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Mensajes - aesede

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Aplicados a la vida diaria / Re: Problema padre e hijo.
« en: 07 Febrero, 2010, 10:55 pm »
Sea \( P_0=45 \) y \( H_0=20 \) las edades iniciales del padre y del hijo, respectivamente.

Pasado un cierto tiempo \( t \) (la incógnita) tenemos que las dos edades aumentan en \( t \) años:

\( P=P_0+t \) y \( H=H_0+t \)

Pero necesitamos que ese \( t \) cumpla con ésta condición:

\( \underbrace{45+t}_{P}=\underbrace{2(20+t)}_{2H} \)

Spoiler
Respuesta: \( t = 5 \) años
[cerrar]

Saludos :)

22
Aplicados a la vida diaria / Re: Problema de caminos
« en: 07 Febrero, 2010, 10:36 pm »
Hola.

Si \( L \) representa la longitud total del camino, tenemos:

\( \underbrace{\displaystyle\frac{1}{3} L}_{camino \; recorrido} + \underbrace{25}_{camino \; por \; recorrer} = \underbrace{\displaystyle\frac{1}{2} L}_{mitad \; camino} \)

Spoiler
Respuesta: \( L = 150 km \)
[cerrar]

Saludos :)

23
Temas de Física / Momento de torsión sobre una espira de corriente
« en: 07 Febrero, 2010, 09:58 pm »
Hola.

La espira rectangular de alambre de la figura tiene una masa de \( m=0,19g \) por centímetro de longitud y está fija en el lado ubicado sobre el eje \( z \) a un eje de rotación sin fricción. La corriente en el cable es \( I=6,8A \) en la dirección mostrada. Encuentre la magnitud y la dirección del campo magnético paralelo al eje y que ocasionará que la espira se balancee hasta que su plano forme un ángulo de 30º con el plano \( yz \).



Para que esté en reposo tengo que exigir:

  • \( \displaystyle\sum_{i}{\bar{F_i} = \bar{0}} \Longrightarrow{} \bar{a} = \bar{0} \) (aceleración lineal nula, para que no se desplace)
  • \( \displaystyle\sum_{i}{\bar{M_i} = \bar{0}} \Longrightarrow{} \bar{\alpha} = \bar{0} \) (aceleración angular nula, para que no rote)

pero cuando planteo estas ecuaciones el peso de la espira (componente sobre el eje \( y \)) no se me compensa con ninguna otra fuerza. Distinto sería si el campo tendría componente únicamente paralela al eje \( x \), pero no es así. No quiero abusar, pero me gustaría que me ayudasen a resolverlo, porque realmente no pude.

Gracias de antemano, saludos :)

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Temas de Física / Re: Ley de Gauss
« en: 07 Febrero, 2010, 09:53 pm »
Entiendo. Muchas gracias por responder alespa.

Saludos ;)

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Temas de Física / Re: Campo magnético
« en: 07 Febrero, 2010, 09:33 pm »
Hola aladan y alespa.

Con sus comentarios me hicieron ver que ésto:

1) Si consideramos que el plano que forman los conductores (el plano de la pantalla) es el \( xy \), y que el eje \( z \) es el que sale de la pantalla hacia nosotros, ¿está bien decir que el campo \( \vec{B} \) es el que apunta en dirección del eje \( z \)?

2) En caso que ésto fuese correcto, ¿el hecho que la corriente circule en sentido antihorario genera un campo \( \vec{B} \) en sentido del eje \( z \) positivo? ¿O es al revés?

se reduce (conociendo la fórmula) a un cuestión vectorial más que física :)

Estaba preocupado por no conocer bien la direcciones y sentidos de las magnitudes físicas, pero ahora me doy cuenta que toda la información que necesito está ahí mismo.

Gracias por hacerme razonar, jaja ;)

Cualquier otra duda les pregunto.

Saludos.

26
Temas de Física / Re: Campo magnético
« en: 05 Febrero, 2010, 06:01 pm »
Gracias por contestar todas mis consultas alespa.

Entiendo, ciertamente es mucho más "lógico" e intuitivo trabajar con vectores en estos problemas que son justamente de campos vectoriales. El problema es que todavía no tengo bien en claro algunos conceptos (sobre todo con las direcciones de las magnitudes vectoriales).

Algunas preguntas:

1) Si consideramos que el plano que forman los conductores (el plano de la pantalla) es el \( xy \), y que el eje \( z \) es el que sale de la pantalla hacia nosotros, ¿está bien decir que el campo \( \vec{B} \) es el que apunta en dirección del eje \( z \)?

