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Mensajes - ciberalfil

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Foro general / Re: Números primos y más.
« en: 14 Octubre, 2020, 09:41 pm »
Gracias Pie, ya lo había pensado y lo tengo en cartera pero de momento se me está amontonando la faena y mi tiempo es limitado. Probablemente sí tengas razón, pero creo que la única ventaja es que el programa irá más rápido pero las conclusiones serían parecidas, a no ser que encontráramos otra curiosidad que nos facilite aún más el trabajo.

Salu2

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Foro general / Re: Números primos y más.
« en: 14 Octubre, 2020, 06:01 pm »
Muchas gracias geometracat, tu explicación de la primera me satisface, aunque la debo explorar un poco más a ver si le puedo sacar algo más de jugo.

Salu2  ;)

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Foro general / Re: Números primos y más.
« en: 14 Octubre, 2020, 03:45 pm »
Tratando de encontrar alguna pista que me permita determinar los valores minimo, \( m \), y máximo, \( M \), del parámetro \( d_3 \), según los anteriormente publicado, me encontre con una curiosidad que yo al menos no conocía. Al establecer la sucesión:

\( {P(2n)_i} \)

de los valores del contador que mide el número de primos que satisfacen la conjetura de Goldbach para un determinado número par, \( 2n \), observé que aunque la sucesión presenta altibajos y oscila de forma impredecible los términos de dicha sucesión presentan un pico muy bien marcado cuando \( n \) es múltiplo de 3, o bien \( 2n \) múltiplo de 6. Es decir dichos términos presentan un valor curiosamente elevado frente a los otros cuatro números de su entorno que no son múltiplos de 6. No sé si hay alguna razón para ello pero nunca he leído nada relativo a semejante fenómeno. ¿Alguien sabe algo? La verdad que no veo una razón para ello. Quizás fuera más fácil trabajar con la sucesión de los picos para estimar la forma en que crece:

\( {P(6n)_i} \)

Por otro lado encontré también una sucesión que se comporta de forma parecida, me refiero a la sucesión del contador de los divisores de un número natural:

\( {\delta (n)}_i \)

Esta es una sucesión que presenta también muchos altibajos y oscila de forma impredecible, aunque en este caso en lugar de conocerse los picos se conocen los valles, puesto que cada vez que \( n \) es primo el número de divisores se reduce a 2 y por lo tanto el término correspondiente de la sucesión es valle.

Son dos sucesiones muy curiosas que oscilan de forma similar y probablemente no pueda establecerse la ley que las rige para ninguna de las dos, aunque, claro está, cada una con sus propias peculiaridades.

Salu2

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Foro general / Re: Números primos y más.
« en: 12 Octubre, 2020, 01:15 am »
Añadí un párrafo más después de llegar tu mensaje, feriva. De todos modos ...

Gracias  ;)

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Foro general / Re: Números primos y más.
« en: 12 Octubre, 2020, 12:10 am »
Tengo una pregunta, a ver. Si el teorema de los números primos es cierto, que lo es porque está demostrado, entonces:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log\ n}=\frac{log \ e^n}{log\ n}=log_n\ e^n=n\ log_n\ e \)

Pero si llamamos \( \gamma(n) \) a los números compuestos hasta \( n \) entonces debe cumplirse que:


\( \displaystyle \gamma(n)+\pi(n)=n\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)+log_n\ e^n\sim{}n=log_n\ n^n\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)\sim{}log_n\ n^n-log_n\ e^n=log_n \left(n/e \right)^n=n\ log_n\left(n/e\right) \)


Conclusión:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log\ n}\quad\Rightarrow{}\quad\pi(n)\sim{}n\ log_n\ e\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)\sim{}n\ log_n \left(n/e \right) \)


y de aquí podemos razonar que:


\( \displaystyle\frac{\gamma(n)}{\pi(n)}\sim{}\frac{n\ log_n\ (n/e)}{n\ log_n e}=log\ n -1\sim{}\log\ n \)


¿Es correcto mi razonamiento?

Salu2

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Foro general / Re: Números primos y más.
« en: 10 Octubre, 2020, 01:15 pm »
Casi completamente de acuerdo. La cota superior  para \( d_2 \), la de los pares gemelos, debe existir y quizás podría utilizarse el hecho de cuando existen siempre son de la forma \( 6\times{}n\pm{}1 \). Aunque no se me ocurre mucho mas.

Respecto a la conjetura de Goldbach, \( d_3 \), sí es cierto que la sucesión \( c_3 \) parece oscilar y podría ocurrir que no tuviera límite, aunque la pinta es la de mantenerse acotada entre dos valores, en el entorno de 0'6. Podrían obtenerse las cotas superior e inferior:

\( m<d_3<M \)

Se me ocurre en primer lugar intentar obtener el valor medio de \( d_3 \), y puedo aproximarlo con programación, para ver si se puede obtener el centro de oscilación, y a partir de ahí tratar de obtener dichas cotas. Me pongo a ello.

Salu2.

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Foro general / Re: Números primos y más.
« en: 10 Octubre, 2020, 09:10 am »
Muchas gracias geometracat.

