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Sean dos racionales positivos t,k; t>k. Ambos se pueden expresar por medio de fracciones que tengan un mismo denominador (por equivalencia). Entonces, supongamos
\( 1=t^{3}-k^{3}
  \) \( 1=\dfrac{c^{3}}{a^{3}}-\dfrac{b^{3}}{a^{3}}
  \) \( a^{3}=c^{3}-b^{3}
  \), \( a^{3}+b^{3}=c^{3}
  \). Parece que “k” y “t” no pueden ser ambos racionales

No existen tales racionales \( t \) y \( k \). Si existieran, tú mismo has demostrado que existen enteros \( a,b.c \) con \( abc\ne 0 \) tales que \( a^{3}+b^{3}=c^{3} \) en contradicción con el último teorema de Fermat.
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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Espacio vectorial L^1
« Último mensaje por Masacroso en Hoy a las 02:15 pm »
Una cosa se me pasó ayer, y es que esta identidad \( \sum_{\geqslant 1}\|f_n\|=\lim_{m\to\infty}\left\|\sum_{n=1}^m|f_n|\right\| \) no se puede justificar apelando al teorema de Tonelli para una medida \( \mu \) cualquiera, es necesario que \( \mu \) sea \( \sigma  \)-finita. Pero sí podemos utilizar el teorema de convergencia monótona.
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Foro general / Re: Problema matricula combinatoria
« Último mensaje por Masacroso en Hoy a las 01:36 pm »
Buenas,

Tengo una duda con el siguiente problema. Agradezco si me dan una solución.
Las matrículas anteriores a 1971 constaban del código de la ciudad, formado por una o dos letras, y, a continuación, un número de 6 cifras. ¿Cuántas matrículas de la provincia de Madrid, M, podrían acabar en 1?

Desde mi punto de vista es una variación con repetición de 10 elementos agrupados de 5 en 5, por lo tanto el resultado es 100000 matrículas diferentes.


Para cada cifra de la matrícula puedes elegir entre diez cifras diferentes posibles, de la cifra 0 a la cifra 9. La última cifra ya está ocupada, por tanto la cantidad de matrículas posibles son \( 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^{5}  \).
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(b)    \( (E,·) \) tiene elementos idempotentes. Si tiene sólo un idempotente, este es además el absorbente.
Si \[ x \in E \], tienes que \[ x^{2n+1}=x^nxx^n=xx^nx=x^{n+2} \] y \[ x^{2n+2}=x^nx^2x^n=x^2x^nx^2=x^{n+4} \]. Usando estas dos fórmulas, es fácil ver que \[ x^8=x^4 \] y por tanto, que \[ x^4 \] es idempotente.
Para la segunda parte imagino que hay que ver que si \[ y\in E \] entonces \[ yx^4 \] y \[ x^4y \] son idempotentes. He estado trasteando un poco pero no me ha salido.
Para la segunda parte, sea \[ e \] el único idempotente. Entonces, para cualquier \[ x\in E \] se tiene \[ (exe)^2=exeexe=e(xex)e=e(exe)e=exe \], luego \[ exe \] es idempotente y por la unicidad \[ exe=e \]. Ahora, \[ (ex)^2=exex=ex \], luego \[ ex \] es idempotente y por la unicidad \[ ex=e \]. De igual forma se prueba que \[ xe=e \].


Citar
(c)    Si \( (E,·) \) es un monoide, entonces es conmutativo (es decir, que \( xy=yx \) para todo \( x, y \in{E} \))
Si \[ e \] es el neutro, tienes que para todo \[ x\in E \], \[ x=exe=xex=x^2 \].
Luego, para todo \[ x,y\in E \] se tiene \[ xy=(xy)^2 \] y \[ yx=(yx)^2 \]. Por tanto el problema se reduce a ver que \[ (xy)^2=xyxy \] es igual a \[ (yx)^2=yxyx \]. En efecto: \[ xyxy=yxyy=yxy=xyx=xyxx=yxyx \].

Modificado
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Teorema de Fermat / Duda: si $$1=t^{3}-k^{3} $$, ¿pueden ser racionales k y t?
« Último mensaje por feriva en Hoy a las 12:50 pm »
Sean dos racionales positivos t,k; t>k. Ambos se pueden expresar por medio de fracciones que tengan un mismo denominador (por equivalencia). Entonces, supongamos

\( 1=t^{3}-k^{3}
  \)

\( 1=\dfrac{c^{3}}{a^{3}}-\dfrac{b^{3}}{a^{3}}
  \)

\( a^{3}=c^{3}-b^{3}
  \), \( a^{3}+b^{3}=c^{3}
  \).

Parece que “k” y “t” no pueden ser ambos racionales; parece que no pueden existir los cubos de dos racionales positivos a distancia de una unidad.

Pero si a WolframAlpha le doy \( 1=t^{3}-k^{3}
  \) y le digo que “t” es un racional, me dice que k también; o eso interpreto:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%3Dt%5E3-k%5E3%2C+t+is+a+rational+number

No sé si es que lo interpreto mal, si la máquina no se da cuenta o si he considerado mal algo previamente.

Saludos.
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Foro general / Problema matricula combinatoria
« Último mensaje por estelaalg en Hoy a las 12:09 pm »
Buenas,

Tengo una duda con el siguiente problema. Agradezco si me dan una solución.
Las matrículas anteriores a 1971 constaban del código de la ciudad, formado por una o dos letras, y, a continuación, un número de 6 cifras. ¿Cuántas matrículas de la provincia de Madrid, M, podrían acabar en 1?

