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Mensajes - aesede

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Cálculo 1 variable / Re: Area de una circunferencia integrando
« en: 28 Noviembre, 2009, 02:23 am »
Hola.

La función cuya gráfica es una semicircunferencia (en coordenadas rectangulares una circunferencia completa es una relación no funcional) es \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \).

El dominio de integración es:

\( 0 \leq x \leq r \) y \( 0 \leq y \leq \sqrt{r^2 - x^2} \)

Ahora planteás la integral:

\( \displaystyle\frac{1}{2} A = \displaystyle\int_{x=0}^{x=r} \displaystyle\int_{y=0}^{y=\sqrt{r^2 - x^2}} dy dx = \displaystyle\int_{x=0}^{x=r} \sqrt{r^2 - x^2} dx \)

Esta integral figura en las tablas y es:

\( \displaystyle\frac{1}{2} A = \displaystyle\int_{x=0}^{x=r} \sqrt{r^2 - x^2} dx = \displaystyle\frac{1}{2} (r^2 \cdot arcsen(\displaystyle\frac{x}{r}) + x \sqrt{r^2-x^2})  |_0^r \)

Valorizando en los límites de integración (Barrow) tenemos el resultado de mitad área, sin usar coordenadas polares. El área completa viene dada por A (el doble de la integral que calculamos).

Saludos :)

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Cálculo 1 variable / Re: Funciones Cuadráticas
« en: 28 Noviembre, 2009, 01:40 am »
Hola. Te hago la posta Sabio ;)

1) Los puntos de intersección los encontrás igualando las dos expresiones de \( y \) que tenés. Por ejemplo: \( 4x - x^2 + 8 = x^2 - 4x +3 \Longrightarrow{} 2x^2-8x-5=0 \). Te queda una ecuación de segundo grado que te va a dar dos valores para \( x \). Si las raíces (valores de \( x \) que encontraste al aplicar la fórmula resolvente) son reales y distintas, las parábolas se cortan en esos dos puntos de abscisa. Si son reales e iguales, se cortan en un solo punto. Y si son complejas conjugadas, las parábolas no se cortan.

3) Acá tenés que determinar las ecuaciones de la parábola y de la recta. Para la parábola, escribís la ecuación: \( y = a (x-h)^2+k \) donde el vértice corresponde al punto \( (h;k) \), además conocés el valor de ordenada al origen: \( P(0,3) \). Ésto te permite determinar el coeficiente principal \( a \). Por otro lado, la recta que pasa por los puntos \( (1;2) \) y \( (-4; 3) \) es aquella cuyo vector director es: \( \vec{d} = (-4;3)-(1,2) = (-5,1) \). Por lo tanto, la ecuación de la recta viene dada por: \( \displaystyle\frac{x-1}{-5} = \displaystyle\frac{y-2}{1} \). Despejá \( y \) para obtener la ecuación explícita de la recta. Una vez que tengas las dos funciones, las igualás para encontrar el valor de \( x \) en el que se cortan.

Cualquier duda preguntá. Saludos :)

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Matemática Aplicada / Intervalos de confianza
« en: 27 Noviembre, 2009, 11:36 pm »
Hola.

Tengo una consulta sobre un problema de intervalos de confianza.

La duración de unas determinadas baterías es una variable aleatoria normal, cuya media se desea estimar, para lo cual se toma una muestra de 9 baterías, cuyas duraciones, en horas, resultan: 6.3, 6.8, 7.3, 5.4, 8.1, 7.9, 6.9, 6.2, 8.3.

Se pide:

a) Calcular el intervalo del 95% de confianza para estimar la media.
b) Suponga que se averigua que el desvío poblacional de la duración es 1, ¿cómo sería el intervalo de confianza?
c) Si se desea reducir un 20% el intervalo obtenido en b), manteniendo el nivel de confianza, ¿cuántas baterías adicionales se deberían probar?
d) Si se desea que el máximo error sea 0.15, ¿cuántas baterías se deberían probar en total?
e) Volviendo a la situación que teníamos en b, ¿cuántas baterías adicionales debemos revisar, para aumentar la confianza al 99%?


Tengo dudas con el último apartado. La solución propuesta plantea:

"Para que se cumpla lo que piden, debemos escribir la siguiente inecuación: \( \displaystyle\frac{z_{1-\alpha/2} \cdot \sigma}{\sqrt{n'}} = \displaystyle\frac{z_{1 - 0,01 / 2} \cdot 1}{\sqrt{n'}} \leq 0,65 \) (porque debemos interpretar al menos el 99% de confianza)".

