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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Dimensión de sumas directas.
« en: 05 Mayo, 2020, 06:20 am »
Sigue siendo váldo. Mira Dimension sum formula for subspaces of a infinite dimensional vector space.
Muchas gracias.
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Sigue siendo váldo. Mira Dimension sum formula for subspaces of a infinite dimensional vector space.
Si dibujas las región podrás ver que en \( 0\leq\varphi\leq \dfrac{\pi}{3} \)
El borde derecho son puntos talles que. \( cos(\varphi)=\dfrac{\frac{1}{2}}{r} \)
Por lo que \( r=\dfrac{\frac{1}{2}}{cos(\varphi)} \)
Por lo que la integral queda como la suma de dos integrales
\( \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\int_{0}^{\frac{\frac{1}{2}}{cos(\varphi)}}f(r,\varphi)drd\varphi+\int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}f(r,\varphi)drd\varphi \)
Revisa
Saludos
Hola
Por única esta vez edité tu mensaje para que esté conforme a las reglas del foro. Recuerda que debes poner tus expresiones matemáticas usando LaTex. Hazlo desde ahora o podrías tener problemas para encontrar la ayuda que buscas.
Saludos
2.- Calcular cambiando a coordenadas polares.
\( \displaystyle\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}xy\sqrt{x^2+y^2}dydx \)
¿Qué has intentado? ¿En qué parte te has atascado?
Nadie te puede dar un contrajemeplo, porque es cierto lo que te piden probar. Y me sorprende que contestes como si no te hubiera dado orientación alguna. ¿Has leído los enlaces? ¿Qué dudas tienes al respecto?.
Saludos.
Hola Luis¿Qué resultados previos puedes usar?. En principio mira por aquí:
https://math.stackexchange.com/questions/2524150/show-that-a-smooth-map-f-mathbbrm-to-mathbbrn-for-mn-cannot-be-inje?rq=1
https://math.stackexchange.com/questions/1851644/non-existence-of-c1-injective-mapping-mathbbr3-to-mathbbr2?rq=1
Yo interpreto al enunciado con un cuantificador existencial, por ese "Probar que UNA función...":
"Probar que existe una función de clase \( C^{1}, f: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow{\mathbb{R}^{m}} \) con \( m<n \) que no puede ser inyectiva"
Así que habría que buscar una función que cumpla lo pedido y no probarlo de forma genérica.
¿O en realidad es un "Para todo"? ¿Cómo lo hacés notar?
Gracias!!
Saludos
HolaHola qué tal, me podrían ayudar con lo siguiente por favor:
“Probar que una función de clase \( C^{1}, f: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow{\mathbb{R}^{m}} \) con \( m<n \) no puede ser inyectiva.”
¿Qué resultados previos puedes usar?. En principio mira por aquí:
https://math.stackexchange.com/questions/2524150/show-that-a-smooth-map-f-mathbbrm-to-mathbbrn-for-mn-cannot-be-inje?rq=1
https://math.stackexchange.com/questions/1851644/non-existence-of-c1-injective-mapping-mathbbr3-to-mathbbr2?rq=1
Saludos.
Primero tenés que hacer el producto vectorial para ver si son paralelas. Después analizar el signo del producto escalar.
También podés hacer directamente \( \dfrac{\vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}}{\left\|{\vec{r_1}}\right\| \ \left\|{\vec{r_2}}\right\| } \) y verificar que sea \( -1 \)
Pero eso no se cumple, salvo que el enunciado no esté bien redactado y por sentido opuesto consideren que el ángulo entre ellos sea mayor de 90°.
En ese caso basta comprobar que \( \vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}} \) es negativo \( \forall \; t \ge 0 \)
Hola
Dos vectores \( \vec{r_1},\vec{r_2} \) tienen direcciones opuestas, si el ángulo entre ellos es 180º, existe una relación entre el producto interno de dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos :
\( \vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}= \left\|{\vec{r_1}}\right\| \ \left\|{\vec{r_2}}\right\| \ cos \theta \), donde \( \theta \) es el ángulo. En consecuencia el ángulo entre ellos es 180º cuando \( \displaystyle\frac{\vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}}{ \left\|{\vec{r_1}}\right\| \ \left\|{\vec{r_2}}\right\|}=cos 180º \)
De ahí saca las conclusiones.
Saludos
Para ver si son direcciones opuesta basta analizar el signo de \( \vec{r_1} \cdot \vec{r_2} \)¿El signo del producto interno debe ser negativo?
Una imagen vale más que mil palabras:
En el applet de arriba se representan las gráficas de funciones del tipo \( g_m(x):=x^m \) en \( [0,1] \). Observa que la distancia entre las coordenadas en Y de los puntos \( P \) y \( Q \) siempre es igual a \( 1/2 \), sin embargo el valor que toma la coordenada en X del punto \( P \) es cada vez más cercana a la coordenada en X del punto \( Q \) conforme el valor de \( m \) se incrementa.
Yo lo que he hecho es pegar todas las funciones \( g_m \) en una sola función continua, eso es lo que significa \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Eso nos asegura, por lo dicho antes sobre los puntos \( P \) y \( Q \), que \( f \) no es uniformemente continua (aunque es creciente).
De una forma parecida se puede demostrar que la inversa tampoco es uniformemente continua ya que a las funciones del tipo \( h_m(x):=\sqrt[m]{x} \) en \( [0,1] \) les pasa algo semejante pero con puntos diferentes a lo mostrado en la gráfica anterior, y la inversa de \( f \) es un pegado de funciones del tipo \( h_m \).
AÑADO: ésta es la gráfica de \( f \):
Hola
Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).
HolaOtro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).
Disculpa de nuevo la molestia, ¿como se podria demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas?
Considera:
\( x_n=n+1 \) y así \( f(x_n)=n+1. \)
\( y_n=n+1-\dfrac{1}{n+1} \) y así \( f(y_n)=\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}+n \)
Entonces:
\( |x_n-y_n|=\dfrac{1}{n+1}\to 0 \) cuando \( n\to \infty \)
y:
\( |f(x_n)-f(y_n)|=1-\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\to 1-e^{-1} \) cuando \( n\to \infty \)
Por tanto no es uniformemente continua.
La inversa es:
\( f^{-1}(x)=(x-\lfloor x \rfloor)^{1/(n+1)}+n \) si \( x\in [n,n+1) \)
Haz algo similar tomando:
\( x_n=n \)
\( y_n=n+\dfrac{1}{n+1} \)
Saludos.
Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).
...en principio se podrían considerar funciones discontinuas y estrictamente crecientes cuya inversa no sea uniformemente continua.
Pero dudo mucho que sea esa la intención del ejercicio.