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Mensajes - Hauss

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Análisis Matemático / Re: Continuidad uniforme.
« en: 25 Noviembre, 2019, 06:01 pm »
Hola

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa pero \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \), ¿es continua?

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Análisis Matemático / Re: Continuidad uniforme.
« en: 25 Noviembre, 2019, 02:44 pm »
Hola

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa de nuevo la molestia, ¿como se podria demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas?

Considera:

\( x_n=n+1 \) y así \( f(x_n)=n+1. \)
\( y_n=n+1-\dfrac{1}{n+1} \) y así \( f(y_n)=\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}+n \)

Entonces:

\( |x_n-y_n|=\dfrac{1}{n+1}\to 0 \) cuando \( n\to \infty \)

y:

\( |f(x_n)-f(y_n)|=1-\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\to 1-e^{-1} \) cuando \( n\to \infty \)

Por tanto no es uniformemente continua.

La inversa es:

\( f^{-1}(x)=(x-\lfloor x \rfloor)^{1/(n+1)}+n \) si \( x\in [n,n+1) \)

Haz algo similar tomando:

\( x_n=n \)
\( y_n=n+\dfrac{1}{n+1} \)

Saludos.

Muchas gracias, saludos.

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Análisis Matemático / Re: Continuidad uniforme.
« en: 23 Noviembre, 2019, 11:07 pm »
Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa de nuevo la molestia, ¿como se podria demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas?

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Análisis Matemático / Re: Continuidad uniforme.
« en: 16 Noviembre, 2019, 10:28 am »

...en principio se podrían considerar funciones discontinuas y estrictamente crecientes cuya inversa no sea uniformemente continua.

Pero dudo mucho que sea esa la intención del ejercicio.

¿podrías darme un ejemplo de esto último?

85
Análisis Matemático / Re: Continuidad uniforme.
« en: 16 Noviembre, 2019, 06:04 am »
Es que si no es continua entonces no tiene inversa en el mismo dominio, tendría inversa en un dominio disconexo. Igualmente esa función tiene una sola discontinuidad, de salto, en \( x=5 \), y no es creciente ya que \( f(4)>f(5) \).

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).


Pero en este caso ya no sería ejemplo para el enunciado que puse verdad? esto ya que en el enunciado nos dice especificamente que el dominio es [0,\( \infty \))

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Análisis Matemático / Re: Continuidad uniforme.
« en: 16 Noviembre, 2019, 05:12 am »
Hola, necesito ayuda para demostrar lo siguiente u si encuentran una función les agradeceria, ya he buscado muchas funciones para ver si alguna lo cumple pero ninguna me sirve y además no se me ocurre como demostrarlo, me refiero a que intente hacerlo mediante la definición de continuidad uniforme y no llegue a nada.

"¿Existe una función creciente  \( f: [0, \infty)\rightarrow{\mathbb{R}}  \) tal que ni ella ni su inversa son uniformemente continuas? si existe exponer dicha función, sino, demostrar por qué no es posible. "

De antemano, gracias.

La función \( f(x):=x^2 \) demuestra que el teorema es falso. ¿Que cómo lo sé? Porque cuando una función es diferenciable y su derivada está acotada entonces es Lipschitz continua y por tanto uniformemente continua.

Ah, no, el contra-ejemplo de arriba no funciona. La función \( g(x):=\sqrt x \) es uniformemente continua.

EDICIÓN: ya está, ya tengo un contra-ejemplo válido:
\( \displaystyle{
f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)\lceil x \rceil^{(-1)^{\lceil x \rceil}}+\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}k^{(-1)^k}
} \)

La idea de la función de arriba era construir una función que fuese una recta a trozos con pendientes positivas arbitrariamente pequeñas y arbitrariamente grandes, y que fuese además continua, claro.

Entonces la inversa de esa función tiene las mismas propiedades (rectas a trozos con pendientes positivas arbitrariamente pequeñas y arbitrariamente grandes). Por construcción la función, ni su inversa, pueden ser uniformemente continuas. No sé si habrá un ejemplo más sencillo.

