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Teorema de Fermat / Re: UTF3 por absurdo
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 10:52 pm »
Hola

Tenemos pues que  \( -z^3=(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2)\,=\,\pm\omega\cdot\omega^2\cdot a_1^3\cdot (a_2+b_2\omega)^3 \cdot (a_3+b_3\omega)^3 \) .  Y :  \( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega)\,=\,\pm a_1(a_2a_3+a_2b_3\omega^2+b_2a_3\omega+b_2b_3\omega^3) \)   \( \Rightarrow \)  \( -z=\pm a_1(a_2a_3+b_2b_3-a_2b_3+(b_2a_3-a_2b_3)\omega) \) .  Por tanto, para que la igualdad tenga sentido y no haya términos  \( \omega \)  a la derecha:  \( b_2a_3-a_2b_3=0 \)  -ó-  \( a_2b_3-b_2a_3=0 \)  -y-  \( a_2b_3=b_2a_3 \) .  Pero como  \( a_2 \)  es coprimo con  \( b_2 \)  -y-  \( b_3 \)  es coprimo con  \( a_3 \) ;  entonces no queda otra que  \( a_2=a_3 \)  -y- que  \( b_2=b_3 \) .     

Ahí no sería:

\( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega)\,=\,\pm a_1(a_2a_3+\color{red}a_2b_3\omega\color{black}+b_2a_3\omega+\color{red}b_2b_3\omega^2\color{black}) \)   \( \Rightarrow \) 

Saludos.
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Sabiendo que no había malinterpretado tu fórmula he insistido y finalmente he encontrado mi error en cómo la he trasladado al excel. Ya está  :aplauso: :aplauso: :aplauso: Me será de de mucha utilidad vuestra ayuda, tengo afición por diseñar juegos y necesitaba una plantilla para calcular probabilidades lanzando diferentes tipos y combinaciones de dados. Gracias de nuevo!!

Si te gusta el diseño de juegos (cosa que yo he practicado algunas veces, años ha) y sabes escribir en inglés, te recomiendo este foro:

http://www.bgdf.com/

En su día no encontré nada semejante en castellano.
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Álgebra / Re: Base y Notación matricial
« Último mensaje por delmar en Hoy a las 09:27 pm »
Hola

Te ayudo con las 3 primeras.

1. Usualmente es en la segunda forma, observa que en ese caso, las columnas son las componentes de los vectores de la base respecto a la base canónica. En la primera forma, las filas serían las componentes de los vectores de la base respecto a la base canónica. ¿Para que se utiliza esa matriz?

2. Según el contexto anterior, la matriz de la base se escribiría en la primera forma y sí la multiplicación se haría con la matriz a la derecha. ¿Que representa el vector? ¿Que significa la multiplicación?

3. Correcto y nuevamente conveniente es responder a las interrogantes de la respuesta 2.


Saludos

Nota : Es conveniente mostrar el contexto del cual surgen las interrogantes.
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Álgebra / Base y Notación matricial
« Último mensaje por athairdos en Hoy a las 07:38 pm »
Hola; tengo la siguiente dudas (sobre notación, etc.):

1-Dada una base en un espacio vectorial, por ejemplo: (2, 2) y (1, 4) en \( \mathbb{R^2} \) la matriz formada por los mismos, se escribe en la forma \( \begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{4}\end{pmatrix} \) ó en la forma  \( \begin{pmatrix}{2}&{1}\\{2}&{4}\end{pmatrix} \)?

2-los vectores en el contexto anterior se escriben.como.vectores fila y, en cuyo caso, la multiplicacion de un vector (fila) por una matriz se hace con la.matriz en la derecha (multiplicación por derecha)?

3-también se puede representar cada vector como vector columna y, en ese caso, la multiplicacion por una matriz se hace con la matriz a izquierda?

4-si ambas opciones anteriores fueran posibles, de qué depende la elección de una u otra opción?

5-una forma de representación de una base (en un espacio vectorial) es por medio de la matriz que se puede formar con los vectores de la misma?

6-(si la anterior fuera correcta) un cambio de base se puede expresar como producto de dos matrices (cada una representando una base: ej. la matriz de la derecha sería la nueva.base)?

Gracias

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Pero son gratis 100%?
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Gracias por compartir.
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Gracias por la respuesta; lo que comentas es cierto, he de reconocer; se ve que para.estudiar este tema se necesita un buen grado de dominio de algebra y geometría. Yo carezco de ambos, de ahí que mis preguntas de algun modo mezclan varias cuestiones. Tengo 2 libros q tratan el tema; en el libro de Birkhoff, por ejemplo, se tratan los temas de geometria afin y proyectiva en no mas de 5 páginas (se nota que se trata de presentaciones muy compactas, probablemente para personas de nivel mas o menos avanzado); otro libro es de Santaló, y es extenso pero tampoco es para principiantes. Parecería necesaria una especie de orientación del algebra a los temas específicos; sin embargo, en el libro de algebra que tengo la presentación del.algebra es mas genérica, por así decir (a veces, algo de esa especificación puede encontrarse en las secciones de ejercicios de los capítulos de un libro).
 