Es posible que los otros dos límites, \( d_2 \) y \( d_3 \), haya que cambiarlos pero parecería lógico pensar que sean valores inferiores a 1 ya que aunque los tres contadores cuentan números primos en los dos últimos casos son muchos menos primos que en el primero, que los cuenta todos.

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Foro general / Re: Números primos y más.
« en: 10 Octubre, 2020, 12:51 am »
Si conozco el teorema de los números primos, pero me gustaría ver una demostración (en castellano si puede ser, mi inglés deja bastante que desear) ¿Puedes pasarme un enlace o un documento con la demostración?

Por otro lado usando dicho teorema tendríamos que:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log (n)}\quad\Rightarrow{}\quad \lim_{n \to\infty}{log_n(\pi(n))}= 1-\lim_{n\to\infty}{log_n(log(n))}=1-\lim_{n \to\infty}{\frac{log(log(n))}{log(n)}}=1 \)

que traducido a la nomenclatura de mi programa sería:

\( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{d_1}=\lim_{n \to\infty}{log_n\ c_1}=1\neq 0'85 ... \)

¿Te parece correcto?



Gracias.

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Foro general / Números primos y más.
« en: 09 Octubre, 2020, 11:46 pm »
Tengo actualmente tres programas en ejecución:

Uno que cuenta números primos menores o iguales que uno dado \( n \), al contador lo llamaré \( c_1 \).
Otro que cuenta el número de pares gemelos hasta uno dado \( n \), al contador lo llamaré \( c_2 \).
Y otro que cuenta el número de pares primos cuya suma es un par dado, \( n \), al contador lo llamaré \( c_3 \)

En los tres se calcula el parámetro:

\( \displaystyle d_i=Log_n(c_i)=\frac{log(c_i)}{log(n)} \)

y en los tres programas dicho parámetro 'parece estabilizarse' alrededor de un determinado valor, al crecer \( n \), valor que resulta ser en cada caso:

[
\( d_1\sim{}0,85 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_1\sim{}\displaystyle n^{0'85 ...} \)

\( d_2\sim{}0,71 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_2\sim{}n^{0'71 ...} \)

\( d_3\sim{}0,60 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_3\sim{}n^{0'60 ...} \)

¿Tiene esto algún sentido para vosotros?

Salu2.

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Teoría de números / Re: Conjetura sin palabras
« en: 08 Octubre, 2020, 08:17 am »
Pues disculpa Luis por utilizar tus argumentos, no había leído tu mensaje. Con tanta literatura es fácil que se te pase algo.

Salu2.

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Teoría de números / Re: Conjetura sin palabras
« en: 08 Octubre, 2020, 03:54 am »
Creo que tengo una demostración algo más sencilla que la que dió geometracat. Si utilizo como parámetro base el valor de \( b \) exigiéndole que sea mayor que 1 y expreso los otros dos en función del primero obtengo los siguiente:

\( \forall{}b \geq{}1\qquad p = 3 * b - 2\qquad a = 6 * b - 1\qquad l=b+a+p = 10 * b - 3 \)

y del último valor se deduce inmediatamente que siempre resultará un valor \( 7 (mod\ 10) \) ya que si le resto 3 a cualquier múltiplo de 10 siempre tendrá como cifra de las unidades un 7. Este método genera las mismas ternas que el programa de feriva si exigimos que los tres números \( (b,p,a) \) sean primos, pero si no exigimos nada a ninguno de ellos el resultado vuelve a ser el mismo ya que:

\( \forall{b} \in \mathbb N \qquad p = 3 * b - 2\qquad a = 6 * b - 1\qquad b+p+a=10b-3\equiv{}7\ mod\ 10 \)

Conclusión: La conjetura se cumple siempre, independientemente de que las ternas estén formadas por números primos o no.

Salu2

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Resolver $$\sqrt{x}-x+2=0.$$
« en: 08 Octubre, 2020, 12:16 am »
Bueno, sí, es lo mismo que hice yo, o parecido si me apuras. Casi siempre hay diversas formas de resolver este tipo de dificultades, pero cuando se trata de explicarselo a alguien que está iniciándose conviene usar siempre los argumentos más sencillos, al menos yo lo procuro. ¿Hace falta usar  \( |t| \) para hacer esto? Yo diría que no, pero está bien, tan válida como la mía como mínimo. Alguien que se lía con los signos de la raíz cuadrada quizás se lie más si además le añades un módulo por ahí enmedio.

Salu2.

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En general elevar al cuadrado una ecuación tiene al menos un inconveniente:

Imagina las dos siguientes ecuaciones:

\( A=\pm{}B \)

de las cuales solo una es cierta, la que quieras. Si elevamos al cuadrado dicha ecuación (la que es verdadera) se tiene:

\( A^2=B^2 \)

que tiene dos soluciones \( A=\pm{}B \) una es correcta pero la otra no. Es decir, al elevar al cuadrado la ecuación inicial has introducido una solución que es falsa. ¿lo ves?, esto suele pasar si no andas listo, y muchas veces no lo ves. Son las cosas de manejar ecuaciones con demasiada alegría.

