Hola, tengo un problema que me resulta muy ambiguo, pues no comprendo que es lo que se me pide concretamente, pero he hecho un intento de acuerdo a lo que he entendido:

Sea \( H\subset \mathbb R \). ¿Qué propiedades de H expresan las siguientes fórmulas?

\( \text{a) }(\forall x\in \mathbb R)(\exists y\in H)(x<y) \)

\( \text{b) }(\forall x\in H)(\exists y\in \mathbb R)(x<y) \)

\( \text{c) }(\forall x\in H)(\exists y\in H)(x<y) \)

Lo que he intentado ha sido lo siguiente:

a) Aquí haciendo un dibujo lo que he notado es que H no está acotado superiormente
b) En un principio creía que esto implicaba que H tenia la misma cardinalidad que los reales, pero vi que no, tomando por ejemplo \( H=\{0\} \), así que está aun no la tengo
c) En esta creo que si se sigue que H tiene la misma cardinalidad que los reales

No sé si estoy en lo correcto o si esas son las propiedades del conjunto H o tiene algunas más simples, espero me puedan ayudar

Hola, tengo el siguiente problema:

Sea \( S\subset \mathbb R \) no numerable. Demuestre que existe \( t\in \mathbb R \) tal que \( S\cap (-\infty, t) \) y \( S\cap (t,\infty) \) son ambos no numerables.

Intuitivamente es fácil ver que existe tal \( t \), tomándolo de modo que la intersección no es vacía y como la intersección es no vacía y de modo que no nos quede un conjunto con un solo punto tendremos que es no numerable. Lo que me cuesta trabajo es ¿Cómo mostrar que existe dicha \( t \)? Espero me puedan ayudar, de antemano muchas gracias.

Muchas gracias Luis, ya lo he hecho, si me quedó como dices. Nadamas para confirmar si entendí, entonces la imagen de los vectores \( (1,0),(0,1) \) bajo la diferencial de la función son los vectores columna de la matriz, es decir, son funciones? (para este caso en particular)

Anda pues perdona, es que a veces significa plano complejo ampliado. Olvida lo que puse.

No pasa nada, disculpen ustedes por no especificar eso, gracias por la atención de cualquier forma!.

Hola, tengo el siguiente problema y hay unas partes que me confunden:

Supongamos que \( f:\mathbb{C^{*}}\rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa. Demostrar que si \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \), entonces \( f(z) \) se puede escribir de la forma:

\( f(z)=\dfrac{a_{k}}{z^{k}}+...+\dfrac{a_{1}}{z}+a_{0}+b_{1} z+...+b_{l} z^{l} \)

Bueno, mi solución fue la siguiente:

La condición de \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) implica que \( f \) tiene un polo en el origen. Sea \( k \) el orden de dicho polo. Entonces \( g(z)=z^{k} f(z) \) tiene una singularidad removible en el origen y por lo tanto se puede extender de manera holomorfa a una función entera.

Anteriormente había resuelto un problema que decía:

Muestre que si \( f \) es entera y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \) entonces \( f \) es un polinomio.

Entonces usando ese resultado, podemos mostrar que \( g(z) \) es un polinomio y así entonces \( f(z)=\dfrac{g(z)}{z^{k}} \)

Que es la forma que buscamos en el resultado. Con eso me parece que queda el resultado, pero tengo problemas en el sentido de que al ver en un principio dicho ejercicio, busqué relacionar los coeficientes \( a_{i} \) y \( b_{i} \) con la serie de Laurent de la función.

Espero puedan ayudarme para ver si es correcta la prueba o ver que puede corregirse.

Gracias de antemano.

Muchas gracias por la ayuda, no se me había ocurrido esa forma de resolverlo.

Nadamas por mera curiosidad, me podrías mencionar algún otro método para demostrar que no son homotópos?

Gracias de antemano.

Pero ¿hay que especificarla o en general se entiende que si no se pone es la principal?

Bueno, a mi entender la elección del \( z_0 \) da la elección de la franja del logaritmo que se ha de usar, una vez que se escoge \( z_0 \), el término \( \log(z_0-\alpha) \) queda determinada en \( U \).

Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( U \subset \mathbb{C} \) es dominio simplemente conexo y \( \alpha \in \mathbb{C}\setminus U \) entonces log\( (z-\alpha) \) está bien definido para todo \( z\in U \)

Lo unico que he intentado es probar que \( \dfrac{1}{z-\alpha} \) tienen antiderivada en \( U \), eso se me ha ocurrido únicamente por como se da en el caso real, de que la antiderivada de \( \dfrac{1}{x} \) es log\( (x) \), pero no sé si es correcto aplicar lo mismo en el caso complejo.

Les agradeceria mucho cualquier ayuda que pueda brindarme, gracias.

Muchas gracias, es en el disco abierto, en el link que adjuntas lo que hacen es una sobreyectiva \( f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}-i \), haciendo una traslación y la composición bastaría para obtener la función que se busca?

Edición: me ha surgido una duda más, con la construcción que se hace e identificando el plano complejo con \( \mathbb{R}^2 \), entonces se puede concluir que estos espacios son homeomorfos?

Muchas gracias geómetracat, ya he comprobado lo de su inversa. De igual forma gracias Luis por la observación