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Mensajes - aesede

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Cálculo 1 variable / Re: Despejar incógnitas
« en: 24 Diciembre, 2009, 05:58 pm »
Hola. Bienvenido al foro :)

Para escribir ecuaciones hay una herramienta que se llama LaTeX. Podés ver de qué se trata acá.

1) \( \displaystyle\frac{1}{2} x + x = 1237,4 \Longrightarrow{} \displaystyle\frac{3}{2} x = 1237,4 \Longrightarrow{} x = \displaystyle\frac{1237,4}{1,5} \)

2) \( 4 \cancel{x} = \cancel{x} \cdot y \cdot 0,08 \Longrightarrow{} y = \displaystyle\frac{4}{0,08} \)

3) Es casi igual a la primera. \( \displaystyle\frac{1}{2} x = 12374 - x \Longrightarrow{} \displaystyle\frac{1}{2} x + x = 12374 \Longrightarrow{} \displaystyle\frac{3}{2} x = 12374 \Longrightarrow{} x = \displaystyle\frac{12374}{1,5} \)

Citar
4- 4000+6000 (1+ 6/12 x 0.06)-1

En esta última no hay nada para despejar. ¿Estás seguro que copiaste bien?

Saludos.

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Hola.

No hay mucho más de lo que ya te pasó el_manco, o por lo menos yo no supe buscar. No hay nada de eso que te sirva?

De todos modos siempre es mejor buscar en libros, los artículos o páginas que puedas encontrar por internet (si bien muchas veces son útiles) son muy "pobres" comparados con lo que podés encontrar en un libro.

Yo tengo el Cálculo en una variable (autor: Larson, ed. McGraw-Hill) y tiene bastantes problemas propuestos de optimización. Podés descargarlo de acá: http://www.mediafire.com/?2dt3munonit

Saludos :)

63
Hola.

Si querés buscar archivos en Google de un tipo específico tenés que escribir en el cuadro de búsqueda:

ejercicios optimizacion de funciones filetype:pdf

donde podés reemplazar pdf por otros formatos de archivos: doc, xls, ppt, etc...

Fijate en este link a ver si encontrás algo más que te sirva:

http://www.google.com.ar/search?hl=es&client=firefox-a&rls=com.ubuntu%3Aes-AR%3Aofficial&hs=Haq&q=ejercicios+optimizacion+de+funciones+filetype%3Apdf&btnG=Buscar&meta=&aq=f&oq=

Saludos.

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Matemática Aplicada / Muestreo con y sin reemplazamiento
« en: 20 Diciembre, 2009, 11:28 pm »
Hola.

Quisiera saber de dónde sale el factor de corrección para poblaciones finitas.

  • Muestro sin reposición: \( \overline{X} \sim{} N(\mu \; ; \; \displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \)
  • Muestro con reposición: \( \overline{X} \sim{} N(\mu \; ; \; \displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \color{blue} \sqrt{\displaystyle\frac{N-n}{N-1}} \color{black}) \)

donde N es el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra.

Gracias de antemano, saludos.

65
Tenés razón, quizás sea demasiado. Probablemente alcance con una explicación, sin demostrarlo, ya que es un poco (bastante) evidente. De todos modos entendí esto último.

Muchísimas gracias Phidias :)

Saludos.

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Pff, a veces las cosas más sencillas son las que más cuesta ver... :)

Gracias por la explicación, entiendo todo.

Una última cosa. Para el modo, no tengo ninguna fórmula para empezar más que \( Mo_x = x_k \; / \; n_k = max(f_i) \; ; \; i = 1,2,...,n \). Evidentemente, al sumarle a todas las variables la misma constante, las relaciones entre ellas no se alteran, por lo que el valor modal sigue siendo el k-ésimo valor. Pero creo que ésto no es suficiente demostración.

Agradecería que me digas cómo seguir, y disculpas por ser tan insistente.

Gracias de nuevo, saludos.