2) En caso que ésto fuese correcto, ¿el hecho que la corriente circule en sentido antihorario genera un campo \( \vec{B} \) en sentido del eje \( z \) positivo? ¿O es al revés?

Gracias de nuevo, saludos :)

27
Temas de Física / Desviación de un haz de electrones
« en: 05 Febrero, 2010, 02:49 pm »
En el cañón de electrones de un tubo de imagen de TV los electrones son acelerador po un voltaje \( V=7500V \). Después de salir del cañón, el haz de electrones recorre 0,40m hacia la pantalla; en esta región existe un campo magnético transversal de \( 5 \times 10^3 T \) de magnitud (comparable con el campo terrestre) y no hay campo eléctrico. Calcule la desviación aproximada del haz debida a este campo magnético. ¿Es significativa? Rta: 13,7mm.

Sinceramente, no tengo ni idea cómo calcular la desviación. ¿Hay alguna fórmula?

Gracias de antemano, saludos ;)

28
Temas de Física / Re: Campo magnético
« en: 04 Febrero, 2010, 03:07 pm »
Creo que cometí un error al copiar el dibujo. Las corrientes circulan por dos conductores distintos:



Para resolverlo aplico la ley de Biot-Savart:

\( \bar{B_1} = \displaystyle\frac{\mu_0}{4 \pi} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{I_1 d \bar{l} \times \widehat{r}}{R^2} \Longrightarrow{} B_1 = \displaystyle\frac{\mu_0 I_1}{4 \pi R^2} \displaystyle\int_{}^{} dl = \boxed{\displaystyle\frac{\mu_0 I_1}{4 R}} \)

\( \bar{B_2} = \displaystyle\frac{\mu_0}{4 \pi} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{I_2 d \bar{l} \times \widehat{r}}{R^2} \Longrightarrow{} B_1 = \displaystyle\frac{\mu_0 I_2}{4 \pi R^2} \displaystyle\int_{}^{} dl = \boxed{\displaystyle\frac{\mu_0 I_2}{4 R}} \)

La pregunta es ¿qué hago ahora con estos dos campos? ¿De qué forma contribuyen al campo total en el punto P?

El resultado correcto es:

\( B = \displaystyle\frac{\mu_0 |i_1 - i_2|}{4R} \)

Gracias :)

29
Temas de Física / Re: Fuerza magnética por unidad de longitud
« en: 04 Febrero, 2010, 02:51 pm »
Muchas gracias aladan. Saludos :)

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Temas de Física / Fuerza magnética por unidad de longitud
« en: 04 Febrero, 2010, 04:53 am »
Hola.



Tres cables paralelos tienen cada uno una corriente \( I \) en la dirección que se muestra en la figura. Si la separación entre cables adyacentes es \( d \), calcule la magnitud y la dirección de la fuerza magnética neta por unidad de longitud de cada cable.

Tengo que calcular \( \displaystyle\frac{F}{L} \) sobre cada cable. Si llamamos "cable 1" al cable superior, "cable 2" al cable del medio y "cable 3" al cable inferior, tenemos:

\( F/L_{cable \; 1} = \displaystyle\frac{\mu_0}{2 \pi} (- \displaystyle\frac{I^2}{d} + \displaystyle\frac{I^2}{2d}) = - \displaystyle\frac{\mu_0 I^2}{4 \pi d} \)

Pero el resultado correcto es:

     > módulo: \( F/L_{cable \; 1} = \displaystyle\frac{\mu_0 I^2}{4 \pi d} \)
     > dirección y sentido: "hacia arriba"

La pregunta es, ¿estamos diciendo lo mismo con otras palabras, o mi respuesta es incorrecta?

Gracias, saludos.

31
Temas de Física / Campo magnético
« en: 04 Febrero, 2010, 04:40 am »
Hola.

Calcule la magnitud del campo magnético en el punto P de la figura en términos de \( R \), \( i_1 \) e \( i_2 \).



Para una espira circular de radio \( R \) con corriente \( i \) en un punto de su eje a una distancia \( x \) de su centro se tiene: \( B = \displaystyle\frac{\mu_0 * i * R^2}{2(x^2+R^2)^{3/2}} \)

Si consideramos el punto P en el centro de la bobina (esto es: \( x=0 \)) la expresión se reduce a: \( B = \displaystyle\frac{\mu_0 * i}{2R} \), resultado que no coincide con el del libro, que es: \( B = \displaystyle\frac{\mu_0 * |i_1 - i_2|}{4R} \).

