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Mensajes - Richard R Richard

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Teoría de números / Re: Número perfectos impares ...existen o no?
« en: 22 Octubre, 2019, 02:32 am »
Estamos de acuerdo en que

 para \( P\geq3 \) para todo \( n\geq1 \) siempre sucede que

\( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i \quad \forall P\geq3 \wedge n\geq1  \)

y que al multiplicar en los dos lados por una potencia de un primo arbitrario \( P_2\geq3  \) sigue cumpliéndose

\( P_2^{m+1}\cdot P_1^{n+1}> P_2^{m+1}\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i}> \left(\displaystyle\sum \limits_{j=0}^m P^j\right)\cdot \left(\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i\right)=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n\sum \limits_{j=0}^m P_2^j\cdot P_1^i\quad \Longleftrightarrow \quad \forall P_i\geq3 \)

y que se puede generalizar para la multiplicación de cualquier otro primo


\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w+1}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\Longleftrightarrow \quad \forall P_w\geq3
 \)

Por otro lado estamos de acuerdo que si

 \( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)

entonces \( P^{n+1}+P^{n+1}=2P^{n+1}> P^{n+1}+P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^{n+1} P^i \)

ahora es más fácil ver ..... donde me equivocaba!!!!!!... \( 10^n \)Gracias...


quedando

\( \left(2^w-1\right)\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}+1}>\sum\limits_{i=0}^{e_1+1}\sum\limits_{j=0}^{e_2+1}....\sum\limits_{k=0}^{e_n+1}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}+1}
 \)
o bien para mas claridad

\( \left(2^w-1\right)\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
 \)

Conclusión....  A seguir remando....

Solo extraje

-Una potencia de un único primo no puede ser un número perfecto!!!!

-Un número perfecto impar tiene que tener al menos uno de los factores primos que lo componen elevado a una potencia impar...

422
Teoría de números / Re: Número perfectos impares ...existen o no?
« en: 21 Octubre, 2019, 06:25 pm »
Hola

 Gracias por copiar aquí tu desarrollo completo.

 Pero hay algo que me sorprende; o me estoy perdiendo algo, o estás cometiendo exactamente los mismos errores que te comenté aquí.



Es cierto que:

\( 2P^t>\displaystyle\sum_{i=0}^t{}P^t \)  (*)

Pero luego... la siguiente desigualdad que pones es cierta, pero no usas el exponente que te conviene:

\( 2\displaystyle\prod_{w=1}^nP_w^{\color{red}e_w+1\color{black}}>\displaystyle\sum_{i=1}^{e_1}{}\displaystyle\sum_{j=1}^{e_2}\ldots \displaystyle\sum_{k=1}^{e_w}{} P_1^i\cdot P_2^j\cdot \ldots \cdot P_w^k \)

Lo siento Luis corregi una parte, la critica sobre que pasaba con el Primo 2, lo que sigue es un error en el exponente, ese "+1"  estaba demás, ya lo corregi en rojo, creo que así se hace en este foro, si no es así indícame por favor como se hace...

lo siguiente estaría solucionado


El que te conviene y corriges después es:

\( 2\displaystyle\prod_{w=1}^nP_w^{\color{red}e_w\color{black}}>\displaystyle\sum_{i=1}^{e_1}{}\displaystyle\sum_{j=1}^{e_2}\ldots \displaystyle\sum_{k=1}^{e_w}{} P_1^i\cdot P_2^j\cdot \ldots \cdot P_w^k \)

ahora el exponente correcto y la desigualdad correcta...

¡Pero ahora esa desigualdad es falsa! Porque de (*) en realidad lo que deduces es:

\( \color{red}2^w\color{black}\displaystyle\prod_{w=1}^nP_w^{\color{red}e_w\color{black}}>\displaystyle\sum_{i=1}^{e_1}{}\displaystyle\sum_{j=1}^{e_2}\ldots \displaystyle\sum_{k=1}^{e_w}{} P_1^i\cdot P_2^j\cdot \ldots \cdot P_w^k \)

Y hay otro detalle más que deberías de tener en cuenta: las inecucaciones que usabas eran ciertas también para el primo 2. Entonces estarías probando también que no hay números perfectos pares... pero si los hay. ¡Algún fallo tenía que haber!.

