Hallar la curvatura de una curva es solo un ejercicio de aplicar la formula a las ecuaciones de las curvas planteadas, no tiene dificultad alguna, se aplica la fórmula y ya. Puedo ayudarte resolviendo directamente el problema o tratando de aclarar los conceptos que no entiendes. Me parece mas efectiva la segunda, pero para poder hacerlo necesito que me expliques que cosas no entiendes, con solo el enunciado del problema solo puedo ayudarte resolviendo el problema y eso no lo voy a hacer de momento.

Aclárame pues que es lo que no entiendes de la teoría y procuraré ayudarte a entenderla.

Para resolver los problemas basta con derivar dos veces el vector de posición, expresado en función del arco de curva tomado a partir de un punto dado, \( \vec r(s) \), y hallar el módulo del vector resultante:


Ocurre que como el vector de posición de la curva no viene expresado habitualmente en función del arco recorrido, para realizar esta derivada dos veces hay que usar algunos trucos, pero una vez vistos los trucos es un problema sencillo que no tiene dificultad.

1º).- El primer truco es para obtener la primera derivada, puesto que el módulo de \( d\vec r \) es precisamente \( ds \), para obtener la primera derivada basta con dividir el vector \( d\vec r \) por su modulo:




expresión que coincide precisamente con el vector unitario tangente a la curva.

2º).- El segundo truco, que sirve para obtener la segunda derivada, te lo expondré cuando contestes a este mensaje, aclarando que cosas no entiendes de la teoría:



Salu2

Respuesta: Ufff
Mejor aprende diferenciales.

Conviene no mezclar hilos, así que cada pregunta distinta vaya en un hilo distinto, si no vamos a organizar un gran lío.

Salu2

Ten en cuenta Feriva que según él mismo ha explicado quiere evitar el uso de los diferenciales, así que tu respuesta parece que no la va a entender. La dificultad estriba precisamente en explicarle el asunto sin usar diferenciales, yo le he estado dando vueltas y aún no he visto como hacerlo. Supongo que se podrá pero yo no lo he visto.

A ver si así:



Entiendes que (1) es una identidad con el cambio de variable \( g(x)=u \), supongo. Ahora solo tienes que integrar esa expresión respecto de la variable \( x \) para obtener la que buscas:




Todo son funciones de la variable \( x \), pero aparece una variable intermedia que es \( u \) que es función de \( x \) y a su vez variable para \( f(u) \) al mismo tiempo, y no existe ningún problema en que \( u \) sea función y variable a la vez. Supongo que te liaras en el último paso de (2) pero es que no veo como demostrarlo sin usar diferenciales. Con diferenciales se ve a simple vista que el paso es simplificar una fracción. Pero sin diferenciales no lo veo.

El último paso se puede dar sencillamente porque la definición del \( du \) es precisamente:


 que está bien definida por ser \( u =u(x) \) función de \( x \)

Salu2

Bien, creo que te ayude a entender que los diferenciales y los números hiperreales son cosas distintas, y no tienen ninguna relación entre si. Tu segundo problema es que tienes un lío bastante gordo con el concepto de función y variable, y no deberías tenerlo. Las variables las hay independientes y dependientes, y esas segundas son las funciones, así que las funciones pueden ser variables y las variables pueden ser funciones. Solo depende del uso que hagas de ellas.

Tienes también otro problema y es que te resistes a utilizar los diferenciales, y si quieres aprender a integrar tendrás que aprender lo que son los diferenciales y como utilizarlos, ahora estas empezando y aún tienes una visión bastante elemental, pero antes o después tendrás que aprender a manejar los diferenciales, y mi consejo es que contra antes lo hagas antes tendrás una visión más completa del cálculo. Con el manejo de los diferenciales tus dudas desaparecerían por si solas, y si renuncias a ellos vas a tener muchos problemas como éste y aún mas gordos. Dedícale un par de lecturas a los diferenciales, en el nivel mas elemental si quieres y verás como tus dudas desaparecen solas.

Por otra parte seguro que hay gente en este foro dispuesta a ayudarte en lo que sea para aprender a manejar esos elementos que ahora pueden parecerte difíciles pero que son mucho mas sencillos de lo que te imaginas. Yo mismo si puedo ayudarte con gusto lo haré.

Salu2

Yo creo que mis dos pregunta son básicamente muy sencillas y solo espero una respuesta sencilla:

1.- ¿que valores toma la expresión del diferencial de una función, suponiendo que la función es real de variable real, claro? Reales, complejos, vectoriales, hiperreales ... otros.


2.- ¿dicha expresión es un número fijo o representa una variable que puede tomar mas de un valor?

Todo lo que no sea contestar a eso es darle vueltas a la pelota, sin avanzar ni un pelo. Os pido por favor una contestación sencilla.

Mi respuestas son:

1.- valores reales

2.- infinitos valores, es una función.

Gracias a todos por vuestra colaboración.

Los infinitésimos, y los números infinitesimales son cosas distintas, vamos por partes.

Los infinitésimos son funciones de números reales que se contemplan en un proceso de paso al límite, en el que tienden a 0. Lo mismo ocurre con los infinitos pero estos son cuando su límite es infinito.

Los números infinitesimales son otra cosa y éstos si tienen relación con los números hiperreales, pero no hay que confundir una cosa con la otra.

En cálculo se supone que siempre estamos en el conjunto de los números reales, se habla siempre de los  infinitésimos, es decir, \( dx \) y \( dy \) representan sendos infinitésimos, por lo que son siempre funciones de números reales que tienden a 0 en el proceso de paso al límite en el que se contemplan, que puede ser el cálculo de una derivada o de una integral, sin más.

Hay mucha confusión en este asunto por lo visto.

Vamos a ver, como ya te he dicho, el vector tangente a la curva será:


Solo tienes que imponer la condición de que éste último y el vector perpendicular al plano \( (\sqrt[ ]{3},1,0) \) sean a su vez perpendiculares, es decir que su producto escalar se anule.

¿Me sigues?

La integral de Rieman esta bien para calcular integrales definidas, pero los diferenciales no tienen nada que ver con dicha integral, si quiere aprender sobre cálculo diferencial tendrá que entender que cosa son los diferenciales, pero ninguna de las dos cosas tienen relación alguna con los números hiperrales, que pertenecen a una rama de las matematicas que se llama análisis no estandard, y que esta completamente fuera del análisis estandard, que es el que se utiliza en el cálculo. Por favor, estas cosas confunden a los principiantes y hacen mucho daño, aunque no lo parezca.

El analisis estandard utiliza la lógica matemática, la del tercero excluido, la de Aristóteles, la que han utilizado los matemáticos toda la vida. El análisis no estandar tuvo que desarrollar una nueva lógica para poder sacarse de la manga los números hiperreales, y sacarlos a colación en el estudio del cálculo solo demuestra un gran desconocimiento por parte de quien habla de ello, mucho más si lo hace ante un auditorio de gente que esta empezando a estudiar cálculo.

Por favor un poco de sensatez, proporción y medida.

Pero ... ¿quien te ha dicho que para trabajar con diferenciales necesitas entender los números hiperreales? Eso es totalmente falso. Yo llevo toda mi vida trabajando con diferenciales, los entiendo y jamas he estudiado los números hiperreales. Falso, no se de donde te has sacado eso.