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Mensajes - aesede

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El 9 y 10 parece que ya quedaron claros, sobretodo si conseguimos que aesede realice los cambios de variable al derecho y no al revés. Je, je.

Vamos a intentar ;) jajaja

9)

El cambio vendría dado por: \( x = e^t \) con lo que \( dx = e^t dt \)

Así, la integral quedaría: \( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{ln(x)}{x} dx = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{ln(e^t)}{e^t} e^t dt = \displaystyle\int_{}^{} t dt = \displaystyle\frac{t^2}{2} + c \)

Si \( x = e^t \) entonces su inversa es: \( t = ln(x) \).

Reemplazando: \( y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c \)

10)

a) para la integral del segundo término hacemos el cambio: \( x = 2t \), con lo que \( dx = 2dt \)

Entonces: \( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{4 dt}{4 (t^2+1)} = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{dt}{t^2+1} = arctan(t) + c \)

Como \( x = x(t) \) es biyectiva, admite inversa: \( t = \displaystyle\frac{x}{2} \).

Volvemos a variable original: \( y = arctan(\displaystyle\frac{x}{2}) + c \)

b) la integral del tercer término me desconcertó un poco, porque no sé cómo hacer el cambio para que la \( x = x(t) \) "me sirva".

Cuando pueda sigo con los demás. Un saludo :)

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Desde luego actuando con estos criterios a mi me va bien, y esa es la filosofía del curso y el planteamiento correcto del asunto. Es digamos el método que yo os propongo utilizar. Si quieres considerar que los segundos son también cambios de variable, pues tu mismo, pero ... entonces no llegaremos a entendernos, al menos no en este curso.

No lo tomes a mal. No estoy cuestionando lo que decís, ni mucho menos.

Es simplemente que, cuando lo estudié, lo estudié de otra forma. Somos animales de costumbres, y "desacostumbrarnos" a algo cuesta. Voy a pensar en el asunto, y tratar de entenderlo.

Mi consejo es que no nos salgamos del guión, y creo que entonces todo andará bien. Apliquemos un método, éste que os propongo yo, ó cualquier otro, pero uno que nos garantice que vamos a llegar a buen puerto.

Estoy de acuerdo, justamente para eso hago el curso.

Saludos ;)

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No tengo ahora demasiado tiempo para muchos comentarios. Debo irme, pero sí lo tengo para hacer solo uno breve. ¿Como es posible que el cociente de dos polinomios de segundo grado te de como resultado un polinomio de primero? ¡¿?!

Esta tarde procuraré contestar a todas tus preguntas.

Saludos, Jabato. ;D

Hice cualquier cosa. No sé en qué estaba pensando. Tengo la cabeza en otro lado.

Eso me pasa por apurado, y por no pensar. Pido disculpas.

Vamos de nuevo:

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = \displaystyle\int_{}^{} dx + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2-5x}{x^2+4} dx = x + \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2}{x^2+4} dx - 5 \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x}{x^2+4} dx + c \)

La integral del segundo sumando la resolvemos haciendo el cambio: \( u = \displaystyle\frac{1}{2}x \), con lo que \( du = \displaystyle\frac{1}{2} dx \):

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2dx}{x^2+4} = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2 dx}{4 (\displaystyle\frac{1}{4} x^2+1)}= \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{du}{1+u^2} = arctan(u) + c_1 = arctan(\displaystyle\frac{x}{2}) + c_1 \)

La integral del tercer término la resolvemos haciendo el cambio \( u = x^2+4 \), con lo que \( du = 2x dx \):

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{-5 x dx}{x^2+4} = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2x dx}{x^2+4} = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{u'}{u} dx = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{du}{u} = - \displaystyle\frac{5}{2} ln(x^2+4) + c_2 \)

Ahora sí, el resultado final es:

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = x + arctan(\displaystyle\frac{1}{2} x) - \displaystyle\frac{5}{2} ln(x^2+4) + c \)

Otra vez coloqué los cambios de la forma \( u=u(x) \), supongo que cuando se está acostumbrado a algo es difícil dejarlo de lado. Vas a tener que tenerme paciencia ;) jaja

Saludos.

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Hola Jabato.

a) El cambio de variable deberías haberlo expresado en la forma \( x=x(u) \) y no al revés \( u=u(x) \). Esto no plantea demasiados problemas en el caso de las intgerales 1, 2 y 3, por ejemplo, pero ...