 ¿Qué es lo que no entiendes de mi crítica? Pregunto esto porque como no has subsanado nada supongo que no me he explicado bien o hay algo que no comprendes.

Saludos.
[/quote]

Creo que no es así, esta última ecuación a la que haces critica,  el 2 surge de duplicar la productoria y no de utilizar al 2 como número primo,

Fijate que al principio  hago el mismo procedimiento, \( N+N=2N=\color{red}{Sumatoria\,de\,Productos} \)  luego \( N=\color{red}{Sumatoria\,de\,Productos}-N \)

Si el error crees que persiste, voy a desarrollarlo lo mas que pueda paso a paso , a ver si caigo en cuentas, por ahora no lo veo. Gracias desde ya por dedicarle tiempo . Saludos


Pd veo ahora tu nuevo aporte, gracias por lo rápido que me contestas.... cuando me desocupe del trabajo  aclaro lo que pueda ...si puedo. Un saludo  Gracias de Nuevo.

423
Teoría de números / Número perfectos impares ...existen o no?
« en: 21 Octubre, 2019, 04:50 am »
Gracias a lo conversado en el hilo http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110944.0

He podido modificar parte del desarrollo de un artículo de Blog que publicara en otra web, de la cual ahora hago copia.


Al no ser matemático de carrera, desconozco el rigor necesario para una demostración, pero para eso presento esta entrada, esperando que se me indique donde mi razonamiento falla, y si no es posible, entonces si habré demostrado que es no posible que existan números perfectos impares.

Para los que no sepan que es un número perfecto daré la definición:

Una primera aproximación sería un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

Pero qué es un divisor propio positivo, bueno es otro número también entero que es divisor de otro natural \( N \), pero que es diferente de \( N \).

Los divisores de \( N \) como el \( 1 \) y \( N \) se los llaman impropios.

Pero una mejor definición de Número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos...más el impropio \( 1 \)

Un ejemplo sencillo de número perfecto es el \( 6 \) ya que es el producto de \( 1\cdot 2\cdot 3 \) y esos tres números el \( 1 \), \( 2 \) y \( 3 \) son los divisores propios e impropios que no son el mismo \( 6 \).
Luego al sumar todos ellos \( 1+2+3=6 \) también tenemos como resultado al número perfecto.

Existen otros números perfectos como el \( 28 \) que es \( 2^2\cdot 7=1+2+4+7+14=28 \) pero de los \( 51 \) que se encontraron la actualidad todos ellos son pares.

Los desafíos matemáticos abiertos sobre esta temática son:
Demostrar que los números perfectos son infinitos en cantidad.
Que se encuentre uno que sea impar o bien se demuestre que no existe ninguno.
Este último desafío me cautivó y empecé a dedicarle un poco de tiempo, con lápiz y papel.

Veamos si he podido sacarle el jugo...

Un número perfecto es el que cumple que

\( N= \displaystyle\prod\limits_{w=1}^nP_w^{e_w}=\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

los \( P_w \) son números primos resultantes de la descomposición en factores primos de \( N \)
y los \( e_w \) son los exponentes a los cuales esta elevado el número primo \( P_w \)

Donde el segundo término de la igualdad es la representación del número perfecto como la productoria de todos los factores primos en que se puede descomponer el Número perfecto, cada uno elevado a su respectivo exponente. El tercero consta de la agrupación en dos sumandos, de todos los factores propios y no propios posibles de obtener como permutación de los factores primos elevados como máximo a la respectiva potencia dentro de la productoria y el otro sumando de valor negativo es la multiplicación de todos los factores primos a la máxima potencia. Si se desarrolla la primer serie de sumandos se ve que para eliminar de la lista el propio valor \( N \) hace falta restarlo y es lo que se hace con el último sumando

Otra forma más sencilla de desarrollar la expresión es

\( 2N= 2\displaystyle\prod\limits_{w=1}^nP_w^{e_w}=\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k} \)

Es sencillo darse cuenta que si cualquier \( P_w \) se le asigna el número primo \( 2 \) entonces el número perfecto buscado será par, luego el primo \( 2 \) y al \( 1 \) por razones obvias ,no los vamos a considerar en como posibles valores de \( P_w \) de la productoria.