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Matemática Aplicada / Mediana y modo de una variable más una constante
« en: 18 Diciembre, 2009, 02:57 pm »
Hola.

Si una variable es en realidad una variable más una constante, demuestre:
a) cuánto vale la media
b) cuánto vale la mediana
c) cuánto vale el modo
d) cuánto vale el desvío


Eso dice el enunciado, nada más. Supongo que hace referencia a una variable \( Y_i = X_i + c \) donde \( X \) e \( Y \) son variables y \( c \in \mathbb{R} \). Supongo también que conozco la media, mediana y modo de la variable \( X \), que son \( \overline{X} \), \( \widetilde{X} \) y \( Mo_X \), respectivamente.

a) \( \overline{Y} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{Y_i} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i+c)} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i} + \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{c} = \overline{X} + \displaystyle\frac{n \cdot c}{n} = \overline{X} + c \)

b) y c) Supongo que si corremos la distribución \( c \) unidades, el modo y la mediana también se correrán \( c \) unidades, por lo que \( \widetilde{Y} = \widetilde{X} + c \) y \( Mo_Y = Mo_X + c \), pero no sé cómo demostrarlo.

d) \( {\sigma_Y}^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(Y_i - \overline{Y})^2} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i + c - \overline{X} - c)^2} = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(X_i - \overline{X})^2} = {\sigma_X}^2 \). Luego \( \sigma_X = \sigma_Y \).

Gracias de antemano, saludos.

68
Hola el_manco.

Tengo la demostración, aunque es por un camino un tanto diferente.

Definimos \( {S_y}^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i - \hat{y})^2} \)          (1)

siendo \( y_i \) el valor observado, \( \hat{y} \) el valor esperado y \( n \) la cantidad de elementos de la muestra.

Para simplificar la demostración, supongo que la recta de regresión pasa por el origen, ésto es: \( \hat{y} = a x_i \)

Sabemos que:

\( {\sigma_x}^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})^2} \)

\( {\sigma_x}^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(y_i-\overline{y})^2} \)

\( Cov(x,y) = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i y_i} \)

En (1) desarrollamos el cuadrado y descomponemos en tres términos según propiedades de la sumatoria. Luego reemplazamos las expresiones anteriores:

\( {S_y}^2 = \displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{{y_i}^2} - \displaystyle\frac{2a}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i y_i} + \displaystyle\frac{a^2}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n{{x_i}^2} = {\sigma_y}^2 - 2 a Cov(x,y) + a^2 {\sigma_x}^2 \)

Sumamos y restamos \( \displaystyle\frac{Cov^2(x,y)}{{\sigma_x}^2} \):

\( {S_y}^2 = {\sigma_y}^2 - \displaystyle\frac{Cov^2(x,y)}{{\sigma_x}^2} + \displaystyle\frac{Cov^2(x,y)}{{\sigma_x}^2} - 2 a Cov(x,y) + a^2 {\sigma_x}^2 \)

Sacando factor común:

\( {S_y}^2 = {\sigma_y}^2 ( 1 - \displaystyle\frac{Cov^2(x,y)}{{\sigma_x}^2 {\sigma_y}^2}) + {\sigma_x}^2 \underbrace{(\displaystyle\frac{Cov^2(x,y)}{{\sigma_x}^4} - \displaystyle\frac{2 a Cov(x,y)}{{\sigma_x}^2} + a^2)}_{(\displaystyle\frac{Cov(x,y)}{{\sigma_x}^2}-a)^2} \)

Sabemos que \( r = \displaystyle\frac{Cov^2(x,y)}{{\sigma_x}^2 {\sigma_y}^2} \) (coeficiente de correlación).

Además, como \( a = \displaystyle\frac{Cov(x,y)}{{\sigma_x}^2} \) el segundo miembro se hace cero.