En general siempre puedes hacer la misma operación en ambos miembros de una igualdad sin que cambie la ecuación, sumar o restar una cantidad, multiplicar por un factor no nulo, etc. Pero ¡ojo! hay cosas que no se pueden hacer sin tomar precauciones, como por ejemplo elevar al cuadrado (porque introduces nuevas soluciones) o incluso multiplicar o dividir por una expresión que sea nula porque introduces demasiadas soluciones (infinitas). ¡Cuidadin, cuidadin!

Salu2  ;)

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Puedes hacerlo también de otra forma:

\( \sqrt[ ]{x}=x-2 \)

Haciendo \( x=t^2 \) se tiene:


\( t=t^2-2\quad\Rightarrow{}\quad t^2-t-2=0 \)


de raíces -1 y 2. Pero solo vale la raíz positiva porque en la ecuación inicial solo aparece:


\( t=+\sqrt[ ]{x}\quad \Rightarrow{}\quad t>0 \)



Luego:


\( t=2:x=4 \)


Observa que si la ecuación inicial hubiera sido:


\( -\sqrt[ ]{x}=x-2 \)


la solución hubiera sido:


\( t<0\quad\Rightarrow{}\quad t=-1:x=1 \)


Salu2

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Teoría de números / Re: Conjetura sin palabras
« en: 07 Octubre, 2020, 06:40 pm »
Yo hice la prueba de sumar los 5100 primeros términos de la serie \( {1/p_i} \), y el resultado parecía estabilizarse alrededor de 0'3467, ya sé que eso ni siquiera garantiza convergencia, pero al menos es un dato.

Salu2

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Teoría de números / Re: Conjetura sin palabras
« en: 07 Octubre, 2020, 02:33 pm »
Hay varios experimentos que pueden hacerse, el que te propone Pie, pero hay más que pueden hacerse, probar a sumar o a restar dos ternas \( (p,a,b) \) y otros que ahora no se me ocurren pero que seguro pueden hacerse.

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Teoría de números / Re: Conjetura sin palabras
« en: 07 Octubre, 2020, 12:55 pm »
Yo al menos la veo interesante, sí, y quizás alguien le saque alguna utilidad para estudiar primos, podría ser. Yo la patentaría con un nombre sonoro. Los tres primos, \( p,a,b \), formarían lo que se podría llamar ternas ferivianas. Aunque quizás necesitarías una demostración no fuera a ser que a partir de 100.000.000 la conjetura no se cumpla.

Salu2  ;)

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Teoría de números / Re: Conjetura sin palabras
« en: 07 Octubre, 2020, 11:34 am »
Me he molestado en hacer un programa para evaluar la conjetura de feriva y aquí os pongo los resultados. La conjetura es válida por lo menos hasta:

\( p=8.385.679 \)

Por supuesto los valores de \( a \) y \( b \) que se obtienen en todos los casos comprobados son enteros primos y satisfacen la condición:

\( (p+a+b)_{10}=7 \)

No puedo subir el programa (exe) porque esta web no lo permite pero si alguien tiene curiosidad aquí va el código fuente en Basic, es muy rápido y sencillo:

---------------------------------

DIM p, a, b AS DOUBLE
p = 5
DO
    p = p + 2
    a = 3 + 2 * p
    b = (a + 1) / 6
    IF primo(p) AND primo(a) AND entero(b) AND primo(b) THEN PRINT "   p="; p; "   p+a+b="; p + a + b
LOOP

FUNCTION primo (x)
    primo = 0
    FOR m = 2 TO SQR(x)
        IF entero(x / m) THEN primo = 0: EXIT SUB
    NEXT m
    primo = 1
END SUB


FUNCTION entero (y)
    entero = 0
    IF INT(y) = y THEN entero = 1
END SUB

-------------------------------------------------

Y si lo copiais y lo pegais en QB64 (es la versión basic para windows 10) y lo hacéis rodar (con el menú RUN) os funcionará sin problemas. Por cierto los primeros datos coinciden perfectamente con la tabla que mostró feriva unos mensajes antes que éste.

Salu2

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Teoría de números / Re: Conjetura sin palabras
« en: 06 Octubre, 2020, 06:11 pm »
Ah, ¿entonces p, a, b deben ser primos los tres? Eso no lo había entendido.

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Teoría de números / Re: Conjetura sin palabras
« en: 06 Octubre, 2020, 04:33 pm »
Si eso fuera cierto entonces:

\( \displaystyle L=(p+a+b)=3+3p+b=3+3p+\frac{4+2p}{6}=\frac{22+20p}{6}=\frac{11+10p}{3} \)

Veamos algunos casos:

p =   7 : L = 162/6=27\ ok
p = 11 : L = 40'333 no ok (ni siquiera es entero)
p = 13 : L = 47 ok
p = 17 : L = 60'333 no ok
p = 19 : L = 67 ok
p = 23 : L = 80'333 no ok

Creo que no se cumple.

Salu2

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