Gracias al ejemplo que me plasmaste me di otra idea, gracias antes que nada, por ejemplo, la función:

\(  f(x)=\begin{cases} x^{2} & \text{si}& 5>x\geq{0}\\\sqrt(x) & \text{si}& x\geq{5}\end{cases}  \)

¿Cumpliria con lo requerido?, digo esto, ya que la función no seria continua en \( 5>x\geq{0} \) y entonces su inversa tampoco lo sería en \( x\geq{5} \), les agradeceria mucho si me ayudaran a saber si estoy en lo correcto, o en su defecto, saber porque.

Gracias.

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Análisis Matemático / Continuidad uniforme.
« en: 16 Noviembre, 2019, 01:01 am »
Hola, necesito ayuda para demostrar lo siguiente u si encuentran una función les agradeceria, ya he buscado muchas funciones para ver si alguna lo cumple pero ninguna me sirve y además no se me ocurre como demostrarlo, me refiero a que intente hacerlo mediante la definición de continuidad uniforme y no llegue a nada.

"¿Existe una función creciente  \( f: [0, \infty)\rightarrow{\mathbb{R}}  \) tal que ni ella ni su inversa son uniformemente continuas? si existe exponer dicha función, sino, demostrar por qué no es posible. "

De antemano, gracias.

88
Hola que tal necesito ayuda para demostrar la siguiente proposicion sobre continuidad uniforme:

"\( f:[0, + \infty) \rightarrow{\mathbb{R}} \) creciente es uniformemente continua  si y solo si \( f^{-1}:I\rightarrow{\mathbb{R}} \) (con I un intervalo) no es uniformemente continua."

A mi se me ha ocurrido que es falso, pero apenas voy entrando al tema, se me ocurre que es falso ya que f(x)=x es uniformemente continua y su inversa tambien lo es, les agradeceria mucho me ayudaram, o si tienen algun contraejemplo lo pudieran plasmar.

Gracias.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Solución de ecuación diferencial.
« en: 17 Octubre, 2019, 01:54 pm »
Hola

Bueno, el ejercicio tal y como lo puso el profesor dice:
“ \( y’’ +(3-\alpha)y’-2(\alpha-1)y=0 \).
\( \alpha \) todas las soluciones no triviales \( \rightarrow{\infty} \)
\( X\rightarrow{+ \infty} \)“

¡¿Pero realmente puso eso al pie de la letra?!. Así no tiene sentido. Ni siquiera está preguntando nada.

Saludos.
Así es, realmente eso puso al pie de la letra por eso cuando lo puse lo escribí como nos dio a entender

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Ecuaciones diferenciales / Re: Solución de ecuación diferencial.
« en: 16 Octubre, 2019, 07:08 pm »
+\( \infty \)

Bien, ahora hay algo sintácticamente mal construido en:

Hola necesito ayuda para resolver lo siguiente:
\( y’’ +(3-\alpha)y’-2(\alpha-1)y=0 \), encontrar \( \alpha \) todas las soluciones no triviales que tienden a \( \infty \) cuando x tiende a \( \infty \)

¿Podrías transcribir fielmente el enunciado?
Bueno, el ejercicio tal y como lo puso el profesor dice:
“ \( y’’ +(3-\alpha)y’-2(\alpha-1)y=0 \).
\( \alpha \) todas las soluciones no triviales \( \rightarrow{\infty} \)
\( X\rightarrow{+ \infty} \)“

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Ecuaciones diferenciales / Re: Solución de ecuación diferencial.
« en: 16 Octubre, 2019, 01:57 pm »
Revisé el problema y dice específicamente que \( x\rightarrow{+ \infty} \)

Por curiosidad, ¿dice \( x\to +\infty \), o \( x\to \infty \)?
+\( \infty \)

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Ecuaciones diferenciales / Re: Solución de ecuación diferencial.
« en: 16 Octubre, 2019, 01:08 am »
Hola

Si y=f(x)

¿Será que se debe considerar esto \( \displaystyle\lim_{\bf\color{red}x \to{-}\infty}{f(x)}=\pm \infty \)?


