Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( I=[0,1] \subseteq \mathbb{R} \) y \( \sim \) es la relación de equivalencia \( x \sim x´  \) si y sólo si \( \{x,x´\}=\{0,1\} \) o \( x=x´ \) entonces \( I/ \sim \) es homeomorfo a \( S^{1}=\{x \in \mathbb{R^{2}} \ : ||x||=1 \} \)

Lo que he hecho ha sido identificar a \( \mathbb{R^{2}} \) con el plano complejo y utilizar la función \( f(x)=e^{2 i \pi x} \), la cuál me parece que funciona como homeomorfismo, en lo que tengo duda es, esta función es casi biyectiva, a excepción de que \( f(1)=f(0) \), pero me parece que con la relación de equivalente lo que nos dice es que \( [0]=[1] \) y entonces con esto ya se convierte en una función continua, biyectiva y con inversa continua. ¿Me podrían decir si es esto correcto por favor?

De antemano, gracias.

Hola, me he encontrado con el siguiente resultado:

Sean \( f, g : (X, d_X ) → \mathbb{R}  \) funciones continuas. Probar que el conjunto \( \{x\in X:f (x) = g(x)\} \) es cerrado en \( X \).

Podrían ayudarme a demostrarlo por favor o en su defecto, ver si es falso, gracias.

Hola, al principio he tratado de proceder de manera analoga a como mencionas, pero tuve unos problemas, creo que porque soy nuevo en esto.
Aqui mencionas:

A ti te interesaría que esas imágenes fueran respectivamente \( P=4e^{-\alpha i} \) y \( Q=0 \).

¿A que se debe el signo negativo de \( P=4e^{-\alpha i} \)?

Entonces antes de aplicar el giro intercala una transformación dentro del semiplano superior que lleve \( -i \) en y \( -1 \) en \( 0 \). Toda transformación del semiplano superior es de la forma:

\( \dfrac{az+b}{cz+d} \) con \( a,b,c,d\in \Bbb R \) y \( ad-bc>0 \).

En esta parte tengo dos dudas, la primera, mencionas que buscamos una transformación dentro del plano nos lleve \( -i \) en creo que falto una parte y no sé a donde te refieras a llevarlo, y la segunda, como mencione, al principio trate de hacerlo con ese tipo de transformaciones del semiplano, pero he visto ejemplos y necesitaria más puntos para que pueda aplicarlo, ¿no?, o ¿tengo que tomarlos de una manera especifica para poder aplicar estas transformaciones?.

Muchas gracias por tus respuestas siempre son de mucha ayuda 

Hola, qué tal, podrían ayudarme con el siguiente problema por favor:

Encuentre el mapeo conforme del disco \( |z − 4i| < 2 \) al semiplano \( v < u \), \( (w = u + iv) \) tal que el centro del disco se mapee al punto \( 4 \) y el punto \( 2i \) se mapee al origen.

He intentado lo siguiente para buscar el mapeo, pero hay una parte en la que tengo duda:
Con \( w_1=z-4i \) llevamos el disco al origen, con \( w_2=\dfrac{w_1}{2} \) lo convertimos al disco unitario, lo llevamos al semiplano superior con \( w_3=-i\dfrac{w_2+1}{w_2+i} \) y con \( w_4=i\dfrac{\log(w_3)}{\alpha} \) con \( \alpha=\dfrac{5\pi}{4} \) llevamos al semiplano superior al semiplano que buscamos.
Por tanto la transformación que hace lo que buscamos es \( w(z)=w_4(w_3(w_2(w_1(z)))) \)

Aun me falta ver que cumpla con las condiciones requeridas, pero mi duda principalmente es lo que he señalado con rojo, intuyo que cumple con lo que busco, pero no sé si estoy en lo correcto.
Agradecería si me dijeran que tengo mal o si ustedes tienen alguna otra forma de resolverlo.

Gracias.

Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Encuentre el mapeo conforme del angulo \( −\frac{\pi}{4} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \) al semiplano derecho \( Re(w) > 0 \) tal que \( w(1 − i) = 2, w(i) = 1, w(0) = 0. \)

He visto un ejemplo similar con \( −\frac{\pi}{2} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \), he intentado seguir el mismo patrón, pero no he podido, por la apertura de ese angulo. Agradeceria mucho si me ayudara, gracias.

Hola, podrían ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Demostrar que para todo \( n ≥ 3 \), el polı́gono regular de \( n \) lados está inscrito en un cı́rculo.

Es un hecho que se me hace muy evidente, pero no sé como escribir la demostración y les agradecería mucho que me ayudarán

Con el dibujo de Luis Fuentes y Geometría sintética.
Todos los triángulos como el que ha dibujado Luis, son iguales. Al tener los lados exteriores iguales, el lado interior será igual en todos los triángulos.

¿Eso es para argumentar que el polígono que se forma también es regular?

Hola que tal, podría ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Suponga que \( P \) es un polı́gono regular de \( n \) lados y que cada lado tiene longitud \( l \). Demostrar que el polígono que se obtiene al unir los puntos medios de las aristas de \( P \) también es regular y calcular las longitudes de sus lados en términos de \( l \).

Gracias.

Sí, podrían ser en un principio todos, pero no sé como encontrar el máximo

Si tomas \( X=\{1,2\} \) y \( d(1,1)=d(2,2)=0 \), \( d(1,2)=1, d(2,1)=2 \), se cumplen esas dos propiedades y no es una métrica, porque \( d(1,2)\neq d(2,1) \).

¡Gracias!