Yo le he dado algunas vueltas y no la he visto, no digo que no la haya pero no debe ser fácil. Habrá que seguir buscando.

Puede que no haya solución a ese problema. Piensa que si el punto es el centro entonces siempre se cumple que:



En general puede decirse que para cualquier punto interior la relación entre los segmentos de sus cuerdas presenta un máximo y un mínimo que no necesariamente debe incluir al valor de \( r \), que se supone dado. A simple vista se ve que el mínimo siempre lo da la cuerda que pasa por el centro y el máximo su perpendicular, por lo que si el punto dista \( d \) del centro y R es el radio de la circunferencia dichos valores valen:




Está claro que \( 0\leq{}r\leq{}1 \) no necesariamente se encuentra en el rango \( m\leq{}r\leq{}1 \)

PD: En este comentario se supone que la relación se toma siempre del segmento menor al mayor.

Si la dirección del movimiento de la bala (o la dirección de aplicación de la fuerza exterior) no pasa por el cdm de la varilla siempre se produce rotación. Lee lo que te dice Richard.

Siempre, no hay excepciones. Ahora bien una cosa es observar el movimiento y otra es plantear las ecuaciones que lo describen.

Parece que te haces preguntas que sobrepasan tu capacidad para entender las respuestas. No digo que no puedas entender como se trabaja con sistemas de referencia, digo que aún es pronto para que se te pueda contestar. Trabajar con sistemas de referencia no es difícil, pero hay que tener un poco de paciencia que todo llegará. De momento quédate con que la velocidad con que se ve desde la tierra moverse la bala es la suma vectorial de la velocidad del avión respecto de la tierra más la velocidad de la bala respecto al avión, que son los datos que da el enunciado de tu problema. Piensa lo siguiente. En todo momento la posición de la bala respecto al observador terrestre es un vector, \( \mathbf{r_b} \), que puede descomponerse en suma de dos:


que son el vector de posición del avión respecto del observador terrestre y el vector de posición de la bala respecto del avión. Como  en mecánica clásica se acepta que el tiempo es independiente del observador y transcurre de igual forma para todos ellos entonces podemos derivar respecto del tiempo la anterior ecuación para llegar a que:


que establece la ecuación que hemos usado antes. La velocidad de la bala respecto del observador terrestre es la suma de las velocidades respectivas del avión respecto del observador terrestre y de la bala respecto del avión. ¿Lo pillaste?

Este sencillo análisis puede complicarse mucho haciendo que la referencia móvil, la del avión, se mueva de forma mucho más complicada, con aceleración lineal e incluso presentando rotación instantánea y también considerar que la tierra gira sobre sí misma, lo que conduce a estudios muy interesantes pero complicados para tu nivel. Ya te llegará la oportunidad. Paciencia.

Salu2.

Tomemos los dos triángulos rectángulos, el mayor y el pequeño a la derecha. Son semejantes y la razón de semejanza entre ellos es igual a la relación entre sus catetos inferiores:


Por lo tanto sus alturas están en la misma relación:


Y sus áreas valen:



La relación entre sus áreas vale 3/2:

Utiliza dos progresiones geométricas de razones p y q menores que 1. Son fáciles de sumar.


Tienes suficientes grados de libertad (cuatro: \( a_0,\ b_0,\ p,\ q \)), para conseguir que se cumplan las condiciones exigidas. Son sucesiones convergente y cuyas series también lo son. Solo tienes que sumarlas y ver si satisfacen la condición pedida.

Salu2

Veamos:


y de aquí:


Vaya se me adelantaron. Pero buena idea ir a por una diofántica.

Salu2

Le asigno el cero conforme a lo último en TC y escribo:


Pero si le hubieras dicho a un romano del siglo I que ibas a contar las peras que hay en una bolsa vacía te hubiera tomado por loco. El la hubiera mirado y solo habría contado si en la bolsa hubiera alguna pera en caso contrario no hubiera iniciado el conteo. Y desde luego nunca hubiera dicho que en la bolsa había 0 peras.

No, no la hay, me refiero a la razón objetiva para no incluirlo. En todos mis intervenciones se dice que no me opongo a tal consideración. Solo digo que el cero se incluyó en los naturales hace unos pocos años y que ahí se quedó, pero que no fué un número natural durante muchos años. Y trato de justificar con ello a los que lo excluyen del conjunto de los naturales. En mi opinión tienen sus razones. Aunque vuelvo a repetir que las dos opciones son completamente correctas y están debidamente justificadas. Yo prefiero no hacerlo, pero no me opongo a que otros lo hagan. No conviene olvidar los 5.000 años de historia que tienen las matemáticas.

Salu2.

Vamos a ver, pongamos las cosas en su sitio. Contar es establecer una biyección entre dos conjuntos, uno de ellos un conjunto de n objetos (no vacío) y el otro un conjunto de números naturales ordenados. Si considero el 0 como el primer número natural y aplico la primera relación al primer objeto y le asigno el primer número natural , debería decir:

primer objeto -> 0
segundo objeto -> 1
...
útimo objeto -> n-1. Luego tengo n-1 objetos.

!???!

Esto no es contar, es hacer el gili.

El cero se debe añadir para poder contar los elementos del conjunto vacío, nada que objetar, pero no tiene porque ser un número natural. De hecho las primeras referencias históricas al conjunto vacío son de principios del siglo XX y claro, vete a contarle cosas sobre el conjunto vacío a un algebrista árabe del siglo XII, o a un pitagórico griego del siglo IV A.C. No, yo creo que el 0 puede incluirse en los números naturales sin duda, pero su justificación es un artificio moderno, del siglo XX quizás, no es natural. Desde luego si fue dios quien creó los números naturales lo hizo sin incluir el 0, eso es seguro. El cero lo añadimos nosotros después. Ahora bien que se quiere incluir, pos vale. Ningún problema. Pero una cosa es incluirlo y otra decir que lo es.

PD: Y habrá que tener en cuenta que para empezar a contar los elementos de un conjunto se debe empezar en el 1 y no en el 0 ya que en general el \( \emptyset \) no es un elemento de los conjuntos no vacíos.

Salu2.

Dejémoslo en que es un tema de convenio o quizás conveniente, para algunas cosas es mejor considerarlo incluido en los naturales, no me opongo al caso, y para otras quizás no sea necesario. Desde luego ninguna de las dos opciones conduce a contradicciones insalvables lo que hace que ambas sean posibles. Lo dicho, para gustos los colores.

Salu2.