Luego: \( {S_y}^2 = {\sigma_y}^2 ( 1 - r^2 ) \)

Como a \( {S_y}^2 \) la definimos como la suma de cuadrados, no puede ser nunca negativo. Y como \( {\sigma_y}^2 \) nunca es negativo (por la misma razón), el factor \( (1-r^2) \) debe ser no negativo. Así que:

\( 1-r^2 \geq{} 0 \Longrightarrow{} \boxed{|r|\leq{1}} \)

Con lo que queda demostrado que el coeficiente de Pearson varía en el intervalo [-1;1].

Ahora, para que la demostración "funcione", me veo obligado a pensar en las variables centralizadas en sus medias, ésto es: \( \overline{X} = \overline{Y} = 0 \).

Es correcto hacer ésta simplificación?

Gracias de nuevo, saludos.

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Cálculo 1 variable / Límite con factoriales
« en: 16 Diciembre, 2009, 05:39 am »
Hola.

Quisiera que me den una mano con este límite:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{n!}{n^x (n-x)!}} \) con \( x \in \mathbb{R} \)

Lo que tengo es:

\( \displaystyle\frac{n!}{n^x (n-x)!} = \displaystyle\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot \cancel{(n-x) \cdot (n-x-1) \cdot (n-x-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{n^x \cdot \cancel{(n-x) \cdot (n-x-1) \cdot (n-x-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \)

\( \displaystyle\frac{n!}{n^x (n-x)!} =  \displaystyle\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-x+1)}{n^x} \)

Pero no sé cómo seguir.

Gracias de antemano. Saludos :)

70
Hola.

P.D. La demostración está hecha con el operador esperanza para cubrir todos los posibles casos (variables discretas, continuas, mixtas). Puede particularizarse si queremos fácilmente al caso típico de variables discretas.

Me podés ayudar a empezar?

Gracias, saludos.

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Foro general / Re: Ecuación de Grado Pi
« en: 16 Diciembre, 2009, 03:27 am »
Ese tipo de ecuaciones son fáciles para resolver por el hecho que se puede aplicar un cambio de variable sencillo que nos llevan a algo que sí sabemos cómo resolver. Fijate que, en los dos casos, los exponentes de los polinomios son múltiplos entre sí. Ésto es lo que las hace un tanto "especiales" y nos facilita la resolución.

Pero afirmar la cantidad de soluciones para algo más general, de exponentes que no son múltiplos entre sí, como \( ax^\pi+bx^e+c=0 \), no creo que sea tarea fácil.

No sé si es ésto, ó a dónde querías llegar.

Saludos.

72
Foro general / Re: Ecuación de Grado Pi
« en: 16 Diciembre, 2009, 03:11 am »
Entiendo perfectamente lo que expones.
¿Pero una ecuación cuyo máximo exponente es \( \displaystyle\frac{1}{2} \), tampoco cumple con el Teorema Fundamental?

Entiéndase que:

\( ax^{\frac{1}{2}}+bx^{\frac{1}{4}}+c=0 \)

Tampoco lo cumple (por citar un ejemplo).

En cualquier caso, ¿Cuántas soluciones debería tener la ecuación colocada inicialmente?


No, porque el exponente es racional y no natural.

A esta ecuación:

\( ax^{\displaystyle\frac{1}{2}}+bx^{\displaystyle\frac{1}{4}}+c=0 \)

la podés resolver con el cambio \( t=x^{1/4} \), con lo que queda una ecuación de segundo grado.

Con respecto a la cantidad de soluciones, sinceramente no sé si es posible determinar cuántas soluciones tiene una ecuación similar a la que posteaste al principio con algún teorema ó método general.

Saludos :)

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Foro general / Re: Ecuación de Grado Pi
« en: 16 Diciembre, 2009, 02:59 am »
Hola.

Interesante ecuación ;)

El teorema fundamental del álgebra establece que "todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces, no necesariamente iguales".

A su vez, se denomina polinomio a: "toda expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes naturales".

Así que el teorema fundamental del álgebra no es aplicable a tu ecuación que no es un polinomio porque tiene exponentes reales y no naturales.

Saludos.