Quisiera que me expliquen qué estoy haciendo mal. Gracias de antemano, saludos :)

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Temas de Física / Re: Teclados de computadoras (capacitancia)
« en: 03 Febrero, 2010, 06:23 pm »
Pff, que error tonto! Y yo pensando que el problema venía por otro lado. Muchas gracias alespa :)

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Temas de Física / Teclados de computadoras (capacitancia)
« en: 01 Febrero, 2010, 09:55 pm »
Hola.

En cierto tipo de teclado de computadora, cada tecla está conectada a una pequeña placa de metal que sirve como una de las placas de un capacitor de aire de placas paralelas. Cuando se presiona una tecla, la separación entre las placas disminuye y aumenta la capacitancia. Se utiliza un circuito electrónico para detectar el cambio de capacitancia y determinar qué tecla se presionó. En un teclado determinado el área de cada placa metálica es \( A=49mm^2^ \) y la separación entre las placas es \( d_1=0,6mm \) antes de que se presione la tecla. Si el circuito puede detectar un cambio de capacitancia \( \Delta C = 0,3pF \), ¿cuánto debe presionarse la tecla antes de que el circuito detecte la presión?

Lo encaré así:

\( \Delta C = \epsilon_0 \epsilon_r \displaystyle\frac{A}{\Delta d} \)

Y llego a que: \( d_2 = 2,0455 mm \). Por lo tanto el resultado sería: \( \Delta d = 1,4455 mm \). Pero el resultado del libro es: 0,176mm. Estoy haciendo algo mal pero no me doy cuenta qué. ¿Alguna idea?

Gracias, saludos.

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Temas de Física / Ley de Gauss
« en: 01 Febrero, 2010, 09:34 pm »
Hola. Quisiera que alguien me explique cómo resolver este ejercicio aplicando la Ley de Gauss.

Un conductor con una cavidad interior tiene una carga total de 7nC. La carga dentro de la cavidad, aislada del conductor, es de 5nC. Diga cuánta carga hay:
a) sobre la superficie interior del conductor (rta: -5nC)
b) sobre la superficie exterior del conductor (rta: 12nC)


Gracias de antemano, saludos :)

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Temas de Física / Campo de ruptura y área mínima
« en: 01 Febrero, 2010, 09:27 pm »
Hola.

Tengo éste problema:

El dieléctrico que se va a utilizar es un capacitor de placas paralelas es una variedad de goma que tiene una constante dieléctrica de \( \epsilon_r = 3,40 \) y un campo de ruptura de \( 2 \times 10^7 V/m \). El capacitor debe tener una capacitancia de \( 1,37 nF \) y debe soportar una diferencia de potencial máxima de 6000 V. ¿Cuál es el área mínima que deben tener las placas?

Mi duda es cómo se relaciona el campo de ruptura / diferencia de potencial máxima con el área mínima.

Gracias, saludos ;)

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Te voy actualizando mi estado en el curso :D

  • Integración inmediata... OK
  • Integración por suma de funciones... OK
  • Integración por partes... OK
  • Integración por composición... OK
  • Integración por sustitución... OK
  • Integración por reducción... OK
  • Integración por racionalización... NO LO TENGO DEL TODO CLARO
  • Integración por derivación respecto a un parámetro... NO LO TENGO DEL TODO CLARO

Voy a ver los resultados de los ejercicios de aplicación que publicaste de estos dos últimos métodos a ver si los entiendo.

Gracias! Un saludo.

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Hola Jabato ;)

Si me explicas como has integrado esta expresión:

\( \displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{}^{}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)\ dx \)

te diré si es correcto tu resultado.

Prueba a hacer el cambio de variable \( x=Tan(t) \):

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}=\displaystyle\int_{}^{}dt=ArcTan(x)+Cte \)

En mi modesta opinión este ejercicio no puede resolverse por descomposición en suma de fracciones en la forma que lo haces, pero cuando contestes a mi primera pregunta te diré porqué.

¿Cuales son las primitivas de estas funciones?

\( \displaystyle\frac{1}{x-i} \)                    \(  \displaystyle\frac{1}{x+i} \)

Pues que yo sepa no pueden calcularse en \( R \) ó habría que usar la definición compleja de logaritmo lo que complica mucho el asunto. En todo caso podríamos calcular cada una de las:

\( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx \)                     \( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx \)

y proceder a restar los resultados.

