Por qué hay que partir la integral?

Hallar el límite de  \( f(x,y) \) cuando \( (x,y)\longrightarrow{}(0,0) \) y hallar  \( a \) para que sea continua.

i) \( f(x,y)=\frac{xy(y-x)}{x^4+y^2} \) si \( (x,y)\neq(0,0) \) y \( a \) para \( (x,y)=(0,0) \)
ii)  \( f(x,y)=\frac{xy^2(y-x)}{x^4+y^2} \) si \( (x,y)\neq(0,0) \) y \( a \) para \( (x,y)=(0,0) \)

i) \( \displaystyle\int_{0}^{x}f(t^2)dt=2x^5+e^{x^2}+a \) hallar \( a,f(t)  \) para todo \( t\geq 0  \)

ii) \( \displaystyle\int_{1}^{x^2}f(t)dt=xlnx+ax \) hallar \( a,f(t) \)

Y lo mismo, además del derivado y clausura de

\( A=\left\{{(x,y)\in R^2:1\leq{}x\leq{}2,-1<y<3}\right\},  \) .

Pero \( b >0 \) y en el gráfico solamente el valor mínimo es 1. Además es claro que \( a \) controla la elevación del gráfico. Se pone en general como puntos de referencia la diagonal e interesa saber el promedio en que esta función está por encima del eje diagonal, creo que se puede utilizar el valor promedio de una función y eso nos daría un indicador de su posición promedio respecto al eje diagonal. Pero,

\( \int_{0}^{1}e^{(-a(-lnx)^b)}dx=??? \)


Ahora para la curvatura, y achatada, creo que ahí deberíamos buscar un indicador de cuánto en promedio está lo más paralelo esté la función al eje de las abscisas, capaz que usar el valor promedio de la derivada primera de ésta función. Lo más achatado es que la función sea prácticamente paralela al eje de las x. Una forma que se me ocurrió es dado que  \( \int_{0}^{1}f'(x)dx=1 \) significa que, como la función es creciente, habrá intervalos con pendiente mayores o menores a uno. La función es más achatada cuanto mayor sea el intervalo con \( f'(x)<1. \)  Y un indicador puede ser la distancia entre los valores \( p,q \) tal que \( f'(p)=f'(q)=1, \) cuanto mayor sea \( p-q \) más achatada será la curva Por último, qué tipo de función creciente cóncava convexa, con \( f(x,a,b) \) con \( a,b \in R \) parámetros tal que \( f(0)=0,f(1)=1 \) tal que el valor promedio de esa función solamente dependa del parámetro \( a \) y lo achatado dependa solamente del parámetro \( b \) es posible construir una función así? Creo que puede intentarse con un polinomio de tercer grado. Además, se podría aproximar con éste polinomio a la función de más arriba?.

Ok, cambié la pregunta, pero creo que la respuesta es la misma, no?

Es decir, \( w^*(x) \) es subaditiva en \( [0,1] \)?

Si \( w \in [0,1] \) es continua, cóncava-convexa (que corta el eje diagonal \( w(x)=x \)  desde arriba), diferenciable, creciente con \( w(0)=0,w(1)=1. \)

Defino dos regiones,
i) \( [1-b_m,b_M] \) tal que \( w(b_M)=2w(b_M/2) \) y \( w^*(b_m)=2w^*(b_m/2), \) siendo \( w^*(x)=1-w(1-x) \)

ii) La otra es la región determinada por el intervalo \( [p_1,p_2] \) tal que \( w'(p_1)=w'(p_2)=1 \) y \( w'(p)<1 \) para todo \( p\in (p_1,p_2). \)

Quiero saber si \( [p_1,p_2]\subseteq{}[1-b_m,b_M] \)   

Hola

Supongamos que tengo dos funciónes  \( f \) tal que \( f(0)=0,f(1)=1 \) continua y creciente y \( g(x)=x^d \) con \( d \in (0,1) \). Supongamos que tenemos las siguientes igualdades

 \( f(p)g(G)=g(a+pG)=I \)
 \( f(q)g(G)=g(b+qG)=II \)
 \( f(p+q)g(G)=g(c+(p+q)G)=III \)

Con  \( G>0 \),  \( a,b,c \in R \) y  \( p,q,p+q \in (0,1). \)
Puede ser que si  \( f \) es subaditiva no se cumpla la igualdad  \( I+II=III \) En definitiva, me interesa estudiar los signos de  \( I+II-III \)

Entre \( a \) y \( b, \) tiene la pinta de ser decreciente y convexa para todo \( p \in [0,1]. \)

Además, cómo sería el valor de \( \int_{0}^{c}(p-w(p))dp \) siendo \( w(c)=2w(c/2) \)