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Temas - narpnarp

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Trigonometría y Geometría Analítica / Aplicación de parábola.
« en: 17 Enero, 2021, 04:50 pm »
Hola.
En un libro tengo dos ejercicios,  pero mi pregunta es sobre el segundo.
Primero
Se desea diseñar un faro que tenga \( 30 \) centímetros de diámetro. El filamento de la bombilla se encuentra a \( 3 \)  centímetros vértice. ¿Qué profundidad debe tener el faro que se quiere que el filamento quedé justo en la posición de su foco?
Lo resolví y la respuesta es \( 18.75 \)  centímetros. Y tengo la ecuación \( x^2=75y \)
Segundo
Si en el ejercicio anterior se quiere que el faro tenga \( 2.75 \) centímetros menos de profundidad, ¿cuánto debe medir el diámetro?
Pensé que solo debía sustituir \( y=16 \) pero no me dio la respuesta, también sustitui \( y=0.25 \) pero tampoco me dio.
En todo caso la respuesta que da el libro es \( 27.71 \) centímetros.
Saludos.

2
Hola.
Un libro resuelve el siguiente ejercicio por mí

Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos
\( M(2,-2) \)  \( N(-1,4) \)  \( O(4,6) \)

Utilizan la ecuación general \( Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \)

Y luego sustituyen \( A=C=1 \) ¿Por qué es posible elegir \( 1 \) para  la sustitución?

Saludos.

3
Hola.
Se me da la ecuación general de la  circunferencia
\( Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \) con \( A=C \).
¿Por qué es cierto que \( A=C \)?

Saludos.

4
Hola.
Tengo el siguiente ejercicio
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los puntos  \( (0,2) \) y \( (0,-2) \)   es siempre igual a \( 3 \) (dos soluciones).
Usé la fórmula de la distancia y tengo
\( \sqrt[ ]{x^2+(y-2)^2}-\sqrt[ ]{x^2+(y+2)^2}=3 \)
\( \sqrt[ ]{x^2+(y-2)^2}=3+\sqrt[ ]{x^2(y+2)^2} \)
Elevando al cuadrado y simplificando
\( 8y+9=-6\sqrt[ ]{x^2+(y+2)^2} \)
De nuevo elevó al cuadrado y simplifico y tengo
\( 36x^2-28y^2+63=0 \)
Esta es una de las respuestas que debo encontrar y la otra es \( 28y^2-36x^2-63=0 \)
Pensé que si intercambiaba el minuendo y el sustraendo encontraría la otra respuesta pero obtuve la misma que en la anterior resolución. Grafique la otra ecuación en geogebra y me di cuenta de que las dos ecuaciones representen la misma gráfica, pero aun así no pude llegar la otra ecuación.
Saludos.

5
Hola.
Estoy leyendo algo sobre pendientes y se me da el siguiente ejercicio.

Las pendientes de dos rectas son \( 1 \) y \( -2-\sqrt[ ]{3} \)  respectivamente. Encuentra las pendientes de las bisectrices de los ángulos que forman (existen dos soluciones).

Uso la siguiente fórmula
\( tan\theta=\displaystyle\frac{m_f-m_i}{1+m_im_f} \)
Donde
\( m_i \)  es la pendiente inicial
\( m_f \) es la pendiente final
Usando la fórmula tengo que los ángulos que forman las rectas son de \( 120° \) y \( 60° \)
Las líneas rojas punteadas de la siguiente imagen son las bisectrices.


Primero uso la bisectriz como pendiente inicial.
\( tan60°=\displaystyle\frac{1-m_i}{1+m_i} \) y tengo \( m_i=-2+\sqrt[ ]{3} \)
Luego usó la otra bisectriz como pendiente final.
\( tan30°=\displaystyle\frac{m_f-1}{1+m_f} \)  y tengo \( m_f=2+\sqrt[ ]{3} \)
Estas son las dos respuestas que me da el libro. Pero después me puse a pensar que elegí los ángulos de manera aleatoria y los intercambié y me dieron respuesta diferentes.
Es decir hice
\( tan30°=\displaystyle\frac{1-m_i}{1+m_i} \) y tengo \( m_i=2-\sqrt[ ]{3} \)
Luego
\( tan60°=\displaystyle\frac{m_f-1}{1+m_f} \)  y tengo \( m_f=-2-\sqrt[ ]{3} \)

¿Qué tengo malo?