También podemos prestar atención que la cantidad de sumandos del tercer término de la última ecuación, deberá ser par para que haya una solución posible, esto es que

\( (e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot....(e_n+1) \) sea par .... Luego es necesario que alguno de los \( e_w \) sea impar para que haya solución,(esto reduce las combinaciones posibles de búsqueda por fuerza bruta), pero no nos será de mucha utilidad si queremos avanzar en una demostración general.

Un resultado previo

Analicemos si el sumatorio de un primo elevado a todos los exponentes entre \( 0 \) y \( n \) es menor mayor o igual que ese primo elevado a un exponente una unidad mayor a \( n \).. en fórmulas

\( P^{n+1}\gtreqqless P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)

La finalidad es analizar siempre que \( n>0 \)

Es fácil observar que si \( P=1 \) el resultado es que el símbolo a usar en la ecuación es el \( < \) para todo \( n>0 \).

\( 1^{n+1}< 1^{n}+1^{n-1}+1^{n-2}+....+1^{1}+1^{0} \)


También que si \( P=2 \) el resultado es que el símbolo a usar es el \( > \) para todo \( n\geq1 \).

\( 2^{n+1}> 2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

Porque a la vez sucede que

\( 2^{n+1}-1= 2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

por lo que

\( 2\cdot2^n-1=2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

luego \( \displaystyle 2\prod\limits_{w=2}^nP_w^{e_w}\cdot2^n=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}2^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}= \)\( \displaystyle\left(2^{n+1}-1\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\right) \)

llamando \( Q=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

y \( R=\displaystyle\prod\limits_{w=2}^nP_w^{e_w} \)


\( 2N=\displaystyle 2R\cdot2^n=\left(2^{n+1}-1\right)Q \)

luego

\( R\cdot2^{n+1}=2^{n+1}Q-Q=^{n+1}Q-Q \)

\( Q=2^{n+1}\left( Q-R\right) \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{Q}{Q-R} \)

mientras se cumpla esta relación habrá soluciones de números perfectos pares...

ej \( p_2=3 \)

\( Q= (1+3)=4 \)

\( R=(1*3)=3 \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{4}{4-3}=4\quad\to\quad n=1 \)

\( N=1\cdot2^1\cdot 3=2^03^0+2^13^0+2^03^1+2^13^1-1\cdot2^1\cdot 3=6 \)

Del mismo modo

\( p_2=7 \)

\( Q= (1+7)=8 \)

\( R=(1*7)=7 \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{8}{8-7}=8\quad\to\quad n=2 \)

\( N=1\cdot2^2\cdot 7=2^07^0+2^17^0+2^07^1+2^17^1+2^27^0+2^27^1-1\cdot2^2\cdot 7=28 \)

dicha relación se puede comprobar seguro con los 49 números perfectos pares restantes conocidos.

Por eso el primo \( 2 \) a partir de ahora no lo vamos a utilizar en el análisis posterior que limitaremos a sólo primos mayores o iguales a \( 3 \) pero bien vale tener en cuenta sus resultados.

Entonces para \( P\geq3 \) para todo \( n\geq1 \) siempre sucede que

\( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i \quad \forall P\geq3 \wedge n\geq1  \)

luego al multiplicar en los dos lados por un primo arbitrario \( P_2  \) sigue cumpliéndose

\( P_2\cdot P_1^{n+1}> P_2\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i} \)

\( P_2^m\cdot P_1^{n+1}> P_2^m\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i} \)

\( P_2^{m+1}\cdot P_1^{n+1}> \left(\displaystyle\sum \limits_{j=0}^m P^j\right)\cdot \left(\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i\right)=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n\sum \limits_{j=0}^m P_2^j\cdot P_1^i\quad \Longleftrightarrow \quad \forall P_i\geq3 \)

esto se puede generalizar para la multiplicación de cualquier otro primo


\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w+1}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\Longleftrightarrow \quad \forall P_w\geq3
 \)

Otro resultado útil es

si \( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)

entonces \( P^{n+1}+P^{n+1}=2P^{n+1}> P^{n+1}+P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^{n+1} P^i \)

es posible hacer el cambio de variable en los sumatorios cambiando la variable n por una unidad inferior si \( t=n+1 \) quedaría


\( 2P^{t}> \displaystyle\sum \limits_{i=0}^{t} P^i \) y luego reemplazar \( t \) por cualquier otro símbolo

aqui ya no hay una relación dependiente del numero 2, donde despejar \( n \)

ahora es más fácil ver que

\( 2 \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w\color{red}{\cancel{+1}}}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k} \)

luego que

\( 2 \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
 \)

quedando

\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
 \)

y sabiendo que \( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}=P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n}
 \)

He llegado a que siempre la productoria de números primos mayores a \( 2 \) elevados a cualquier exponente es mayor que la sumatoria de todos sus factores propios más el \( 1 \) que surge naturalmente de la productoria de primos elevado a exponente cero.

