Hola que tal, quisiera que me ayudaran con lo siguiente:

Si \( X \) es un conjunto no vació y \( d:X \times X \rightarrow \mathbb{R} \) tiene las siguientes propiedades:

1.- \( d(x,y)=0 \) si y solo si \( x=y \)
2.- \( d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) \)

Demostrar que \( d \) define una métrica sobre \( X \)

Yo conozco un resultado similar, pero que cambia la propiedad 2 por lo siguiente:

2.- \( d(x,y) \leq d(x,z)+d(y,z) \)

Con la propiedad 2 dada de esta forma, me es claro ver como demostrar las propiedades de \( d(x,y)\geq 0 \) y \( d(x,y)=d(y,x) \), pero con la del enunciado, no.
 
He tratado de demostrarla con las 2 propiedades que pone el enunciado, pero no he podido concluir nada para demostrar las dos propiedades restantes y he llegado a pensar que con esas 2 propiedades no basta para definir una métrica, pero tampoco he encontrado un contraejemplo.

Les agradeceria mucho su ayuda, de antemano gracias.

Hola amigos, que tal, espero estén bien.
Tengo una duda con lo siguiente:

"Proporcionar un ejemplo de una infinidad de subconjuntos densos de un espacio \( (X,d) \) tal que la intersección de todos ellos no sea un subconjunto denso".

Bueno, he pensado que lo siguiente podria funcionar:

Tomemos el espacio \( (\mathbb{R}, d_{usual}) \), tomemos los subconjuntos de la forma: \( \mathbb{Q} \)\{\( x \)} con \( x\in \mathbb{Q} \), he logrado probar que los conjuntos de esa forma son densos. Ahora mi problema se remonta a ver que la intersección de todos ellos no sea denso, la idea de tomar conjuntos de esa forma me ha salido de ver rectas puestas en paralelo y pensé que al hacer la intersección de ello me daria el vacio y por ende seria disconexo, pero esto es algo que no he podido probar y no sé si la afirmación de que la intersección de todos ellos es el vacio, les agradeceria mucho su ayuda o si pudieran proporcionarme un ejemplo.
De antemano, gracias.

Hola amigos, podría ayudarme con lo siguiente por favor:

He estado leyendo una demostración de lo siguiente:

Si \( A,B \) son subconjuntos no vacíos de un espacio métrico \( (X,d) \) pruebe que:

Con \( d(A,B) \)=\( \inf \){\( d(a,b) : a\in A, b\in B \)}

Donde \( \bar{A} \) denota la cerradura de un conjunto.

La prueba es la siguiente:
Dado que \( A\subset \bar{A} \) y \( B\subset \bar{B} \), tenemos qué \( d(A,B)\geq d(\bar{A}, \bar{B}) \) ya qué el infímo de un subconjunto más pequeño es más grande.

Ahora, para \( \epsilon>0 \), tomemos \( c\in \bar{A} \), \( e\in \bar{B} \) tal que \( d(c,e)\leq d(\bar{A}, \bar{B})+\epsilon \).

Tomemos \( a\in A \), \( b\in B \) tal qué \( d(a,c)\leq  \epsilon \), \( d(b,e)\leq  \epsilon \)

Entonces \( d(A,B)\leq d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,e)+d(e,b)\leq d(\bar{A}, \bar{B})+3\epsilon \)                  \( (*) \)

Dado que \( \epsilon>0 \) es arbitraria, podemos concluir que \( d(A,B)\leq d(\bar{A},\bar{B}) \)

Quisiera saber si la prueba es correcta o si conocen otra y saber, ¿por qué el hecho de que \( \epsilon>0 \) sea arbitraria hace que se pueda omitir de \( (*) \)? Les agradezco mucho su ayuda.

Saludos.