Entiendo. Evidentemente, en la práctica no "afectó" la forma de expresar el cambio, pero seguramente debe tener un fundamento teórico que no logro ver. ¿Por qué es así?

b) En las integrales 4, 5 y 6 el cambio de variable no es correcto porque no se corresponde con una función invertible.

Estoy de acuerdo, sino no podría "ir y venir" con los cambios. ¿Ésto es aplicable también a los cambios que se hacen para resolver por composición? ¿O sólo para sustitución?

Sin embargo los resultados a los que llegas si son correctos, pero porque has empleado la composición de funciones como método de integración y no el método de substitución. De hecho las ocho primeras integrales se deberían resolver, en mi opinión, por composición de funciones. No estoy demasiado seguro de que captes la sutil diferencia entre un método y otro.

Sinceramente, lo veía como dos formas distintas de expresar lo mismo. Quizás me ayudaría algún ejercicio resuelto de esos que, si aplicás incorrectamente el método, te llevan a "errores garrafales". Creo que ayudaría a entender mejor la diferencia, así que si no es mucho pedir... :)

Tampoco aclaras en la integral 9 como resuelves cada uno de los sumandos. El primero es una integral inmediata, pero ¿como resuelves el segundo sumando?

El segundo sumando es similar al ejercicio 1), con la salvedad que: \( y'=\displaystyle\frac{ln(x)}{x} \). De la forma incorrecta en que resolví los ejercicios en el post anterior, diría que se hace el cambio: \( u = ln(x) \), y la integral se transforma en:

\( \displaystyle\int_{}^{} u' u dx = \displaystyle\int_{}^{} u du = \displaystyle\frac{1}{2} u^2 + c = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c \)

En la integral 10 podías dar algún detalle más.

Si hacemos el cociente tenemos que: \( \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} = 2-5x \), por lo tanto podemos simplificar el integrando por una función que es equivalente en todo el dominio de la primera. Ésto nos simplifica mucho los cálculos, ya que la integral se convierte en:

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = \displaystyle\int_{}^{} (2-5x) dx = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x^2 + c \)

Quizás este ejercicio estaba pensado para algún otro método, pero me pareció menos rebuscado transformar el integrando para que tenga primitiva inmediata. (tengo un error cuando copié el resultado de la 10, me faltó el cuadrado de la x en el segundo término)

Saludos profe ;)

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Ok ;)

No están todas, pero a medida que pueda voy actualizando el post. Acá van:

1) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=ln(x) \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + c \)

2) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x+1 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x+1) + c \)

3) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x^3+1 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + c \)

4) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x^2-6 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{ \sqrt{x^2-6}} + c \)

5) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=5-x^2 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{4 (5-x^2)^2} + c \)

6) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=3+x^4 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{3+x^4} + c \)

7) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=a+bx^3 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{3b(a+bx^3)} + c \)

8) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=2-x^3 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{3} ln(2-x^3) + c \)

9) Se resuelve como la integral de una suma de funciones. Solución: \( y = 2 \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c \)

10) El integrando es un cociente de polinomios, así que si hacemos el cociente tenemos una integral polinómica sencilla de resolver. Solución: \( y = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x^2 + c \)

11) Se resuelve partiendo de que \( \frac{d}{dx} [arctg(u)] = \displaystyle\frac{u'}{1+u^2} \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{4} arctan(x/2) + c \)

Por ahora me voy a dormir, mañana termino con las que faltan. Un saludo.

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Hola Jabato.

¿Las respuestas a los ejercicios las ponemos acá? ¿O las mandamos por MP?

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Una vez leí por ahí que "derivar es fácil pero aburrido, e integrar difícil pero entretenido". Y creo que es cierto, a veces hay integrales que no uno no sabe por dónde agarrarlas. Así que me apunto, seguramente vamos aprender muchas cosas nuevas y a encontrar un montón de ejemplos interesantes.

Me interesaría también (si se puede) que se trate el tema de funciones cuya primitiva no pueda expresarse mediante funciones elementales. Sé que no es el objetivo del curso, pero no sé si es un tema suficientemente largo como para dedicarle un curso completo.

Saludos.

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Organización / Re: Organización del curso: Topología (Munkres)
« en: 05 Enero, 2010, 08:09 pm »
Yo también me inscribo.

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Hola.