Desde mi punto de vista es una variación con repetición de 10 elementos agrupados de 5 en 5, por lo tanto el resultado es 100000 matrículas diferentes.
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Estructuras algebraicas / Re: Notación en Ideales y anillos
« Último mensaje por geómetracat en Hoy a las 10:55 am »
Hola,
Gracias por la aclaración.
Tengo un ejercicio cuyo enunciado es:

Son \( 2Z/8Z \) y \( Z_4 \) anillos isomórficos?

Y la respuesta es que no son isomórficos porque \( 2Z/8Z \) no tiene unidad, pero  \( Z_4 \) si la tiene.
Esa respuesta no implicaría que Z8 ha de ser subgrupo (y subanillo)?

Pero eso es distinto de lo que pusiste antes. No es lo mismo \[ 2Z/8Z \] que \[ Z_2/8Z \]. Lo primero tiene sentido, lo segundo no. Tanto \[ 2Z \] como \[ 8Z \] son ideales (y subanillos, si consideras anillos no unitarios) del anillo \[ Z \], y además \[ 8Z \] es un ideal del anillo no unitario \[ 2Z \], por lo que tiene sentido considerar el cociente.

En cambio, \[ 8Z \] no es un ideal del anillo \[ Z_2 \], por lo que el cociente \[ Z_2/8Z \] no tiene sentido.
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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Espacio vectorial L^1
« Último mensaje por mnrelk en Hoy a las 10:45 am »
¿Cómo puedo probar que si \( (X,M,\mu) \) es un espacio de medida completo entonces \( (L^1(\mu),\left\|{·}\right\|_{1}) \) es un espacio de Banach?

Siendo \( L^1(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrales, se prueba fácilmente que es un espacio vectorial y que la expresión \( \left\|{f}\right\|_{1}=\displaystyle\int_{X}\left |{f}\right |d\mu \) define una norma en él.

Se me indica que puedo usar la siguiente proposición: ''Si \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es un espacio vectorial normado tal que para toda sucesión de vectores \( (v)_n \) en \( V \) con la propiedad de que \( \sum_{n=1}^\infty\left\|{v_n}\right\|<+\infty \), se cumple que \( \sum_{n=1}^\infty(v_n) \) converge. Entonces \( (V, \left\|{·}\right\|) \) es completo".

He empezado tomando una sucesión \( \{f_n\} \) de Cauchy en \( L^1(\mu) \) y a continuación he considerado la sucesión \( \varphi_n =\sum_{i=1}^n\left |{f_i}\right | \). Se tiene que  \( \displaystyle\int\varphi_n =\sum _{i=1}^{n} \displaystyle\int\left |{f_i}\right |= \sum _{i=1}^{n} \left\|{f_i}\right\|_{1} \). Creo que la demostración va en este dirección, ¿pero cómo puedo seguir?

Gracias de antemano.

Curiosamente se preguntó lo mismo hace un par de días, es el punto tres del siguiente hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116404.msg465272

Básicamente se sigue que si \( \sum_{n\geqslant 1}\|f_n\|<\infty  \) entonces \( \sum_{n\geqslant 1}|f_n(x)|<\infty  \) casi en todas partes ya que \( \sum_{\geqslant 1}\|f_n\|=\lim_{m\to\infty}\left\|\sum_{n=1}^m|f_n|\right\| \) (lo que se sigue del teorema de Tonelli o del de convergencia monótona), por tanto en los puntos en los que \( g:=\sum_{n\geqslant 1}f_n \) no converge se puede dar cualquier valor a \( g \) ya que en verdad cada \( f_n \) es una clase de equivalencia de funciones. La función (o clase de equivalencia) \( g \) resultante pertenece a \( L^1 \), para verlo puedes descomponer cada \( f_n \) en sus partes positivas y negativas.

Por cierto, para aclarar, ¿por espacio de medida completo te refieres a que cada subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula también?

Sí, esa es la definición de espacio de medida completo con la que trabajo. Gracias por la ayuda.
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Estructuras algebraicas / Re: Notación en Ideales y anillos
« Último mensaje por FernandoGG en Hoy a las 10:18 am »
Hola,
Gracias por la aclaración.
Tengo un ejercicio cuyo enunciado es:

Son \( 2Z/8Z \) y \( Z_4 \) anillos isomórficos?

Y la respuesta es que no son isomórficos porque \( 2Z/8Z \) no tiene unidad, pero  \( Z_4 \) si la tiene.
Esa respuesta no implicaría que Z8 ha de ser subgrupo (y subanillo)?

Y mis disculpas por no escribir anteriormente en Latex. Había mirado el tutorial, pero  el botón del tutorial es "TEX" y ahora parece ser que es el que tiene el sumatorio, con lo que no lo encontraba.

Gracias

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Foro general / Re: Estructura oculta de los números primos
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 09:09 am »
Hola

¿Todos ellos responden a deducciones "inmediatas" u obvias, como la que apunta LUIS, o alguno de esos trabajos va más allá y, aunque este asunto pueda ser un "saco sin fondo", sin embargo SI que se ahonda en dichos artículos en "estructuras profundas, de alta complejidad"?
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La pregunta es muy vaga, demasiado general y así planteada su repuesta es obvia: ¡claro qué hay trabajos qué estudian en profundidad mil y una propiedades sobre los números primos!.

Saludos.
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