Saludos.

6
Muy buenas.
Tengo que demostrar la siguiente fórmula para encontrar el área de un triángulo. La verdad no tengo ni una remota idea cómo hacerlo.

\( Área=\displaystyle\frac{2abc}{a+b+c}[cos(\displaystyle\frac{A}{2})cos(\displaystyle\frac{B}{2})cos(\displaystyle\frac{C}{2})] \)

Aunque si fui capaz de demostrarlo para un lado cualquiera y los ángulos adyacentes a él. Usando la función seno.
 
\( Área=\displaystyle\frac{a^2senBsenC}{2sen(B+C)} \)
Aunque no sé si lo anterior me puede ayudar en algo.  Para demostrar lo anterior partí de la fórmula básica.

\( Área=\displaystyle\frac{(base)(altura)}{2} \)
Muchas gracias.

7
Muy buenas.
Tengo una duda sobre una ecuación trigonométrica.
Se me da la ecuación
\( \sqrt[ ]{2}\cos x-\sqrt[ ]{2}\sen x=-\sqrt[ ]{3} \)
Al sustituir y tener una ecuación solo para coseno tengo
\( 4\cos^2x+2\sqrt[ ]{6}\cos x+1=0 \)
Y al resolver la ecuación cuadrática
\( x=105° \) y \( x=165° \)
Éstas son las respuestas que el libro me da.
Mi duda está en que cuando resuelvo para tener solo seno me da como resultado respuestas diferentes. Tengo la ecuación cuadrática.
\( 4sen^2x-2\sqrt[ ]{6}senx+1=0 \)
Y al resolverlo me da.
\( x=75° \) y \( x=15° \).
Gracias por la ayuda.

8
Muy buenas.
Tengo que demostrar la siguiente identidad.
\( sen(\displaystyle\frac{2π}{9}+x)cos(\displaystyle\frac{π}{18}+x)-sen(\displaystyle\frac{5π}{18}-x)cos(\displaystyle\frac{4π}{9}-x)=\displaystyle\frac{1}{2} \)
Lo hice por partes.

\( sen(\displaystyle\frac{2π}{9}+x)cos(\displaystyle\frac{π}{18}+x)=\displaystyle\frac{1}{2}[sen(2x+\displaystyle\frac{5π}{18})+sen\displaystyle\frac{π}{6}] \)

\( sen(\displaystyle\frac{5π}{18}-x)cos(\displaystyle\frac{4π}{9}-x)=\displaystyle\frac{1}{2}[sen(-(2x+\displaystyle\frac{5π}{18}))+sen(-\displaystyle\frac{ π}{6})] \)

En la anterior utilicé.

\( sen(-2x+\displaystyle\frac{13π}{18})=sen[\displaystyle\frac{2π}{2}-(2x+\displaystyle\frac{5π}{18})]=sen[-(2x+\displaystyle\frac{5π}{18})] \)

Pero al hacer las simplificaciones no me dio el segundo miembro de la igualdad.
Gracias por la ayuda.



9
Muy buenas.
Tengo que demostrar la siguiente identidad.
\( sen(10°+x)cos(20°-x)+cos(80°-x)sen(70°+x)=sen(2x-10°) \)

Al principio traté con las identidades de productos y luego con las de suma y resta, pero no llegué a nada. Luego me di cuenta de que si hago la sustitución   \( x=0 \) el primer miembro de la igualdad es positivo y el segundo es negativo y por tanto no es una identidad.
¿Me he saltado algo?
Gracias por la ayuda.

10
Trigonometría y Geometría Analítica / Simplificación de un quebrado.
« en: 30 Noviembre, 2020, 12:21 am »
Muy buenas.
Me dan para demostrar la siguiente identidad.