No veo por qué resuelve de ese modo. Lo que entiendo que propone es reducir el error máximo. Pero ésto no garantiza que el nivel de confianza sea del 99% (solamente podemos estar seguros que va a ser mayor que 95%, que fue el nivel de confianza que obtuvimos en el apartado (b) con n=9).

Gracias de antemano, saludos :)

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El segundo lo resuelves asi
\( 2^x+2^x=72+1-2 \)
\( log(2^x)+log(2^x)=log(71) \)
\( x.log(2)+x.log(2)=log(71) \)
\( 2x.log(2)=log(71) \)
\( 2x=\displaystyle\frac{log(71)}{log(2)} \)
\( x=\displaystyle\frac{log(71)}{2.log(2)} \)

Ahora veo el primero
Saludos



Hola.

No es cierto que:

\( 2^x+2^x=71 \Longrightarrow{} log(2^x+2^x)=log(71) \Longrightarrow{} log(2^x) + log(2^x) = log(71) \)

Lo que tendrías que hacer es:

\( 2^x+2^x=2 \cdot 2^x =71 \Longrightarrow{} log_2(2 \cdot 2^x) = log_2(71) \Longrightarrow{} log_2(2) + log_2(2^x) = 1 + x = log_2(71) \)

Ahora sí, despejá x.

Saludos :)

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Hola.

La ecuación \( f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^2}=0 \) no tiene solución real. Si te fijás en la gráfica de \( f'(x) \), vas a ver que la curva es asintótica al eje x. Ésto significa que la función va tomando valores cada vez más chicos, pero nunca se hace cero.

Con ayuda de la gráfica podemos determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. La gráfica de la función \( f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x}=1+\displaystyle\frac{1}{x} \) es la gráfica de la función \( g(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \) desplazada 1 unidad sobre el eje y positivo. Así que vamos a analizar esa función. En el intervalo \( (-\infty,0) \) la función es decreciente. En \( x=0 \) no está definida. En el intervalo \( (0,\infty) \) también es decreciente.

Como conclusión podrías decir que la derivada primera se anula en el infinito, por lo que no existen puntos críticos reales.

Para la derivada segunda, fijate que si x vale 0 tenemos una indeterminación del tipo 0/0. Acá pasaría algo similar a lo que pasa con la derivada primera. Pero la verdad que no sé qué conclusión sacar con respecto a la concavidad. Esperemos que alguien venga y nos cuente ;)

Saludos.

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Hola.

Si te especifíca que el número es entero pero no natural, no debería ser obligatoriamente un número negativo.

Se me pasó eso de "entero no natural". Necesariamente si el problema exige que la solución sea entera pero no natural, la única alternativa posible es que sea un número entero no positivo. De lo contrario no tendría solución, ya que todos los naturales son enteros, pero no al revés (el conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números enteros).

Esta condición hace que haya una única solución posible: \( x=-3 \).

Saludos :)

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El doble de la cuarta potencia de un número entero no natural, más el triple del cuadrado del mismo es 189. Halla el número.
Planteamiento:

\( 2(-x)^4+(-x)^2=189 \)
\( -16x+(-x)^2=189\rightarrow{}-16x-x^2=189 \)

¿ESTÁ BIEN PLANTEADO?

sALUDOS..

Hola Fox.

La incógnita en este caso es \( x \), no veo por qué escribiste \( -x \). Tampoco entiendo qué hiciste con el primer término... el 2 no está elevado a la cuarta.

La ecuación correcta sería: \( 2x^4+3x^2=189 \)

Es una ecuación bicuadrada, se resuelve haciendo el cambio de variable \( x^2 = t \).

Spoiler
Son soluciones enteras: \( x = \pm 3 \)
[cerrar]

Saludos :)

88
Hola.

Bienvenida al foro. Sería bueno que aprendas a usar LaTeX ;)

Para resolver ese ejercicio tenés que aplicar dos propiedades:

a) Producto de potencias de igual base: se suman los exponentes
b) Cociente de potencias de igual base: se restan los exponentes

Intentá. Si no te sale, acá está la solución:

Spoiler
\( \displaystyle\frac{3^{2-1} \cdot 2^{3-5}}{3^{3-2} \cdot 2^{-4+6}} = \displaystyle\frac{3^{1} \cdot 2^{-2}}{3^{1} \cdot 2^{2}} = \displaystyle\frac{3^{1} \cdot 2^{-2}}{3^{1} \cdot 2^{2}} = 3^{1-1} \cdot 2^{-2-2} = 3^0 \cdot 2^{-4} = \displaystyle\frac{1}{16} \)
[cerrar]

Saludos

89
Lo entendimos de dos formas diferentes.

Sólo es cuestión de ponerse de acuerdo con el enunciado, entonces :)

Saludos aladan.