La descomposición correcta en suma de dos integrales es ésta. Si:

\( \displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2i}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right) \)

entonces resulta que:

\( \displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}-\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right) \)

y por lo tanto:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx \)

¿Sabes seguir ahora?, ¿que ocurre si pasamos esos complejos a forma polar?


\( \displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x)) \)                 \( \displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix-1}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x)) \)

y por lo tanto:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\int_{}^{}Cos^2(ArcTan(x))\ dx=ArcTan(x)+Cte \)


El cálculo de los coeficientes \( A \) y \( B \) se realiza por el método de los coeficientes indeterminados y no asignando valores a la variable. No es correcto eso que haces por varias razones. La ecuación que debes plantear es ésta:

\( \displaystyle\frac{A}{1-x}+\displaystyle\frac{B}{1+x}\equiv{}\displaystyle\frac{1}{1-x^2} \)

y la exigencia debe ser que dicha igualdad sea una identidad, es decir, que se satisfaga para todos los puntos del dominio. Dicha condición nos debrá conducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En general puede demostrarse (ya lo veremos) que el sistema es siempre compatible y determinado, lo que nos dice que una función racional siempre puede descomponerse en suma de fracciones simples y además que dicha descomposición es única:

\( A(1+x)+B(1-x)\equiv{}1\qquad\longrightarrow{}\qquad A=B=\displaystyle\frac{1}{2} \)

No es lo mismo exigir la igualdad en dos puntos que exigir la identidad de ambas expresiones.

Evidentemente que mi error está en considerar que: \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x-i} = ln \left |{x-i}\right | + c \). De todos modos espero la explicación :)

Y, con respecto al método de coeficientes indeterminados, creo que sería mejor que esperemos hasta el capítulo II y lo analicemos bien.

III) La función subintegral es la que incluimos bajo el signo integral, es decir, la función subintegral de:

\( \displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx \)

es \( f(x) \)

Ah! Entiendo. Función subintegral = integrando.

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Cursos del Rincón / Re: Opiniones sobre Organización de cursos
« en: 18 Enero, 2010, 09:05 pm »
Hola.

Me parece que por ahora los cursos vienen bastante organizados. No sé qué pasará más adelante, cuando la cantidad de cursos sea mucho mayor. Sin embargo, es cierto que la interfaz de un foro quizás no sea lo más apropiado para cursos grandes. Hay software especializado, como por ejemplo Moodle: http://moodle.org/

Moodle es un "entorno de aprendizaje virtual", lo usan mucho en universidades. Algunas de las características que remarcan en su sitio son:

  • El profesor principal tiene un control completo sobre todos los elementos del curso, incluyendo posibles restricciones a otros profesores.
  • Se puede elegir entre varios formatos de curso tales como semanal, por temas o el formato social, basado en debates.
  • Se ofrecen una serie flexible de actividades del curso: Foros, Diarios, Cuestionarios, Recursos, Consultas, Encuestas, Tareas, Chats y Talleres.
  • En la página principal del curso se presentan los cambios ocurridos desde la última vez que el usuario entró en el curso, lo que ayuda a crear una sensación de comunidad.
  • La mayoria de áreas para introducir texto (recursos, mensajes de los foros, diarios, etc.) se pueden hacer con un editor integrado de HTML (WYSIWYG)
  • Todas las calificaciones de los Foros, Diarios, Cuestionarios yTareas se pueden ver en una única página (y descargarse como un archivo con formato de hoja de cálculo).
  • Registro y seguimiento completo de los accesos del usuario. Se dispone de informes de actividad de cada estudiante, con gráficos y detalles sobre su paso por cada módulo (último acceso, número de veces que lo ha leído) así como también de una detallada "historia" de la participación de cada estudiante, inlcuyendo mensajes enviados, entradas en el diario, etc. en una sola página.
  • Correo electrónico integrado - copias de los envios a los foros, resultados o comentarios de los profesores, etc. pueden ser enviados por correo en formato HTML o texto.
  • Escalas personalizadas - los profesores pueden definir sus propias escalas que se utilizarán para calificar foros, tareas, diarios y glosarios
  • Los cursos se pueden empaquetar en un único archivo zip utilizando la función de "copia de seguridad". Éstos pueden ser restaurados en cualquier servidor Moodle.

Por otro lado, entiendo que buscan que los cursos estén integrados con el foro, y yo también creo que ésto es lo mejor. Además, por el momento creo que implementar un sistema así sería demasiado. El tiempo que demoraríamos en aprender a usarlo sería mayor al tiempo que le dedicaríamos a aprender los contenidos de los cursos. Mi opinión es, por ahora, seguir como estamos.