\( \displaystyle\frac{tan\displaystyle\frac{π}{6}tan\displaystyle\frac{5π}{12}+tan\displaystyle\frac{π}{12}tan\displaystyle\frac{5π}{12}}{1-tan\displaystyle\frac{π}{6}tan\displaystyle\frac{π}{12}}=2+\sqrt[ ]{3} \)

Ocupe las identidades necesarias para llegar al siguiente resultado que comprobé con la calculadora y es igual al resultado final pero no sé cómo simplificarlo. Creo que en algún paso de la simplificación se me ha pasado por alto.

\( \displaystyle\frac{2+\sqrt[ ]{4-2\sqrt[ ]{3}}}{-2+\sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}} \)

Muchas gracias.

11
Muy buenas tengo que resolver la siguiente identidad.
\( \displaystyle\frac{cos^3x-sen^3x}{cos2x}=cosx-\displaystyle\frac{sen2x}{2(senx+cosx)}+senx \)
Indicaré hasta donde pude llegar.

\( \displaystyle\frac{cos^3x-sen^3x}{cos2x}=\displaystyle\frac{(cosx-senx)(cos^2x+senxcosx+sen^2x)}{cos^2x-sen^2x} \)

\( \displaystyle\frac{(cosx-senx)(1+senxcosx)}{(cosx-senx)(cosx+senx)} \)   se eliminan factores comunes.

\( \displaystyle\frac{1+senxcosx}{senx+cosx}=\displaystyle\frac{1}{senx+cosx}+\displaystyle\frac{2senxcosx}{2(senx+cosx)} \)

\( \displaystyle\frac{1}{senx+cosx}+\displaystyle\frac{sen2x}{2(senx+cosx)} \)
Gracias por la ayuda.

12
Muy buenas.
Tengo que demostrar la siguiente identidad.
\( cos12°cos24°cos48°cos96°=-\displaystyle\frac{1}{16} \)
Tengo que  usar ángulos notables para resolverla.
Me di cuenta que cada ángulo es el doble del anterior y \( 48+12=60 \) \( 96+24=120 \)
Usé  la identidad \( cosxcosy=\displaystyle\frac{cos(x+y)+cos(x-y)}{2} \), pero no pude llegar al resultado que me piden. Gracias por la ayuda.

13
Muy buenas.
Tengo  un problema de identidad trigonométrica. Le  he dado muchas vueltas y  no sé cómo resolverlo.

\( cos8x+cos4x=2cos2x-4(sen^23x)(cos2x) \)

Podrían hacerme el favor de decirme qué estrategias puedo adoptar para resolver identidades. Gracias.

14
Matemáticas Generales / Demostrar identidad trigonométrica.
« en: 18 Noviembre, 2020, 08:08 pm »
Muy buenas.

Demostrar  \( 4\tan^{-1}(-\displaystyle\frac{3}{2})+π\equiv{4}\tan^{-1}(-\displaystyle\frac{1}{5}) \)

Lo que sigue es mío
\(  α=tan^{-1}(-\displaystyle\frac{3}{2}) \)    \( β=\tan^{-1}(-\displaystyle\frac{1}{5}) \)
De modo que
\( β-α=\displaystyle\frac{π}{4} \)
Pero no sé que más hacer. Traté de construir un triángulo rectángulo con la informción  dada, pero no se especifica el cuadrante.
Gracias  de antemano por la ayuda.

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Buenas tardes.
Tengo un problema con la demostración de un teorema.  :banghead:



Teorema: Un arco circular cualquiera situado dentro del espacio determinado por su cuerda y una línea envolvente es menor que está línea.

De éste se obtiene el corolario que el perímetro de todo polígono circunscrito es mayor que el círculo. El teorema en el que el perímetro de todo polígono inscrito es menor que el círculo es más  fácil de demostrar porque entre dos puntos la distancia más corta es el segmento de recta que los une.
¿Podrían ayudarme? 

16
Saludos.
Me podrían ayudar con un sistema cuadrático, yo traté pero sin lograrlo. Eliminé una de las variables al cuadrado, factoricé y no conseguí nada.
\( \begin{cases}a^2+ab+b^2=49\\a^2-ab-2b^2=0 \end{cases} \)
Un método que me enseñaron es que debía eliminar el término independiente, pero aquí no se puede  porque en la segunda ecuación el término independiente es cero.

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