90
Hola. Perdonen que me meta.

La ecuación que yo hubiese planteado sería:

\( (2x-1)+(2x)+(2x+1)=282 \Longrightarrow{} 6x = 282 \Longrightarrow{} x = 47 \)

con lo que los números son 93, 94 y 95.

Curiosamente llegamos al mismo resultado: \( x = 47 \). Pero a simple vista no podemos asegurar que \( x \) sea par. En cambio \( 2x \) siempre va a ser par.

Pido disculpas de nuevo por meterme donde no me llaman.

Saludos :)

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Cálculo 1 variable / Re: Funciones derivables
« en: 24 Noviembre, 2009, 04:48 pm »
Hola.

Para el seno:

\( \frac{d}{dx}sen(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to{} 0}{} \displaystyle\frac{sen(x + \Delta x) - sen(x)}{\Delta x} \)

Sabemos que \( sen(a+b) = sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a) \)

Así que:

\( \frac{d}{dx} sen(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to{} 0}{\displaystyle\frac{sen(x)cos(\Delta x) + cos(x)sen(\Delta x) - sen(x)}{\Delta x}} = \displaystyle\lim_{\Delta x \to{} 0}{\displaystyle\frac{sen(x) [cos(\Delta x) - 1]}{\Delta x} + \displaystyle\frac{cos(x) sen(\Delta x)}{\Delta x}} \)

Como el límite "es distributivo" respecto a todas las operaciones y funciones:

\( \frac{d}{dx}sen(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to{} 0}{\displaystyle\frac{sen(x) [cos(\Delta x) - 1]}{\Delta x} + \displaystyle\lim_{\Delta x \to{} 0}{\displaystyle\frac{cos(x) sen(\Delta x)}{\Delta x}} \)

Reagrupando:

\( \frac{d}{dx}sen(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \to{} 0}{sen(x) \underbrace{\displaystyle\frac{cos(\Delta x) - 1}{\Delta x}}_{\rightarrow{0}} + \displaystyle\lim_{\Delta x \to{} 0}{cos(x) \underbrace{\displaystyle\frac{sen(\Delta x)}{\Delta x}}_{\rightarrow{1}}} \)

Con lo que:

\( \frac{d}{dx}sen(x) =cos(x) \)

Con un desarrollo similar se demuestra la derivada del coseno.

Saludos :)

Edito: me faltó lo más importante. Como el límite existe y no se anula para ningún valor de \( \mathbb{R} \) (la función coseno es contínua en todo su dominio) entonces queda demostrado que la función seno es derivable en todo su dominio.

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Hola.

aesede gracias, no me queda del todo claro, podría por favor, explicarlo con LaTeX.
SaludoS

Vamos de nuevo: \( x \) es la cantidad de dinero inicial. Si a esa cantidad le restamos su quinta parte (por lo que dice el problema) y luego gastamos además las tres octavas partes del dinero inicial, tenemos que:

\( x - \displaystyle\frac{1}{5} x - \displaystyle\frac{3}{8} x = 4250 \Longrightarrow{} (1-\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{3}{8}) x = 4250 \)

Resolviendo esa suma de fracciones tenemos que:

\( 0,4250 x = 4250 \)

Dividiendo ambos miembros por 0,4250 encontramos la solución al problema: \( x=10000 \)

Es decir, originalmente teníamos 10000€, luego gastamos la quinta parte, es decir 2000€ y después gastamos tres octavas partes del dinero total: 3750€, con lo que al final nos quedamos con los 4250€ que eran dato en el problema.

No entendí qué querías que escriba usando LaTeX ???

Saludos.

93
Hola.

Ese dato que te falta es precisamente el que te piden que averigues: x = cantidad de dinero que tenías originalmente ;)

Lo podés despejar sin problemas de esa ecuación.

Lo que no queda muy claro es si gastás 1/5 de lo que tenías y luego gastás 3/8 de lo que quedó, o si gastás 1/5 y 3/8 a la vez de lo que tenías originalmente. Por como está redactado el problema parece la segunda opción.

Si es así: \( x - 1/5 x - 3/8 x = 4250 \Longrightarrow{} 0,4250 x = 4250 \Longrightarrow{} x = 10000 \)

Saludos.

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Probabilidad / Re: Distribución muestral de medias
« en: 14 Noviembre, 2009, 10:43 pm »
Entiendo. Gracias :)

Saludos.

