cómo hacer el cálculo por favor.
Calcular: ( a). la masa de la Tierra sabiendo que la velocidad de escape es de 40.000 km/h y su radio es de 6.500 km.
(b). ¿Qué radio debería tener la Tierra para convertirse en un agujero negro?


Título corregido desde la moderación del foro.
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Análisis Matemático / Re: desarrollo en serie de pontencias
« Último mensaje por Masacroso en Ayer a las 06:12 pm »
cuando dices "\( \left(\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}\right)^{-1}
 \)" significa entiendo \( \displaystyle\frac{1}{\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}
} \).

Exacto.

Citar
Si eso es así no entiendo muy bien de donde sale.

Sale de que \( e^x=\sum_{k\geqslant 0}x^k/k! \).

Citar
Es decir, que lo que yo esperaría es que la serie de potencias fuera, \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{1}{n}(-1)^{n+1}x^n} \).

No es eso. La serie de Maclaurin de la función del ejercicio tiene por coeficientes los números de Bernoulli divididos por factoriales, que son los coeficientes que te iban saliendo antes, es decir que en un entorno del cero

\( \displaystyle{
\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k\geqslant 0}B_k \frac{x^k}{k!}
} \)

donde los \( B_k \) son los números de Bernoulli. Desde luego el ejercicio no es tan sencillo.

Citar
Aparte de eso, no se si el demostrar que existe la serie reciproca formal de potencias es un teorema que prueba que si eso pasa entonces la serie de potencias de \( f \) es precisamente la que tu mencionas. En caso de ser así se trata de algo que también tendría que probar en mi ejercicio.

Gracias y un saludo.

Eso ya no lo sé, dependerá de la teoría que conozcas. El camino de arriba me parece más sencillo que el intentar mostrar que las derivadas en el cero existen, habría que intentar el otro camino, el cual con algo de álgebra, y algún que otro teorema, se reduce a demostrar que los límites

\( \displaystyle{
\lim_{x\to 0}\left(x\partial ^n\frac1{e^x-1}+n\partial ^{n-1}\frac1{e^x-1}\right),\quad n\geqslant 1
} \)

existen y son finitos. Se sigue de la fórmula de derivadas consecutivas para el producto (y la continuidad uniforme de \( f \) y de que \( f' \) está acotada en \( [-1,1]\setminus \{0\} \), que implican que el límite de la derivada sea la derivada en el origen), mira aquí.
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Matemáticas Generales / Re: Calcular la derivada de la inversa
« Último mensaje por Fernando Revilla en Ayer a las 06:06 pm »
Hola no consigo calcular la derivada  de la inversa de esta función \( f(x)=5x^9+x-1 \), \( x \in [-1,2] \) Calcular \( {(f^{-1})}^{\prime}(5) \) , hint: \( f(1)=5 \) , la función e sestrictamente creciente en  \( x \in [-1,2] \) por lo tanto tiene inversa

Por el teorema de la función inversa, \[ {(f^{-1})}^{\prime}(5)=\displaystyle\frac{1}{f^\prime (1)}=\ldots \]
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Análisis Matemático / Re: desarrollo en serie de pontencias
« Último mensaje por mg en Ayer a las 05:44 pm »
Hola,

Entonces parece que es un tema algo complicado porque demostrar que \( \displaystyle\frac{x}{e^x-1} \) es \( C^{\infty} \) en 0 no parece tan fácil. Pienso en usar inducción pero no se muy bien como sobre qué aplicarlo.

La verdad es que es, como poco, enfarragoso. Hay un camino más directo sin tener que derivar, que es observar que

\( \displaystyle{
\frac{x}{e^x-1}=\left(\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}\right)^{-1}
} \)

Entonces se puede demostrar que la serie anterior tiene una serie recíproca, es decir, que existe una serie formal de potencias \( \sum_{k\geqslant 0}a_k x^k \) tal que

\( \displaystyle{
\left(\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}\right)\left(\sum_{k\geqslant 0}a_k x^k\right)=1
} \)

La parte delicada es demostrar que si \( \sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!} \) tiene radio de convergencia positivo entonces la recíproca también tiene radio de convergencia positivo.