Conclusión no puede existir un número perfecto impar.... ya que no hay forma de lograr la igualdad de términos si los primos son mayores o iguales a \( 3 \) y los exponentes mayores o iguales a \( 1 \).


Esta demostración, si se puede llamar así, me ha resultado fácil, me temo que seguramente el ojo entrenado de los matemáticos del foro verán dónde me se halla algún error importante, que la rigurosidad necesaria no se cumpla, que desvirtúe la lógica y lo haga falaz.

De hecho de la crítica  a la primera lectura, he podido mejorar mi original y llegar a este desarrollo, espero que los errores que queden sean de forma y no de fondo, o viceversa y todo quede en la nada.


Gracias por tomarse el tiempo leerme y mucho mas agradecido, de que me cuenten su parecer.


*Modificado luego del recordatorio de Luis Fuentes...



424
Gracias!!!, por todo.

425
Hay 9 capicúas hasta el 100
Hay 90 capicúas mas hasta el 1000
Y hay 10 capicúas mas hasta el 2000.
5 eliminaste de la lista

en la lista el 2000 te queda en posicion
2000-90-10-9-5=1886

por lo que te faltan  111 números mas hasta el 1997, y desde el 2000 en adelante , los próximos capicúas son el 2002 y 2112 por lo que tu lista llega hasta el número 2113... ;)


426
Gracias a ambos por la paciencia y la didáctica,

En el enlace https://math.stackexchange.com/questions/1201359/who-discovered-the-first-explicit-formula-for-the-n-th-prime  que me lleva a wolfram y este provee la formula

\( p_{100000 }= 1 + \sum_{(k=1)}^{(2^{100000})} \lfloor(10^{(3/50000)} (1/(1 + \pi(k)))^(1/100000)) \)

No quisiera ser terco, pero la verdad es que hay términos que no los entiendo.... que es floor(piso) en español y que es pi(k)... si esto es una fórmula de recurrencia pues entonces es un método (algoritmo) no una fórmula, al estilo de la criba, pues habría una fórmula para cada primo y no una única fórmula general, para todo el dominio de los naturales,(que es lo que entiendo por formula de una función) o debo entender que ese algoritmo es la formula? Es decir para mi \( f(n)=p_n \) donde \( D=\mathbb N \) y pero esta es una  \( f(n,\pi(k))=p_n \)  donde \( f \) esta definida para un único \( n \) y \( \pi(k) \), o bien no entiendo de que va la formula, que probablemente sea eso. He intentado comparar, si ha eso se refieren con evaluar (o bien dividir por todos los primos menores hasta raíz de p), coincido  hasta cerca de los \( n=380000 \)  con mi criba ejemplo \( \pi(100000)= 1299709  \), no tengo porque tener bien la criba, pero que esta fórmula difiera de la mía en una unidad luego de los 380000 primos correctos, es raro, ya que para estar mal mi método no se va a tardar tanto el error en presentarse...(ellos tienen uno de menos o yo uno de más.)  \( \pi(1000000)=15485863   \) en wolfram  y \( \pi(1000000)=15485857   \) con mi criba.







427
Hola, Luis, hoy por la mañana cuando leí tu respuesta, estaba escaso de tiempo para seguir los enlaces...

Mas tarde me puse a pensar en la definición de número primo que ponen aquí en el foro http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=34174.0

Pensé que la resta es la extensión de la conjetura desde los naturales \( \mathbb N \) (que es el dominio donde yo creía estaba definida) a los enteros \( \mathbb Z \) donde es necesario también probar la conjetura para los primos negativos...