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Probabilidad / Distribución muestral de medias
« en: 14 Noviembre, 2009, 07:17 pm »
Hola.

Tengo una duda con el apartado b) de este problema:

Supóngase que la estatura de 3000 estudiantes universitarios se distribuyen normalmente, con una media de 68 pulgadas y una desviación estándar de 3 pulgadas. Si se obtienen 80 muestras de 25 estudiantes cada una, a) ¿cuáles serían la media y la desviación estándar de la distribución muestral de medias resultante si los muestreos se hubieran hecho con y sin reemplazamiento? b) ¿En cuántas muestras esperaría encontrar la media entre 66,8 y 68,3 pulgadas?

Tengo que calcular la probabilidad: \( Pr(66,8 < \overline{X_i} < 68,3) \). Lo hago estandarizando la variable, y llego a que esa probabilidad (ó el área bajo la curva normal) vale 0,6687.

Y dice: "Entonces, el número esperado de muestras es \( 80 \cdot 0,6687 \approx{} 53 \)"

No entiendo por qué multiplica por 80.

Gracias de antemano, saludos.

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Ya me dí cuenta pero tampoco me cuajaba la redacción de mí pregunta, tenía que haber hecho como aesede, escribirlo de dos formas, alguna seguro que acierto  :laugh:  :laugh:


Hola.

Sólo se puede aplicar L'Höpital en el caso que tengas una indeterminación del tipo \( 0/0 \) o \( \infty/\infty \), como bien dijiste. Lo que tenés que hacer es, a partir de esa indeterminación \( \infty - \infty \), tratar de llegar a una indeterminación del tipo \( 0/0 \):

Y ahora sí podés aplicar  L'Hôpital .

Saludos :)

Jaja, no quise poner de dos formas distintas. Ni me había dado cuenta que escribí L'Höpital la primera vez y L'Hôpital la segunda. La verdad tampoco sabía cómo se escribía, pensé que era L'Höpital (en muchos lugares lo ví escrito así, aunque en muchos otros lo ví escrito de formas distintas). Ahora que ya sé cómo es edité el post ;)

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: ¿Qué es el gradiente?
« en: 14 Noviembre, 2009, 05:33 pm »
Hola.

Te adjunto un pdf con teoría y ejercicios resueltos de derivada direccional y gradiente.

Saludos :)

98
Cálculo 1 variable / Re: ¿Calcular limite por L'Hopial u operar?
« en: 14 Noviembre, 2009, 04:46 pm »
Hola.

Sólo se puede aplicar L'Hôpital en el caso que tengas una indeterminación del tipo \( 0/0 \) o \( \infty/\infty \), como bien dijiste. Lo que tenés que hacer es, a partir de esa indeterminación \( \infty - \infty \), tratar de llegar a una indeterminación del tipo \( 0/0 \):

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{\sen(x)}{x \sen(x)} - \frac{x \cos(x)}{x \sen(x)}} = \displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{\sen(x)-x \cos(x)}{x \sen(x)} = \displaystyle\frac{0}{0} \)

Y ahora sí podés aplicar L'Hôpital.

Saludos :)

99
Hola.

No es muy fácil responder a tu pregunta :P pero más o menos, para que tengas una idea, tenés que saber que una integral es una sumatoria. Pero una sumatoria un tanto particular, porque no sumás cualquier cosa... estás sumando elementos infinitamente pequeños (cantidades infinitesimales).

Cuando uno hace una integral, tenés algo así:

\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx \)

Esa "s alargada" es el símbolo de la integral; a y b son las cotas o límites de integración, o sea desde dónde hasta dónde vas a sumar (o integrar); f(x) es la función que estás sumando (se llama integrando); y dx indica con respecto a qué variable se integra. En funciones de una variable ésto no tiene mucho sentido, pero sí en funciones de muchas variables.

Geométricamente, si integrás una función en un intervalo [a,b] el resultado que vas a obtener se va a corresponder con el área debajo de la curva. Otras aplicaciones de las integrales simples son: cálculo de volúmenes de sólidos de revolución, cálculo de longitudes de curvas y algunas (bastantes) aplicaciones físicas, como calcular centros de masa, calcular trabajo, etc, etc...

Saludos :)

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Cálculo 1 variable / Re: Integral simple
« en: 12 Noviembre, 2009, 10:40 pm »
Hola alespa.

Gracias por contestar. Es porque nos dieron esa integral en un parcial de ecuaciones diferenciales... como no la pude resolver la dejé expresada.

Saludos :)

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