Saludos
Revise el problema y dice específicamente que \( x\rightarrow{+ \infty} \)

93
Ecuaciones diferenciales / Re: Solución de ecuación diferencial.
« en: 15 Octubre, 2019, 07:15 am »
Hola

A ver, si alfa es real, la ecuación característica es

\( \lambda^2+(3-\alpha)\lambda-2(\alpha-1)=0 \)

Sus raíces son, usando la fórmula cuadrática,

\( \lambda_{1,2}=\dfrac{(\alpha-3)\pm\sqrt{(3-\alpha)^2-4(1)(-2(\alpha-1))}}{2} \)

Centremos en el discriminante

\( (3-\alpha)^2-4(1)(-2(\alpha-1))=(\alpha^2-6\alpha+9)+8(\alpha-1)=\bf \alpha^2+2\alpha+1=(\alpha+1)^2=0 \)

Por lo que para todo valor de alfa tenemos soluciones reales de lamba, requerimos valores de lamda positivos


Tenemos

\( \lambda_{1,2}=\dfrac{(\lambda-3)\pm|\lambda+1|}{2}>0 \)


He obtenido tu mismo resultado

\( \lambda>1 \)


Esperemos otra opinión







Muchas gracias, si esperemos otra opinión.

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Ecuaciones diferenciales / Solución de ecuación diferencial.
« en: 15 Octubre, 2019, 05:07 am »
Hola necesito ayuda para resolver lo siguiente:
\( y’’ +(3-\alpha)y’-2(\alpha-1)y=0 \), encontrar \( \alpha \) todas las soluciones no triviales que tienden a \( \infty \) cuando x tiende a \( \infty \)


Yo llegue a la solución de que \( \alpha \)>1, pero mi profesor dice que me hace falta una solución

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Probabilidad / Re: Sucesos independientes.
« en: 26 Septiembre, 2019, 01:51 pm »
Muchas gracias.

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Probabilidad / Sucesos independientes.
« en: 26 Septiembre, 2019, 07:17 am »
Hola por favor necesito dos ejemplos que ilustren que dos eventos pueden ser independientes sin ser ajenos y que pueden ser ajenos sin ser independientes.

Gracias.

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Geometría y Topología / Re: Cerradura, interior y frontera
« en: 19 Septiembre, 2019, 07:38 am »
Este fue mi intento:


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Geometría y Topología / Re: Cerradura, interior y frontera
« en: 19 Septiembre, 2019, 07:36 am »
“La cerradura de A es un subconjunto del interior de A unión disjunta frontera de A” Esto es: \(  \overline{A} \subseteq{int(A) \cup{{\partial A}}} \) Donde la unión debe ser la unión disjunta, y \( \partial A  \) es la frontera de A

Más aún, se verifica  \(  \overline{A}=(\text{int }A )\cup{{\partial A}} \). No deberías tener problemas en demostrarlo si conoces las respectivas definiciones. Por ejemplo, si \( x\in (\text{int }A) \cap{{\partial A}} \), por pertenecer a \( \text{int }A \) existe entorno \( V_x \) de \( x \) tal que \( V_x\subset A \) y por pertenecer a \( \partial A \) todo entorno de \( x \) contiene puntos de \( A \) y del complementario, lo cual es absurdo. Es decir, \( (\text{int }A) \cap{\partial A}=\emptyset. \) Por favor, intenta el resto.

Habria manera de probarlo sin el concepto de entorno? Lo que sucede es que no lo vimos como definicion, lo que se me ocurrió es igual una demostración por reducción al absurdo, pero no estoy seguro de estar en lo correcto

99
Geometría y Topología / Cerradura, interior y frontera
« en: 18 Septiembre, 2019, 09:51 pm »
Ayuda para demostrar lo siguiente:
“La cerradura de A es un subconjunto del interior de A unión disjunta frontera de A”
Esto es:
\(  \overline{A} \subseteq{int(A) \cup{{\partial A}}} \)

Donde la unión debe ser la unión disjunta, y \( \partial A  \) es la frontera de A

Título corregido: De "Conjuntos" a "Cerradura, interior y frontera."



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Cálculo de Varias Variables / Re: Derivada
« en: 18 Septiembre, 2019, 04:40 am »
Hola

Otra forma es utilizar la definición de la derivada de y respecto a x : \( y'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{a \ sen^3(\pi/2 + h)-a \ sen^3(\pi/2)}{a \ cos^3(\pi/2+h)-a \  cos^3(\pi/2)}} \), en este caso arroja un valor; en lugar de la incertidumbre de la derivada de \( \alpha \), la cual es una función vectorial de variable escalar.Al final lo que piden es y'(x), por lo tanto es válido.


Saludos
Disculpa mi ignorancia pero como llegas a esa definición?

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