Respecto de la vaguedad o ambigüedad,  es claro que es una opinión al paso, que lo certero y justo, sería escribir demostrando o al menos haciendo el intento... creo que no es el caso, me refería de forma más general y abierta posible sobre el tema.
Los contraejemplos que pones son fáciles de entender , ej tampoco encontrarás muchos primos , múltiplos de 7 , etc, al poner la propia definición restas grados de libertad, para escoger valores, luego es posible hallar contraejemplos, pero creo que esto no sucede con la conjetura Goldbach, aunque es más difícil encontrar dos elementos que sumados den un número par, que dos que se resten, sobre todo si estábamos en los naturales como creía.

Repito lo mismo: el conjunto de números primos está perfectamente definido. Se conoce un montón de cosas sobre él, por ejemplo (por decir algo) una fórmula explícita para obtener en enésimo número primo
En particular lo que resalto en negritas, el mismo enlace marca, aunque ni siquiera tengo que aclararte, que no hay una fórmula general para obtener todos los elementos que componen el conjunto de los números primos, si hay metodos como la criba, pero no es una única fórmula, puedes saber  que el enésimo primo es \( p_n \) y luego inventarte una función que cuando le pongas te devuelva \( p_n \), pero no hay formula que abarque los naturales, mas, que la consulta por referencia a una tabla... de esto rescato que hay métodos que son muy útiles, pero no se pueden usar para todo \( n \)... para mi que miro las mates por fuera, algunas de estas cosas se me hacen innecesarias... y respecto a eso apuntaba con mi ultima pregunta

Gracias de nuevo

428
Teoría de números / Re: Número perfectos impares
« en: 18 Octubre, 2019, 11:51 pm »
Visto que hacía falta ojo entrenado......
Ya veré bien en que le erro y si le hallo solución volveré a la carga :banghead:, de hecho quería hacerlo mas prolijo, pero bueno es lo que salió

Gracias Luis ...


Edito... Luis entonces ese choclo de cosas es posteable en un nuevo hilo en este foro sin que enciendan la hoguera, para que me desasne mejor, repreguntando un par de cosas que ahora se me vienen en mente?

429
El jugador que empieza es el que puede ganar siguiendo una estrategia ganadora.

La estrategia es dejar siempre en el tablero, una cantidad de palillos  que sea múltiplo de 4.

Si por desgracia , no somos los que iniciamos la partida , pero tenemos la suerte de que el otro jugador desconoce esta estrategia, si en nuestra mano  dejamos una cantidad múltiplo de 4 palillos, habremos tomado la iniciativa, y ganaremos la partida.




430
Álgebra / Re: Demostración divisibilidad 7|5a(b-7) si 7|ab
« en: 18 Octubre, 2019, 03:52 am »
Hola CintiaTotti Bienvenida al Foro!!!

No se trata de una propiedad de los números primos, sino de que puedas aprovechar la pista que te dan

\( 7|ab \) significa \( 7 \) divide a \( a\cdot b \)  para que eso sea cierto  tiene que suceder que \( a \) es múltiplo de \( 7 \) o que \( b \) sea múltiplo de \( 7 \) o bien que ambos lo sean.

en el caso que \( a \) sea múltiplo de \( 7 \) debe existir un  entero \( k_1 \)  que cumpla con

\( a=k_17 \)

luego

\( 5a(b-7)=5k_17(b-7) \)

al dividir por  siete

\( \dfrac{5k_17(b-7)}{7}=\dfrac{5k_1\cancel 7(b-7)}{\cancel7}=5k_1(b-7) \in \mathbb Z \)

y si \( b \) es el múltiplo de siete

\( b=k_27 \)

luego

\( 5a(b-7)=5a(k_27-7)=5a7(k_2-1) \)

al dividir por  siete

\( \dfrac{5a7(k_2-1)}{7}=\dfrac{5a\cancel 7(k_2-1)}{\cancel7}=5a(k_2-1) \in \mathbb Z \)

te dejo a ti que lo pruebes cuando  \( a \) y b son múltiplos de 7


431
Han cambiado la conjetura?

¿Todo número par se puede expresar como diferencia de dos primos?

No es que la conjetura en realidad  se  define como

"Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos."

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbach


He estado mirando , que hay muchos hilos en los que se intenta probar estas conjeturas  por el lado de todo \( p_i \), cuando son infinitos,  del mismo modo para todo par "\( 2n \)" que son también infinitos, por ese lado no creo que lleguen nunca a buen puerto.....