Viendo algunas preguntas en el foro, ví una respuesta de Jabato que me parece de lo más acertada:

Hoy en día el cálculo de límites mediante infinitésimos (en general todo lo relacionado con los infinitésimos) está bastante desconsiderado, a veces no se suele ni tan siquiera enseñar, casi se diría que está considerado como matemática obsoleta, pero resulta muy útil a menudo, y cuando es útil suele resultar muy efectivo, como en este caso.

Le comentaba que cuando cursé Análisis Matemático I, en mi facultad, no vimos en detalle el tema de los infinitésimos. Digamos que sólo lo nombraron al pasar. Supongo que nuestros profesores pensaban que cosas como: "la suma de dos infinitésimos es otro infinitésimo" son cuestiones de "intuición y sentido común", por lo que no valía la pena perder tiempo con ésto.

Creo que sería interesante dedicar un curso (o al menos una parte de algún curso que ya esté planeado) al tema de infinitos e infinitésimos, ya que como dice Jabato, por más que sea "matemática obsoleta" puede resultar bastante útil.

Saludos :)

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Informalmente podríamos decir que, en la ecuación explícita de la recta, la pendiente es "lo que acompaña a la equis". Entonces, si en \( 2x+5y=0 \) despejo \( y \), tengo que \( y=-2/5x \).

La ecuación explícita de la recta es \( y=mx+b \), entonces, por identificación de coeficientes, concluímos que \( m=-2/5 \).

51
Hola.

Una recta corta al eje y cuando \( x=0 \).

Entonces para un valor de ordenada al origen \( y = -2 \) tenemos un \( x=0 \), lo que hace que el punto \( P(0,-2) \) pertenezca a la recta.

Entonces, la recta en b) te quedaría: \( y - (- 2) = -5 (x - 0)\Longrightarrow{} y = -5x -2  \)

no entendí muy bien tu explicación pero estoy tratando de sacarlo :(...

Exactamente, ¿cuál es tu dificultad?

Saludos :)

52
Hola.

Ecuación "punto-pendiente" de la recta: necesitás conocer un punto que pertenezca a la recta y la pendiente de la recta. Es el caso de tu apartado a).

\( y - y_0 = m (x-x_0) \)

Para el apartado b), fijate que indirectamente te están dando el punto \( P(0,-2) \).

Para el apartado c) tenés que saber que dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Entonces, en este último apartado, tenés otra vez el punto y la pendiente la despejás de la otra recta.

Spoiler
\( 2x+5y=0\Longrightarrow{} m=-2/5 \)
[cerrar]

Saludos.

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Cursos del Rincón / Re: Cursillos de verano en el foro???
« en: 02 Enero, 2010, 03:05 am »
Pues sí, las cuestiones de programación tendrán que ser con software libre solamente,
para evitar cualquier tipo de inconveniente.

A propósito. ¿IDEs y/o compiladores freeware para C#?

Mono Develop. Podés encontrar más información acá: http://monodevelop.com/

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Cursos del Rincón / Re: Cursillos de verano en el foro???
« en: 01 Enero, 2010, 06:11 am »
Ya veremos qué se puede hacer con el C#, a ver en qué texto nos podríamos basar.

En mi facultad, tanto para C/C++, Java y para C# usamos los libros de Deitel & Deitel:

CÓMO PROGRAMAR C/C++ - C# - Java. DEITEL, HARVEY M. - DEITEL, PAUL. Ed. Pearson.

También me parecen interesantes los libros de la serie: Aprenda informática como si estuviera en primero.

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Cálculo 1 variable / Re: CEROS DE UNA FUNCION
« en: 28 Diciembre, 2009, 10:16 pm »
Hola.

Mmm, sinceramente no sé resolverlo por ningún método algebraico (tampoco sé si será posible). Si me pidieran resolver eso, lo haría por el método de Newton-Raphson. Lo viste en clase? Sería una forma válida de hacerlo.

Esperemos que aladan conteste, a ver qué nos dice.

Un saludo :)

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Cálculo 1 variable / Re: CEROS DE UNA FUNCION
« en: 28 Diciembre, 2009, 08:14 pm »
Hola.