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Matemática Aplicada / Re: Interpolación vs. Ajuste
« en: 14 Diciembre, 2009, 10:55 pm »
Genial. Gracias el_manco. Saludos :)

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Matemática Aplicada / Interpolación vs. Ajuste
« en: 14 Diciembre, 2009, 02:24 am »
Hola.

¿Me podrían explicar, a grandes rasgos, cuál es la diferencia entre ajuste e interpolación?

Las definiciones que aparecen en Wikipedia son:

Citar
Ajuste (por mínimos cuadrados): [...] dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

Citar
[...] se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

Pero no veo muy bien la diferencia. Según entiendo, cuando ajusto creo una función, y cuando interpolo calculo nuevos puntos a partir de los existentes, pero si ajusto ésto me permite calcular nuevos puntos, lo que me hace pensar que la técnica de interpolación es una aplicación de la técnica de ajuste.

Gracias de antemano, saludos :)

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Matemática Aplicada / Inferencia estadística
« en: 28 Noviembre, 2009, 03:39 pm »
Hola.

Un biólogo desea verificar los resultados obtenidos por otro científico que indican que la longitud del ala de los insectos tiene en promedio 13,4mm.
a) Formular las hipótesis correspondientes
b) Para verificar tal afirmación, toma una muestra de 40 insectos con la intención de aceptar la hipótesis si la longitud promedio de las alas varían en promedio entre 13,2mm y 13,6mm. De lo contrario la rechazará. Grafique las zonas de aceptación y de rechazo.
c) Analizaremos ahora la posibilidad de que el verdadero valor sea \( \mu=13,6mm \). Superponga el gráfico correspondiente al valor verdadero con el gráfico anterior y calcule la probabilidad de rechazar la hipótesis anterior.


Tengo algunas dudas, agradecería si alguien me da una mano.

a) Planteo la hipótesis nula y la alternativa.

\( H_0) \mu = 13,6mm \)
\( H_A) \mu \neq 13,6mm \)

b) Si \( n \geq 40 \) la distribución (por el teorema central del límite) ya se aproxima bastante bien a una normal. Los datos que tenemos son: \( n=40 \); \( L_i = 13,2mm \) y \( L_s=13,6mm \). Según el enunciado, acepto \( H_0 \) si \( \bar{X} \in [13,2;13,6] \).



  • La zona de aceptación es \( x \in [13,2;13,4] \)
  • La zona de rechazo es \( x \in (-\infty;13,2) \cup{} (13,4;\infty) \)

Mi dudas acá son:
* la variable de la gráfica de la distribución normal, es \( \color{red} \bar{X} \) (media muestral)?
* al conocer \( \color{red} L_i \) y \( \color{red} L_s \), conozco también indirectamente el desvío muestral \( \color{red} \hat{S} = 0,2 \)


3) Ahora conocemos el desvío poblacional: \( \sigma = 0,8 \)

Tengo que calcular la probabilidad de rechazar la hipótesis nula. Como \( n=40 \) la variable \( \bar{X} \) se ajusta a una distribución normal de media cero y desvio uno, así que, estandarizando la variable tengo:

\( z = \displaystyle\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \displaystyle\frac{\bar{x} - 13,4}{0,8 / \sqrt{40}} \sim N(0,1) \)

y la gráfica quedaría:



Ahora bien, marqué como límites -0,2 y 0,2 (desvío muestral). Están bien, o debería haber marcado -0,8 y 0,8 (desvío poblacional)?

Busco la probabilidad:

\( Pr(13,2 \leq \bar{X} \leq 13,6) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,2 \leq z \leq 0,2) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,2 \leq  \displaystyle\frac{\bar{x} - 13,4}{0,8 / \sqrt{40}} \leq 0,2) = 1 - \alpha \)

\( Pr(13,4 - 0,2 \cdot 0,8 / \sqrt{40} \leq \bar{x} \leq 13,4 + 0,2 \cdot 0,8 / \sqrt{40}) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,0253 \leq \bar{x} \leq 0,0253) = 1 - \alpha \)

Llegando prácticamente a lo que tenía antes ???