Como lo veo, al ser los números primos contablemente infinitos, pasaría algo similar como el poder encontrar el texto cualquier libro codificado en las cifras de un número irracional, es decir siempre, no importa cuan grande sean los números primos vas a encontrar dos cuya, suma o resta sea el número par que buscas, con más razón si la distribución es aleatoria, de hecho si hubiera un par que no se pudiera hallar, implicaría que habría alguna relación de frecuencia entre los números primos , cuando no la hay...o si?

Cuales serían las consecuencias si se prueba verdadera o no la conjetura?

432
De oposición y olimpíadas / Re: Teoría de números
« en: 17 Octubre, 2019, 11:56 pm »
Llego a hacer las variaciones, pero luego no sé porqué realiza el producto de 12 por los 5 dígitos. ¿Podrían clarificarlo?

Hola, Clon Bienvenido al Foro!!!
Esta aplicando la propiedad conmutativa de la suma, sabes que cada dígito aparece 12 veces cada una de las posiciones del número de tres cifras, y lo que nos interesa es el resultado total de la suma, el orden en que se coloquen los sumandos , no va a alterar el resultado de esa suma, por lo que luego puede hacer  factor común y dejar al número doce , al valor numérico de la posición y a la suma de los valores de las cifras como productoria. Luego al hacer factor común de nuevo respecto de la sumatoria de cifras obtienes \( 1332 \) multiplicado por dicha sumatoria.

Espero te sirva.


433
Teoría de números / Re: Número perfectos impares
« en: 17 Octubre, 2019, 06:23 pm »
Hola AlexFeynman, como va, gracias, ya he visto varios nicknames conocidos que también están en el otro foro, pero también he visto que aquí son mucho mas rigurosos en la forma de postear, y antes de lanzarme para ver donde hace agua el planteo de ese blog, quería familiarizarme con el foro, para que las objeciones sean mas bien de fondo que de forma.

Así cuando vea cual es el mejor léxico, me atreveré a plantearlo aquí,  para ver como se me acaba la iluminación... ;D porque no creo que la haya pegado. Como allí ni si ni no, bueno, veremos que vistobueno o no me dan por aquí.

Como veras Luis, soy novato aquí pero no tanto allí, y por sobretodo quiero postear algo, minimamente digno de respeto hacia los matemáticos  ya que no lo soy, equivocado o no es otro tema, a los físicos los tengo acostumbrados , dirán otra vez este con que se viene, pero después de 5 años no me echaron, por el contrario  llegue a moderador, es que algo bueno habré hecho...

Saludos, gracias y nos leemos.




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Teoría de números / Re: Número perfectos impares
« en: 17 Octubre, 2019, 01:00 pm »
Gracias!!!

Luis veo que te mueves mucho evacuando dudas o errores, te pregunto,es molesto o de algún modo bienvenido que se enuncien ideas de posibles soluciones a estas cuestiones por parte de alguien que no tiene titulo en matemáticas?
Digo de vez en cuando debe aparecer algún iluminado que trae solución fácil, que por lo general es una perdida de tiempo haberla leído.

O siempre se encuentra quien te da una idea de porque motivo esa idea no funciona, en vez de desechar el hilo.

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Teoría de números / Número perfectos impares
« en: 17 Octubre, 2019, 05:36 am »
He visto y leído que los números perfectos que se conocen, son solo 51, todos ellos pares y siguen algún tipo de regla de construcción, respecto de potencias de primos.

Según entendí hay dos temas abiertos, al momento de la lectura y vista de un video eran

1) Demostrar que los números perfectos pares, son infinitos....

2) Encontrar un número perfecto impar o bien demostrar el porque no hay números perfectos impares.

respecto a esto último alguien lo ha logrado esto últimamente?
hay trabajos respecto a este tema aquí en el foro?

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Problemas matemáticos famosos / Re: Demostrar conjetura de Collatz
« en: 17 Octubre, 2019, 04:26 am »
Sin duda la ortografía que no pueda marcar en rojo el corrector ortográfico, poco podrán hacer mis anteojos, pero bueno, me releeré todo dos veces antes de postear...
Lo importante para mi que estoy aterrizando estos días por aquí, es familiarizarme con el nivel de exigencia de cada foro, es decir , justamente no decir barbaridades y si quizá las diga, decirlas ahora, mientras aprendo y no más adelante.