Saludos
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Teorema de Fermat / UTF3 por absurdo
« Último mensaje por Fernando Moreno en Hoy a las 05:15 pm »
Hola,

Supongamos que  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros y coprimos entre sí. 

Si  \( 3 \)  no divide á  \( x,y,z \) ,  entonces  \( x^3+y^3+z^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Porque  \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) .  De esta manera, establezcamos que  \( 3 \)  divide á  \( x \) . 

Luego:  \( -z^3=x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy) \) .  Los dos factores de la derecha son coprimos salvo por  \( 3 \) ,  si  \( 3 \)  divide á  \( x+y \)  -y-, por tanto, á  \( z \) .  Pero no es el caso. Además  \( (x+y)^2-3xy=(x+y\omega)(x+y\omega^2) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) ,  la raíz primitiva tercera de la unidad. Y :  \( x+y\omega\,\,,\,\,x+y\omega^2 \)  son coprimos, porque su suma es  \( 2x+y\omega(1+\omega) \)  y su diferencia  \( y\omega(1-\omega) \) ;  siendo  \( \omega \)  -y-  \( \omega+1 \)  unidades en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Y:  \( 1-\omega \)  es el asociado de un primo que divide á  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \)  -y- que, por tanto, divide á  \( x \) .  En conclusión, para  \( -z^3=(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2) \) ,  tenemos que estos 3 factores son coprimos entre sí y por tanto terceras potencias en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Tales que:  \( -z^3=\epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3\epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3\epsilon_3(a_3+b_3\omega^2)^3 \) ,  para  \( \epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3=x+y \)  ,  \( \epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \)  -y-  \( \epsilon_3(a_3+b_3\omega^2)^3=x+y\omega^2 \) .  Siendo cada pareja  \( a_i,b_i \)  de números enteros y coprimos entre sí -y-  \( \epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3 \)  unidades de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Las unidades en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  son:  \( \pm 1\,\,,\,\,\pm\omega \)  -y-  \( \pm\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .         

(1)  Analicemos:  \( \epsilon_1(a_1+b_1\omega)^3=x+y \) .  Tenemos por una parte que  \( (a_1+b_1\omega)^3=a_1^3+3a_1^2b_1\omega+3a_1b_1^2\omega^2+b_1^3\omega^3\,=\,a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega \) .     

Para  \( \epsilon_1=\pm 1 \) ,  tendremos pues  \( \pm (a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=x+y \) .  Como  \( x+y \)  representa a un entero usual, no puede ser igual a ningún término  \( \omega \)  a la izquierda de la ecuación. Por tanto  \( a_1-b_1=0 \)  -ó-  \( b_1-a_1=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( a_1=b_1 \)  -y-  \( \pm (a_1+b_1\omega)^3=(\pm a_1)^3 \)    -ó-  \( (\pm b_1)^3 \) .

Para  \( \epsilon_1=\pm\omega \) ,  tenemos  \( \pm\omega(a_1+b_1\omega)^3=x+y \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=x\omega^2+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=-x-y-(x+y)\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=-x-y-(x+y)\omega \) .  Pero en este caso, al agrupar por coeficientes,  \( 3 \)  dividiría á  \( x+y \) ,  lo que no es posible porque  \( 3 \)  divide á  \( x \)  -y- ésta es coprimo con  \( y \) .

Para  \( \epsilon_1=\pm\omega^2 \) ,  tenemos  \( \pm\omega^2(a_1+b_1\omega)^3=x+y \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm(a_1+b_1\omega)^3=x\omega+y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm(a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=(x+y)\omega \) .  Pero por lo mismo que antes,  \( 3 \)  dividiría á  \( x+y \) .  Luego tenemos que concluir que  \( \epsilon_1 \)  sólo puede ser  \( \pm 1 \) .

(2)  Analicemos:  \( \epsilon_2(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \) . 

Para  \( \epsilon_2=\pm 1 \) ,  tenemos  \( \pm(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=x+y\omega \) .  Pero entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( y \) ,  lo que sabemos que no es. 