En fin, no se si la idea es buena o mala, pero nunca viene mal conocer alguna alternativa más. Capáz que a largo plazo se pueda considerar.

Saludos :)

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Algunas preguntitas puntuales:

I. En la tabla de primitivas inmediatas, primer caso. ¿No se debería restringir a \( p \) a tomar valores enteros?

II. Al método de reducción (sección 1.3.3) lo asocio con integrales de la forma \( y'=P(x) e^x \), como por ejemplo la propuesta en el ejercicio de aplicación 2: \( y'=x^2 e^x \), en la que tengo que resolver tantas integrales por partes como indique el grado de \( P(x) \). La pregunta es: ¿este método tiene otras aplicaciones concretas, más allá de ésta?

III. ¿A qué llamamos "función subintegral"?

IV. ¿El método de integración por Racionalización (sección 1.3.2) lo vamos a analizar en detalle en el próximo capítulo? Porque sino quizás algún ejemplo ayude a comprenderlo un poco más. Te agradecería también ejemplos del método por derivación respecto de un parámetro. Hay cosas que no veo del todo claras, por ejemplo, ¿por qué se valoriza \( p=1 \)? Quizás sería interesante que expongas la resolución de los ejercicios de aplicación de este método.

Gracias de antemano Jabato, saludos ;)

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

5) Se pide resolver la integral por integración por suma, por lo que entiendo que la idea es transformar al integrando en una suma de funciones racionales.

5.1) \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2} \)

5.1.1) Si se nos dá la libertad de hacerlo, podemos considerar que \( f \) tiene primitiva inmediata, a saber: \( F(x) = arctan(x) + c \).

5.1.2) Si podemos trabajar con números complejos, podemos descomponer el integrando en una suma de fracciones (método de coeficientes indeterminados). Este método no se expone explícitamente en el curso, pero supongo que es lo que tratará el capítulo II.

El resultado que obtengo con éste método es \( y = \displaystyle\frac{1}{2i} ln \left |{\displaystyle\frac{ix+1}{ix-1}}\right | + C \). ¿Es correcto?

5.2)\( f(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x^2} \)

La expresión \( 1-x^2 \) puede escribirse: \( (1-x)(1+x) \). Ahora bien, una vez factorizado el denominador podemos escribir el integrando de esta forma:

\( \displaystyle\int_{}^{} (\displaystyle\frac{A}{x-1} + \displaystyle\frac{B}{x+1}) dx \)

y si aplicamos el método pedido (descomponemos el integrando como suma de dos funciones) tenemos:

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{A}{x-1} dx + \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{B}{x+1} dx \)

Nos queda encontrar los valores de A y B. Claramente se ve que el integrando tiene que cumplir: \( A(x+1)+B(x-1)=1 \) para todo valor de x. Si hacemos \( x=1 \) y \( x=-1 \) llegamos a que \( A=-1/2 \) y \( B=-1/2 \).

PREGUNTA: ¿no se debería exigir que los valores de x que elija pertenezcan al dominio de la función?

Una vez que conocemos estos valores y que descompusimos al integrando en otras dos funciones racionales "más sencillas" (que podemos resolverlas por sustitución, mediante los cambios: \( x=t+1 \) y \( x=t-1 \) respectivamente) llegamos al resultado:

\( y = - \displaystyle\frac{1}{2} ln|x-1| + \displaystyle\frac{1}{2} ln|x+1| + c \)

Espero no haberme adelantado con temas del segundo capítulo, y pido disculpas de antemano si lo hice, pero es la única forma que se me ocurrió para resolver aplicando el método que se pedía en el enunciado :)

6) Para demostrar que tanto \( y_1 \) como \( y_2 \) son primitivas de la misma función, podemos derivar y ver si los resultados que obtenemos son los mismos.

6.1) \( y_1 = arctan(x) \Longrightarrow{} y_1' = \boxed{\displaystyle\frac{1}{1+x^2}} \)

6.2) \( u = \displaystyle\frac{1}{x} \Longrightarrow{} y_2 = arctan(\displaystyle\frac{1}{x}) = arctan(u) \Longrightarrow{} y_2' = \displaystyle\frac{u}{1+u^2} = \boxed{- \displaystyle\frac{1}{1+x^2}} \)

Las dos expresiones difieren en signo. No sé qué me estoy pasando por alto.

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