Gracias por los consejos,

Saludos \( \mathbb R^3 \)

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Problemas matemáticos famosos / Re: Demostrar conjetura de Collatz
« en: 17 Octubre, 2019, 01:08 am »
Hola renovell, me interesa saber, que era lo que proponías, yo le he dado un par de vueltas al tema, pero claro , nada de resultados, el tema es que no soy matemático, sino ingeniero y no me las "se todas" por cómo encarar la solución. pero te comparto lo que he hecho...

Por un lado  como sabemos que para que partiendo de cierto número , no lleguemos a \( 1 \) , tienen que pasas dos cosas,

La cadena de números tiende a infinito en infinitos pasos.
La cadena vuelve al número original creando un ciclo cerrado.

Me propuse pensar como demostrar por el absurdo por medio del álgebra modular que partiendo de cualquier  número \( x \) siempre podemos llegar a un número en la cadena que sea \( 0 \mod 2^{2n}\forall n \in \mathbb N \), y si es así entonces inevitablemente llegara a \( 1 \).... pero claro como se hace... ni idea, jaja.

Otras cosas que he probado es la generación aleatoria de polinomios para ver si existía un \( x \) que hacia cero al polinomio , profundice exponentes hasta \( 1000 \) en \( n \) y \( 2000 \) en \( n+m \)( ya que el exponente del \( 2 \) es mayor que el del \( 3 \) ) , pero nada....

Ahora lo que intento es hacer una criba como si fuera la de los primos, partiendo del \( 1 \),sabemos que debemos borrar todos los \( 2^n \) que volverán a \( 1 \), luego cuando \( n \) es par sabemos  que al restarle \( 1 \) nos queda un número que es divisible por \( 3 \) por lo que a ese número  \( x \) del cociente también lo borramos de la criba, junto también a todos los \( x\cdot 2^m  \) pues derivaran en él, esos números  que tambien cumpliran dependiendo si son \( 1 \mod 3  \) o \( 2 \mod 3 \) si pueden o no al restarles \( 1 \) ser divisibles por \( 3 \) , y así generar una nueva rama...
Las ramas que sean \( 0 \mod 3 \) no podrán sacar nuevas ramas por más que se las duplique, porque si \( x \) es \( 0 \mod 3 \) entonces \( x\cdot 2^m  \) también es \( 0 \mod 3 \)

Esta criba inversa tiene que detectar en algún momento un subconjunto de números que no es posible de alcanzar y se genera un gap , pero como sé que han llegado las pruebas con números del orden de  \( 2^{60} \) sin gaps aún , que puedo pretender con mi pc común y corriente... por más que la programe para ejecutar sumas, restas, multiplicar y dividir con números de grandes cadenas como strings, el tiempo de ejecución se me va de las manos.

Esos son mi intentos  bastante naif, pero intentos al fin...

En definitiva yo no busco la demostración sino proponer,  el contra ejemplo, y luego por el absurdo decir que es contra ejemplo no existe o no se puede hallar o contradice algo..., haciendo verídica la conjetura, bueno por ahí van mis tiros... nos leemos

PD...Disculpen , como soy nuevo por aquí si el nivel de lo expuesto es pésimo, por favor indicarlo, que no emito más palabra...




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Temas de Física / Re: Disparo desde un plano inclinado
« en: 16 Octubre, 2019, 11:28 pm »
Hola piensalo al revés  , como si fuera una colisión, la bala en dirección \( x \) con \( V_B \) impacta sobre el cañón y debe moverlo por sobre el plano , una parte de la energía de la bala la absorbe el plano y la otra parte la absorbe el cañón.

En el momento del lanzamiento de la bala se compensan las cantidades de movimiento en dirección al plano, por eso queda detenido.


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Hola , Luis, he visto mis errores, llevas razón, nada que debatir y mucho por aprender...disculpa las molestias por resucitar el hilo y muchas gracias por contestar.