Luego, suponiendo que hayamos demostrado todo eso, hallar el radio de convergencia exacto de la serie es fácil desde el análisis complejo, desde el análisis real me parece complicado, y de hecho no sé si es posible.


cuando dices "\( \left(\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}\right)^{-1}
 \)" significa entiendo \( \displaystyle\frac{1}{\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}
} \). Si eso es así no entiendo muy bien de donde sale. Además según tengo entendido si existe el desarrollo en serie de potencias entonces los coeficientes de las \( x^n \) deben ser precisamente los me van saliendo aqui(los de la serie de mclaurin)
Cita de: mglink=topic=115084.msg456986#msg456986 date=1606402201
Hola,

Entonces parece que es un tema algo complicado porque demostrar que \( \displaystyle\frac{x}{e^x-1} \) es \( C^{\infty} \) en 0 no parece tan facil. Pienso en usar inducción pero no se muy bien como sobre qué aplicarlo.
En primer lugar se observa que \( \displaystyle\frac{x}{e^x-1} \) es un infinitesimo por tanto su límite cuando tiende a 0 existe y es 1.
La primera derivada por ejemplo es \( \displaystyle\frac{e^x-1-xe^x}{(e^x-1)^2} \), que usando L'Hopital queda que \( -\displaystyle\frac{x}{2(e^x-1)} \) que tomando limite cuando tiende a 0 da -1/2.

La segunda es \( \displaystyle\frac{e^{2x}(x-2)+xe^x+2e^x}{(e^x-1)^3} \), que tras aplicar L'Hopital dos veces queda el límite cuando tiende a cero es 1/3.

Parece entonces que \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{f^{n)}(x)}=\displaystyle\frac{1}{n}(-1)^{n+1} \)... No se muy bien como seguir en este punto. ¿me echan una mano? :D

es decir, que lo que yo esperaría es que la serie de potencias fuera, \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{1}{n}(-1)^{n+1}x^n} \).


Aparte de eso, no se si el demostrar que existe la serie reciproca formal de potencias es un teorema que prueba que si eso pasa entonces la serie de potencias de \( f \) es precisamente la que tu mencionas. En caso de ser así se trata de algo que también tendría que probar en mi ejercicio.

Gracias y un saludo.
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Análisis Matemático / Re: desarrollo en serie de pontencias
« Último mensaje por Masacroso en Ayer a las 05:28 pm »
Hola,

Entonces parece que es un tema algo complicado porque demostrar que \( \displaystyle\frac{x}{e^x-1} \) es \( C^{\infty} \) en 0 no parece tan fácil. Pienso en usar inducción pero no se muy bien como sobre qué aplicarlo.

La verdad es que es, como poco, enfarragoso. Hay un camino más directo sin tener que derivar, que es observar que

\( \displaystyle{
\frac{x}{e^x-1}=\left(\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}\right)^{-1}
} \)

Entonces se puede demostrar que la serie anterior tiene una serie recíproca, es decir, que existe una serie formal de potencias \( \sum_{k\geqslant 0}a_k x^k \) tal que

\( \displaystyle{
\left(\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}\right)\left(\sum_{k\geqslant 0}a_k x^k\right)=1
} \)

La parte delicada es demostrar que si \( \sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!} \) tiene radio de convergencia positivo entonces la recíproca también tiene radio de convergencia positivo.

Luego, suponiendo que hayamos demostrado todo eso, hallar el radio de convergencia exacto de la serie es fácil desde el análisis complejo, desde el análisis real me parece complicado, y de hecho no sé si es posible.
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Cálculo 1 variable / Re: Recorrido Teorema del valor intermedio
« Último mensaje por cristianoceli en Ayer a las 05:27 pm »
Se sabe que la función \( f(x)=5x^9+x-1 \) , \( x \in [-1,2] \) es estrictamente creciente en el intervalo \( [−1, 2]  \)y por lo tanto posee una inversa.  Explicar (usando el teorema del valor intermedio) ¿por que el recorrido \( \mathbb{R}(f)  \)es el intervalo\(  [f(−1), f(2)]  \)?.

Al ser \( f \) estrictamente creciente, \( f(-1) \) es mínimo absoluto y \( f(2) \) máximo absoluto. Al ser \( f \) continua, por el teorema de los valores intermedios \( f \) toma todo valor en el intervalo \( [f(-1),f(2)] \).

Probar que la ecuación \( f(x) = 0 \) tiene una única raíz \( c \in [0, 1] \).

Tenemos \( f(0)=-1<0 \) y \( f(1)=5>0 \). Aplica el teorema de Bolzano y que \( f \) es estrictamente creciente.

Muchas gracias fernado ahi ahora me quedó claro.

Saludos
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Matemáticas Generales / Calcular la derivada de la inversa
« Último mensaje por cristianoceli en Ayer a las 05:26 pm »
Hola no consigo calcular la derivada  de la inversa de esta función \( f(x)=5x^9+x-1 \), \( x \in [-1,2] \)

Calcular \( {(f^{-1})}^{\prime}(5) \) , hint: \( f(1)=5 \) , la función e sestrictamente creciente en  \( x \in [-1,2] \) por lo tanto tiene inversa

No consigo hacerlo de antemano gracias. No entiendo muy bien en que me ayuda la pista

Saludos
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