Hola.
En un libro tengo dos ejercicios,  pero mi pregunta es sobre el segundo.
Primero
Se desea diseñar un faro que tenga \( 30 \) centímetros de diámetro. El filamento de la bombilla se encuentra a \( 3 \)  centímetros vértice. ¿Qué profundidad debe tener el faro que se quiere que el filamento quedé justo en la posición de su foco?
Lo resolví y la respuesta es \( 18.75 \)  centímetros. Y tengo la ecuación \( x^2=75y \)
Segundo
Si en el ejercicio anterior se quiere que el faro tenga \( 2.75 \) centímetros menos de profundidad, ¿cuánto debe medir el diámetro?
Pensé que solo debía sustituir \( y=16 \) pero no me dio la respuesta, también sustitui \( y=0.25 \) pero tampoco me dio.
En todo caso la respuesta que da el libro es \( 27.71 \) centímetros.
Saludos.

Hola.
Se me da la ecuación general de la  circunferencia
\( Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \) con \( A=C \).
¿Por qué es cierto que \( A=C \)?

Saludos.

Hola.
Estoy leyendo algo sobre pendientes y se me da el siguiente ejercicio.

Las pendientes de dos rectas son \( 1 \) y \( -2-\sqrt[ ]{3} \)  respectivamente. Encuentra las pendientes de las bisectrices de los ángulos que forman (existen dos soluciones).

Uso la siguiente fórmula
\( tan\theta=\displaystyle\frac{m_f-m_i}{1+m_im_f} \)
Donde
\( m_i \)  es la pendiente inicial
\( m_f \) es la pendiente final
Usando la fórmula tengo que los ángulos que forman las rectas son de \( 120° \) y \( 60° \)
Las líneas rojas punteadas de la siguiente imagen son las bisectrices.


Primero uso la bisectriz como pendiente inicial.
\( tan60°=\displaystyle\frac{1-m_i}{1+m_i} \) y tengo \( m_i=-2+\sqrt[ ]{3} \)
Luego usó la otra bisectriz como pendiente final.
\( tan30°=\displaystyle\frac{m_f-1}{1+m_f} \)  y tengo \( m_f=2+\sqrt[ ]{3} \)
Estas son las dos respuestas que me da el libro. Pero después me puse a pensar que elegí los ángulos de manera aleatoria y los intercambié y me dieron respuesta diferentes.
Es decir hice
\( tan30°=\displaystyle\frac{1-m_i}{1+m_i} \) y tengo \( m_i=2-\sqrt[ ]{3} \)
Luego
\( tan60°=\displaystyle\frac{m_f-1}{1+m_f} \)  y tengo \( m_f=-2-\sqrt[ ]{3} \)

¿Qué tengo malo?

Saludos.

Muy buenas.
Tengo una duda sobre una ecuación trigonométrica.
Se me da la ecuación
\( \sqrt[ ]{2}\cos x-\sqrt[ ]{2}\sen x=-\sqrt[ ]{3} \)
Al sustituir y tener una ecuación solo para coseno tengo
\( 4\cos^2x+2\sqrt[ ]{6}\cos x+1=0 \)
Y al resolver la ecuación cuadrática
\( x=105° \) y \( x=165° \)
Éstas son las respuestas que el libro me da.
Mi duda está en que cuando resuelvo para tener solo seno me da como resultado respuestas diferentes. Tengo la ecuación cuadrática.
\( 4sen^2x-2\sqrt[ ]{6}senx+1=0 \)
Y al resolverlo me da.
\( x=75° \) y \( x=15° \).
Gracias por la ayuda.

Muy buenas.
Tengo que demostrar la siguiente identidad.
\( sen(10°+x)cos(20°-x)+cos(80°-x)sen(70°+x)=sen(2x-10°) \)

Al principio traté con las identidades de productos y luego con las de suma y resta, pero no llegué a nada. Luego me di cuenta de que si hago la sustitución   \( x=0 \) el primer miembro de la igualdad es positivo y el segundo es negativo y por tanto no es una identidad.
¿Me he saltado algo?
Gracias por la ayuda.

Muy buenas tengo que resolver la siguiente identidad.
\( \displaystyle\frac{cos^3x-sen^3x}{cos2x}=cosx-\displaystyle\frac{sen2x}{2(senx+cosx)}+senx \)
Indicaré hasta donde pude llegar.

\( \displaystyle\frac{cos^3x-sen^3x}{cos2x}=\displaystyle\frac{(cosx-senx)(cos^2x+senxcosx+sen^2x)}{cos^2x-sen^2x} \)

\( \displaystyle\frac{(cosx-senx)(1+senxcosx)}{(cosx-senx)(cosx+senx)} \)   se eliminan factores comunes.

\( \displaystyle\frac{1+senxcosx}{senx+cosx}=\displaystyle\frac{1}{senx+cosx}+\displaystyle\frac{2senxcosx}{2(senx+cosx)} \)

\( \displaystyle\frac{1}{senx+cosx}+\displaystyle\frac{sen2x}{2(senx+cosx)} \)
Gracias por la ayuda.

Muy buenas.
Tengo  un problema de identidad trigonométrica. Le  he dado muchas vueltas y  no sé cómo resolverlo.

\( cos8x+cos4x=2cos2x-4(sen^23x)(cos2x) \)

Podrían hacerme el favor de decirme qué estrategias puedo adoptar para resolver identidades. Gracias.

Buenas tardes.
Tengo un problema con la demostración de un teorema. 



Teorema: Un arco circular cualquiera situado dentro del espacio determinado por su cuerda y una línea envolvente es menor que está línea.

De éste se obtiene el corolario que el perímetro de todo polígono circunscrito es mayor que el círculo. El teorema en el que el perímetro de todo polígono inscrito es menor que el círculo es más  fácil de demostrar porque entre dos puntos la distancia más corta es el segmento de recta que los une.
¿Podrían ayudarme?