Pero sigo con diferencias en el caso de la moneda me refería, a que el área donde puedes poner el centro de la moneda  en uno de los 64 cuadraditos de lado \( L \) es \( L\cdot 2\cdot \frac 18 L+ (L-2\cdot \frac 18 L)\cdot 2\cdot \frac 18 L=\dfrac{7}{16}L^2 \) que lleva a la probabilidad que indicaba \(  \dfrac{7}{16} \)

Pero escribiendo lo anterior  he visto algo más y es que si el centro de la moneda cae fuera de las 64 casillas, aún puede tocar un borde... así el área total posible es más grande  tiene de lado \( 8L+2R=8L+\frac14L= \) de esa longitud lo que toca una moneda es 9 columnas de\(  \frac14L \) de ancho  por \( 8L+\frac14L \) , los espacios intermedios son 72 y tienen dimensiones de \( \frac14L \) por \( \frac34L \) , así que lo que el área donde la moneda toca una linea es



\( A=9 \cdot (8L+\frac14L)\cdot\frac 14L  +72 \frac14L \cdot\frac34L = \dfrac{513}{16}L^2 \)

y el area total \( A_T=\dfrac{33L}{4}\cdot\dfrac{33L}{4}= \dfrac{1089}{16}L^2 \)

luego

\( P=\dfrac{3\cdot 19}{11^2}=0.471
 \)

que opinas?

Saludos y gracias de nuevo por leer.

440
Aunque un poco tarde , ,me pareció un problema interesante

Como bien te dice Luis tienes que considerar los casos a favor sobre los casos totales

a)i) \( P=\dfrac{16}{32}=\dfrac12 \)

a)ii) \( P=\dfrac{4}{32}=\dfrac18 \)

a)iii) \( P=\dfrac{1}{32} \)

a)iv) \( P=\dfrac{32-4}{32}=\dfrac78 \)

b)i) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{15}{31}=\dfrac{15}{62} \)

b)ii) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{31}=\dfrac{8}{31} \)

b)iii) \( P=\dfrac{4}{32}\dfrac{2}{31}+\dfrac{2}{32}\dfrac{4}{31}=\dfrac1{62} \)

b)iv) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{15}{31}=\dfrac{15}{62} \)

c)i) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

c)ii) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

c)iii) \( P=\dfrac{4}{32}\dfrac{2}{32}+\dfrac{2}{32}\dfrac{4}{32}=\dfrac1{64} \)

c)iv) \( P=\dfrac{16}{32}\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{4} \)

d) si la línea que separa las casillas la consideramos sin espesor, el área blanca sera igual área negra, lo que la probabilidad de dar al blanco es 1/2

e)  en el primer tiro le des al color que le des es un resultado positivo, en el segundo tiro tienes que atinarle al color anterior , esa probabilidad ya la calculaste y es 1/2

f) Aquí discrepo con Luis, creo que ha duplicado la probabilidad en las esquinas... para que la moneda toque una linea su centro no debe separar de 1/8 de longitud de casilla, es decir que si cada casilla la dividimos en 64 cuadraditos, si el centro de la moneda queda en el interior de los 28 cuadrados de la periferia, la moneda queda tocando un borde, luego

 \( P=\dfrac{28}{64}=\dfrac7{16} \)

g) la cantidad de resultados tablas no altera el marcado  sobre si gana A o B , solo interesa el orden en que se dan las victorias

AA con \( P_{AA}=\dfrac{2}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{40}{1000} \)

ABA con \( P_{ABA}=\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{12}{1000} \)

BAA con \( P_{BAA}=\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}\dfrac{2}{10}=\dfrac{12}{1000} \)

BB con \( P_{BB}=\dfrac{3}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{90}{1000} \)

BAB con \( P_{BAB}=\dfrac{3}{10}\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{18}{1000} \)

ABB con \( P_{ABB}=\dfrac{2}{10}\dfrac{3}{10}\dfrac{3}{10}=\dfrac{18}{1000} \)

Luego la probabilidad de que gane A es la suma de todas la probabilidades a favor de A sobre la suma de la probabilidades en favor de A y  de B

\( P_A=\dfrac{P_{AA}+P_{ABA}+P_{BAA}}{P_{AA}+P_{ABA}+P_{BAA}+P_{BB}+P_{BAB}+P_{ABB}} \)

\( P_A=\dfrac{\dfrac{40}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{12}{1000}}{\dfrac{40}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{12}{1000}+\dfrac{90}{1000}+\dfrac{18}{1000}+\dfrac{18}{1000}} \)

\( P_A=\dfrac{64}{180}=\dfrac{16}{45} \)


Saludos \( \mathbb R^3 \)

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