Para  \( \epsilon_2=\pm\omega \) ,  tenemos  \( \pm\omega(a_2+b_2\omega)^3=x+y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=x\omega^2+y\omega^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=y-x-x\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2^3+b_2^3-3a_2b_2^2+3a_2b_2(a_2-b_2)\omega)=y-x-x\omega \) .  Lo que sí es coherente porque  \( 3 \)  divide á  \( x \) .   

Para  \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) ,  tenemos  \( \pm\omega^2(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x\omega+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=-y+(x-y)\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_1^3+b_1^3-3a_1b_1^2+3a_1b_1(a_1-b_1)\omega)=-y+(x-y)\omega \) .  Lo que no puede ser porque  \( 3 \)  no divide á  \( x-y \) .  Luego está claro que  \( \epsilon_2=\pm\omega \) .   

(3)  Analicemos:  \( \epsilon_3(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \) . 

Para  \( \epsilon_3=\pm 1 \) ,  tenemos  \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x-y-y\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=x-y-y\omega \) .  Pero entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( y \) ,  lo que sabemos que no es. 

Para  \( \epsilon_3=\pm\omega \) ,  tenemos  \( \pm\omega(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=x\omega^2+y\omega^4 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=-x+(y-x)\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=-x+(y-x)\omega \) .  Pero no puede ser porque  \( 3 \)  no divide á  \( y-x \) .   

Para  \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) ,  tenemos  \( \pm\omega^2(a_3+b_3\omega)^3=x+y\omega^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=x\omega+y\omega^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=y+x\omega \)   \( \Rightarrow \)   \( \pm (a_3^3+b_3^3-3a_3b_3^2+3a_3b_3(a_3-b_3)\omega)=y+x\omega \) .  Lo que sí es posible porque  \( 3 \)  divide á  \( x \) . De esta manera:  \( \epsilon_3=\pm\omega^2 \) .   

Tenemos pues que  \( -z^3=(x+y)(x+y\omega)(x+y\omega^2)\,=\,\pm\omega\cdot\omega^2\cdot a_1^3\cdot (a_2+b_2\omega)^3 \cdot (a_3+b_3\omega)^3 \) .  Y :  \( -z=\pm a_1(a_2+b_2\omega)(a_3+b_3\omega)\,=\,\pm a_1(a_2a_3+a_2b_3\omega^2+b_2a_3\omega+b_2b_3\omega^3) \)   \( \Rightarrow \)   \( -z=\pm a_1(a_2a_3+b_2b_3-a_2b_3+(b_2a_3-a_2b_3)\omega) \) .  Por tanto, para que la igualdad tenga sentido y no haya términos  \( \omega \)  a la derecha:  \( b_2a_3-a_2b_3=0 \)  -ó-  \( a_2b_3-b_2a_3=0 \)  -y-  \( a_2b_3=b_2a_3 \) .  Pero como  \( a_2 \)  es coprimo con  \( b_2 \)  -y-  \( b_3 \)  es coprimo con  \( a_3 \) ;  entonces no queda otra que  \( a_2=a_3 \)  -y- que  \( b_2=b_3 \) .     

Así, como por (2) y por (3) tenemos, por una parte, que  \( \pm (a_2+b_2\omega)^3=y-x-x\omega \) .  Y por otra, que  \( \pm (a_3+b_3\omega)^3=y+x\omega \) .  Ahora ocurrirá que:  \( \pm (y-x-x\omega)=\pm(y+x\omega) \) . 

Y si fuera  \( y-x-x\omega=y+x\omega \)  -ó-  \( -(y-x-x\omega)=-(y+x\omega) \) ;  tendríamos  \( 2\omega=-1 \) .  Lo que es absurdo. En cambio, si fuera  \( -(y-x-x\omega)=y+x\omega \)  -ó-  \( y-x-x\omega=-(y+x\omega) \) ;  tendríamos que  \( x=2y \) .  Otro sinsentido. 
 
Luego debemos concluir que para que no se dé  \( a_2b_3=b_2a_3 \) ,  entonces  \( z \)  debe ser de una forma  \( c+d\omega \) ,  para  \( c,d \)  enteros, de manera que la igualdad  \( -z=\pm a_1(a_2a_3+b_2b_3-a_2b_3+(b_2a_3-a_2b_3)\omega) \)  tenga sentido sin tener que anular la componente  \( \omega \)  de la derecha. Pero entonces  \( z \)  no puede ser racional.


Un saludo,   
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Sabiendo que no había malinterpretado tu fórmula he insistido y finalmente he encontrado mi error en cómo la he trasladado al excel. Ya está  :aplauso: :aplauso: :aplauso: Me será de de mucha utilidad vuestra ayuda, tengo afición por diseñar juegos y necesitaba una plantilla para calcular probabilidades lanzando diferentes tipos y combinaciones de dados. Gracias de nuevo!!
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