Si busco en la tabla de la distribución normal, tengo:

\( \displaystyle\frac{ 1 - \alpha}{2} = Pr(\bar{x} \leq 0,0253) = F(0,0253) = 0,0080 \)

obteniendo un grado de significación del \( \alpha = 0,984 \) y un nivel de confianza bajísimo del \( 1-\alpha = 0,016 \).

Me pueden marcar mis errores?

Gracias de antemano, saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Area de una circunferencia integrando
« en: 28 Noviembre, 2009, 04:04 am »
Entiendo. Qué tonto!

Es porque se trata de la función \( x^2+y^2=r^2 \) y NO de \( (x-r)^2+y^2=r^2 \).

La función \( x^2+y^2=r^2 \) no está definida para valores de \( x \in (r,2r] \).

Saludos aladan :)

78
Cálculo 1 variable / Re: Area de una circunferencia integrando
« en: 28 Noviembre, 2009, 04:00 am »
Aladan, resolví la integral integrando en el intervalo \( [0,2r] \) y evidentemente tenés razón otra vez :P

Podrías explicarme?

No veo por qué se tiene que integrar en el intervalo \( [-r,r] \) y no se puede integrar en \( [0,2r] \).

Gracias de nuevo.

79
Cálculo 1 variable / Re: Area de una circunferencia integrando
« en: 28 Noviembre, 2009, 03:49 am »
Hola

Si me permitís un pequeño matiz, el cálculo que plantea aesede es

                \( \displaystyle\frac{1}{4}A \)

Citar
con este dominio de integración

\( 0 \leq x \leq r \)   y \( 0 \leq y \leq \sqrt{r^2 - x^2} \)

Hola aladan. Tenés toda la razón.

Mitad área sería integrando desde 0 hasta 2r.

Gracias ;)

Saludos.

80
Hola.

Supongo que "bien definidas" significa si el dominio y el recorrido son correctos. Ésto depende mucho de "cómo querés que sea la función". Por ejemplo:

\( f : \mathbb{R} \rightarrow{} \mathbb{R} / f(x)=x^2 \) no es inyectiva, pero si restringimos el dominio a los reales positivos, así: \( f : \mathbb{R^+} \rightarrow{} \mathbb{R^+} / f(x)=x^2 \) la "obligamos" a ser inyectiva.

La definición de función establece: una relación se llama función (o relación funcional) si \( f : X \rightarrow{} Y \Longrightarrow{} \forall{}x \in X : \exists{}! y \in Y / f(x) = y \)

Tenés dos condiciones: existencia (que existe un valor \( y \) que cumpla \( y = f(x) \) para todos los \( x \) del dominio) y unicidad (que ese valor de imagen sea único para cada valor de \( x \), no pueden haber dos imágenes para un mismo elemento del dominio).

Por ejemplo para la primera función, no es un único \( b \) que cumpla con \( f(x) \), sino que \( b=f(x) \) y \( b=f(-x) \). Eso es lo que me anda confundiendo.

Eso pasa porque la función es par. Pero está bien definida, ya que todos los valores de \( \mathbb{R} \) pertenecen al dominio de \( f \). Acá pasa algo parecido a lo que dijimos antes de \( f(x) = x^2 \) (es inyectiva sólo si se restringe el dominio a los reales positivos).

Para la segunda, exactamente qué hace la función \( g(x) = int(x) \)? Redondea, trunca, ...? En cualquier caso, no veo nada mal en la definición de la función.

Espero que te sirva. Cualquier cosa preguntá :)

Saludos.

Edito: algo más, quizás sea ésto lo que querés saber. Por la definición de función que dimos arriba:

a) \( \color{red} f(x) = f(-x) = y \) NO HACE QUE \( \color{red} f \) DEJE DE SER UNA FUNCIÓN
b) \( \color{red} f(x) = y = -y \) SÍ HACE QUE \( \color{red} f \) DEJE DE SER FUNCIÓN

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