Hola amigos, soy nuevo viendo temas de conexidad, podrían ayudarme con los siguientes problemas por favor:

1.-Sea \( (X,d) \) un espacio métrico, \( Y\subset X \) un subespacio con la métrica restringida de \( X \). Pruebe que \( A\subset Y \) es cerrado en \( Y \) si y solo si existe \( B\subset X \) cerrado en \( X \) tal que \( A=B \cap Y \)

2.-Sea \( (X,d) \) un espacio métrico, \( Y\subset X \) un subespacio con la métrica restringida de \( X \). Pruebe que si \( Y \) es cerrado en \( X \) entonces \( A\subset Y \) es cerrado en \( Y \) si y solo si es cerrado en \( X \)

La verdad que no sé como atacar el problema, les agradecería mucho que me ayudaran a resolverlo, viene en una parte de conexidad y lo he pensado bastante, pero no logro saber que hacer.

Muchas gracias de antemano.


Avance del enunciado marcado:
Supongamos que \( A \) es cerrado en el espacio \( (X,d_{y}) \) donde \( d_{y} \) denota la métrica restringida.

Esto significa que dado \( y\in Y \), si para cada \( \epsilon>0 \) la bola abierta definida como \( B_{Y_{\epsilon}}(y)= \){\( z\in Y| d_{y}(z,y)<\epsilon \)} intersecta \( A \), entonces \( y\in A. \) Supongamos que \( x\in \bar{A} \cap Y. \). Entonces, para cada \( \epsilon>0 \) la bola \( B_{\epsilon} \) intersecta a A. Aquí no sé como argumentar si \( x\in A \), pero me parece que si. Agradecería que me ayudaran con eso.

Toma un \( x\in \overline{A\cap \overline B} \). Hay que mostrar que \( U\cap (A\cap B)\neq \emptyset \) para cualquier abierto U que contenga a x. Tomemos un abierto U así.

Disculpa, como es que con mostrar que \( U\cap (A\cap B)\neq \emptyset \) podemos deducir o argumentar que \( \overline{ A \cap \bar{B}} \subset \overline{ A \cap B} \)

Por favor no modifiques tus mensajes sin dejar claro los cambios que has hecho.

Muy bien, muchas gracias, no sabía eso.

Hola que tal amigos, me podrían ayudar con lo siguiente por favor:

Tengo que demostrar lo siguiente:
Pruebe que si \( A \) es abierto en un espacio métrico \( (X,d) \) y \( B \) cualquier subconjunto de \( X \) entonces:

\( \overline{ A \cap \bar{B}}=\overline{ A \cap B}  \).

He demostrado que \( \overline{ A \cap B} \subset \overline{ A \cap \bar{B}} \) y se que \( \overline{ A \cap \bar{B}} \subset \bar{B} \), pero la contención que me cuesta es \( \overline{ A \cap \bar{B}} \subset \overline{ A \cap B} \)

Donde \( \overline{U} \) denota la clausura de \( U \)

Podría ayudarme a concluir el ejercicio por favor.
Gracias.

La isometría será \( f:X \to f(X) \) (es decir, la misma función pero restringiendo el recorrido).

Ese paso no me queda claro disculpa, ¿por qué podemos restingir la función?

 
Hola, que tal, espero que estén bien, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Sean \( (X, d_{x}) \) y \( (Y, d_{y}) \) espacios métricos. Si existe una función \( f : X → Y  \) tal que \(  d_{x}(x,x′) = d_{y} (f(x),f(x′)) \) para cada \( x,x′ ∈ X \), pruebe que entonces X es isométrico a un subespacio de Y.

Mi problema es, conozco la definición de isometría, y me parece que es prácticamente la misma, pero no se como argumentar, o que hacer para poder concluir el ejercicio que se me presenta.

Muchas gracias por su ayuda de antemano.

Sobre unión , probamos que dada una familia de subconjuntos conexos con intersección diferente del vacio implica que la unión de la familia es conexa.

Otro fue que todo abierto en \( \mathbb{R} \) es unión numerable de intervalos abiertos.



Con las ideas que me ha planteado usted y Fernando si me queda claro como realizar la demostración, solo que no sé si me la cuente como válida.
¡Muchas gracias.!

Habría manera de demostrarlo usando solo definicion de conexidad (la que me han dado es que es conexo si no es disconexo), lo que sucede es que no he visto conexidad por caminos.