Hola, necesito ayuda para demostrar lo siguiente u si encuentran una función les agradeceria, ya he buscado muchas funciones para ver si alguna lo cumple pero ninguna me sirve y además no se me ocurre como demostrarlo, me refiero a que intente hacerlo mediante la definición de continuidad uniforme y no llegue a nada.
"¿Existe una función creciente \( f: [0, \infty)\rightarrow{\mathbb{R}} \) tal que ni ella ni su inversa son uniformemente continuas? si existe exponer dicha función, sino, demostrar por qué no es posible. "
De antemano, gracias.
La función \( f(x):=x^2 \) demuestra que el teorema es falso. ¿Que cómo lo sé? Porque cuando una función es diferenciable y su derivada está acotada entonces es Lipschitz continua y por tanto uniformemente continua.
Ah, no, el contra-ejemplo de arriba no funciona. La función \( g(x):=\sqrt x \) es uniformemente continua.
EDICIÓN: ya está, ya tengo un contra-ejemplo válido:
\( \displaystyle{
f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)\lceil x \rceil^{(-1)^{\lceil x \rceil}}+\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}k^{(-1)^k}
} \)
La idea de la función de arriba era construir una función que fuese una recta a trozos con pendientes positivas arbitrariamente pequeñas y arbitrariamente grandes, y que fuese además continua, claro.
Entonces la inversa de esa función tiene las mismas propiedades (rectas a trozos con pendientes positivas arbitrariamente pequeñas y arbitrariamente grandes). Por construcción la función, ni su inversa, pueden ser uniformemente continuas. No sé si habrá un ejemplo más sencillo.
Gracias al ejemplo que me plasmaste me di otra idea, gracias antes que nada, por ejemplo, la función:
\( f(x)=\begin{cases} x^{2} & \text{si}& 5>x\geq{0}\\\sqrt(x) & \text{si}& x\geq{5}\end{cases} \)
¿Cumpliria con lo requerido?, digo esto, ya que la función no seria continua en \( 5>x\geq{0} \) y entonces su inversa tampoco lo sería en \( x\geq{5} \), les agradeceria mucho si me ayudaran a saber si estoy en lo correcto, o en su defecto, saber porque.
Gracias.
Mostrar Mensajes