Gracias por la respuesta, la parte donde se hace 0 la funcion trigonometrica la entendi pero basta solo con que la funcion trigonometrica se haga cero? para que la funcion completa se haga 0 porque en la primera ecuacion me queda un 2x que no se anula y en la segunda me queda una x que tampoco se anula.
No logro ver como es el mecanismo para saber a donde cortan al eje X estas dos funciones
Ahora que pusiste donde se anula la tangente y el seno me acurde que las funciones estaban acotadas. Las vuelvo a escribir con el intervalo

1-)  y = 2x - tan(x) entre -\( \pi \)/2< x < \( \pi \)/2
2-)  y = x - 2sen(x) entre -2\( \pi \) < x< 2\( \pi \)  (es menor igual a 2\( \pi \) y mayor igual  a 2\( \pi \)

Gracias por tu ayuda!!!

saludos

No basta con que la función trigonométrica se haga cero, sino que también tenés que hacer cero el primer término. La idea es buscar un valor de x que haga que los dos términos se anulen simultáneamente.

Claramente, en ese intervalo, el valor de abscisa para el cual los dos términos se anulan es \( x=0 \) (solución trivial). Para \( y = x - 2sen(x) \), ésta es la única solución (en el intervalo dado). Para \( y = 2x - tan(x) \) aparte de ésta hay otras dos soluciones, como te explicó aladan.

Podés verlo así: buscar el cero de la función \( y = x - 2sen(x) \) es hacer ésto: \( y = x - 2sen(x) = 0 \), por lo que estaríamos resolviendo ésta ecuación: \( x = 2sen(x) \), es decir, buscamos el punto de intersección entre las dos funciones \( f(x)=x \) y \( g(x) = 2sen(x) \) en el intervalo \( [-\pi / 2 ; \pi / 2] \), lo ves?



Cualquier cosa preguntá.

Saludos :)

PD: Perdón aladan, nos cruzamos. Dejo el post porque quizás le pueda servir.
PD2: Me confundí al ver los intervalos, pensé que las dos funciones estaban acotadas en \( \color{red}[-\pi / 2 ; \pi / 2] \). De todas formas el razonamiento es similar. Así como están planteados los intervalos, tiene razón aladan, las dos funciones presentan en total tres ceros.

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Cálculo 1 variable / Re: CEROS DE UNA FUNCION
« en: 28 Diciembre, 2009, 04:58 am »
Hola. Bienvenido al foro ;)

Para 1) necesitás saber que la función tangente se anula para valores de \( x \) que son múltiplos enteros de \( \pi \), ésto es: \( k \in \mathbb{Z} \Longrightarrow{} tan(k \pi) = 0 \).

Para 2) tenés que tener en cuenta que, al igual que la tangente, la función seno se anula en múltiplos enteros de \( \pi \).

¿Podés resolverlo con esa ayuda?

Cualquier duda preguntá, saludos :)

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Foro general / Re: Suma de los n primeros números elevados a la cuarta.
« en: 26 Diciembre, 2009, 06:35 am »
Hola.

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i^4} = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \)

Este tipo de expresiones se demuestran por inducción. Te adjunto un pdf que puede interesarte.

Si te fijás:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i^4} = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \cdot \displaystyle\frac{(2n+1)}{3} \cdot \displaystyle\frac{(3n^2+3n-1)}{5} \)

El primer factor corresponde a \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i} \) y el producto de los dos primeros factores corresponden a \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2} \). Quizás sea casualidad, quizás no.

Sinceramente si hay una generalización, no la conozco. Esperemos que alguien más venga a darnos una mano ;)

Saludos.


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Hola.

Hace un tiempo pregunté, en este hilo, por el libro de Cálculo I de Rabuffetti. Está agotado, por el momento no se vuelve a editar y no lo había encontrado digitalizado hasta hoy.

El libro es este:



Título: Introducción al Análisis Matemático (Cálculo I)
Autora: Hebe T. Rabuffetti
Editorial: El Ateneo

Índice de temas:
- Nociones previas
- Conjuntos de puntos
- Funciones escalares
- Límite funcional
- Continuidad
- Derivada
- Máximos y mínimos
- Fórmula de Taylor
- Sucesiones numéricas
- Series numéricas
- Primitivas
- Integral definida

La calidad no es muy buena pero se entiende lo mismo.

El link de descarga: http://www.megaupload.com/?d=BX4CRWYB

Quizás puedan agregarlo a la sección Libros de la web.

Saludos :)

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Teoría de números / Re: ¿Menos por menos es más?
« en: 26 Diciembre, 2009, 01:32 am »

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