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Mensajes - Hauss

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Muy bien, muchas gracias, ya entiendo.

Saludos.

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Muchas gracias Luis, ya lo he hecho, si me quedó como dices. Nadamas para confirmar si entendí, entonces la imagen de los vectores \( (1,0),(0,1) \) bajo la diferencial de la función son los vectores columna de la matriz, es decir, son funciones? (para este caso en particular)

3
Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Demostrar que los vectores imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial de \( \dfrac{1}{z} \) también son ortogonales para toda \( z\in \mathbb{C} \)

Me han dado que la diferencial de la función se puede representar por la \begin{pmatrix}{u_x}&{u_y}\\{v_x}&{v_y}\end{pmatrix}, donde \( u,v \) son las partes real e imaginaria respectivamente de la función y esto está identificado con la matriz \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{pmatrix} de donde nos da el vector \( (a,b) \). Lo que he hecho entonces he obtenido que el diferencial es el siguiente:

\begin{pmatrix}{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}}\\{\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}\end{pmatrix}

(Teniendo que \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{x}{x^2+y^2}+i\dfrac{-y}{x^2+y^2} \))
Evaluando en \( (1,0) \) tenemos la matriz \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix} que corresponde al vector \( (-1,0) \) y para el vector \( (0,1) \) obtenemos el vector \( (1,0) \), así las imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial son los vectores \( (1,0), (-1,0) \) pero estos vectores no son ortogonales.

No sé si yo tengo un error o si lo que piden demostrar es incorrecto, espero me puedan ayudar por favor, gracias.

4
Anda pues perdona, es que a veces significa plano complejo ampliado. Olvida lo que puse.

No pasa nada, disculpen ustedes por no especificar eso, gracias por la atención de cualquier forma!.

5
No entiendo exactamente qué problemas ves o en que sentido contradice algo que has hecho antes.

Hola, \( \mathbb{C^{*}} \) denota el plano complejo menos el cero.

El único problema que tenia es que pensaba que los coeficientes debían ser especiales o algo así, pero creo que es solo notación, solo eso me causaba confusión, muchas gracias!

6
Hola, tengo el siguiente problema y hay unas partes que me confunden:

Supongamos que \( f:\mathbb{C^{*}}\rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa. Demostrar que si \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \), entonces \( f(z) \) se puede escribir de la forma:

\( f(z)=\dfrac{a_{k}}{z^{k}}+...+\dfrac{a_{1}}{z}+a_{0}+b_{1} z+...+b_{l} z^{l} \)

Bueno, mi solución fue la siguiente:

La condición de \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) implica que \( f \) tiene un polo en el origen. Sea \( k \) el orden de dicho polo. Entonces \( g(z)=z^{k} f(z) \) tiene una singularidad removible en el origen y por lo tanto se puede extender de manera holomorfa a una función entera.

Anteriormente había resuelto un problema que decía:

Muestre que si \( f \) es entera y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \) entonces \( f \) es un polinomio.

Entonces usando ese resultado, podemos mostrar que \( g(z) \) es un polinomio y así entonces \( f(z)=\dfrac{g(z)}{z^{k}} \)

Que es la forma que buscamos en el resultado. Con eso me parece que queda el resultado, pero tengo problemas en el sentido de que al ver en un principio dicho ejercicio, busqué relacionar los coeficientes \( a_{i} \) y \( b_{i} \) con la serie de Laurent de la función.

Espero puedan ayudarme para ver si es correcta la prueba o ver que puede corregirse.

Gracias de antemano.

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Muy bien, muchísimas gracias, creo que el otro método que mencionas se sale del alcance de mis cursos, solo queda la prueba mediante el teorema de Cauchy :D

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Muchas gracias por la ayuda, no se me había ocurrido esa forma de resolverlo.

Nadamas por mera curiosidad, me podrías mencionar algún otro método para demostrar que no son homotópos?

Gracias de antemano.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Homotopía de lazos.
« en: 07 Enero, 2021, 10:41 pm »
Hola, me podrían ayudar con lo siguiente por favor:

Considera los lazos \( \gamma(t)=e^{2i \pi t}, \alpha(t)=e^{-2i \pi t} \) basados en 1. Demostrar que son homotópicos en \( \mathbb{C} \). Demostrar que no son homotópicos en el anillo \( \dfrac{1}{2}<|z|<1 \)

Para la parte de la homotopía en \( \mathbb{C} \), si consideramos la función \( H(s,t)=(1-t)\gamma(s)+t \alpha(s) \) se verifica que los lazos son homotópicos en todo el plano complejo. Con la parte que tengo problema, es con la parte de que no son homotópicos en el anillo que menciona el ejercicio. He pensado ver que son homotópicos en el complemento, pero creo que ese razonamiento no tiene sentido por el punto en el que están basados los lazos, no sé si hacerlo por contradicción seria una buena opción, pero no veo de donde se llegaría a una contradicción. Espero me puedan ayudar, muchas gracias.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo bien definido.
« en: 28 Diciembre, 2020, 08:03 pm »
Pero ¿hay que especificarla o en general se entiende que si no se pone es la principal?

Bueno, a mi entender la elección del \( z_0 \) da la elección de la franja del logaritmo que se ha de usar, una vez que se escoge \( z_0 \), el término \( \log(z_0-\alpha) \) queda determinada en \( U \).

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo bien definido.
« en: 28 Diciembre, 2020, 06:03 pm »
Muchas gracias por la respuesta Luis, me ha quedado todo claro.

Saludos.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Logaritmo bien definido.
« en: 27 Diciembre, 2020, 12:10 am »
Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( U \subset \mathbb{C} \) es dominio simplemente conexo y \( \alpha \in \mathbb{C}\setminus U \) entonces log\( (z-\alpha) \) está bien definido para todo \( z\in U \)

Lo unico que he intentado es probar que \( \dfrac{1}{z-\alpha} \) tienen antiderivada en \( U \), eso se me ha ocurrido únicamente por como se da en el caso real, de que la antiderivada de \( \dfrac{1}{x} \) es log\( (x) \), pero no sé si es correcto aplicar lo mismo en el caso complejo.

Les agradeceria mucho cualquier ayuda que pueda brindarme, gracias.

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Muchas gracias, ya me ha quedado muy claro

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Muchas gracias, es en el disco abierto, en el link que adjuntas lo que hacen es una sobreyectiva \( f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}-i \), haciendo una traslación y la composición bastaría para obtener la función que se busca?

Edición: me ha surgido una duda más, con la construcción que se hace e identificando el plano complejo con \( \mathbb{R}^2 \), entonces se puede concluir que estos espacios son homeomorfos?

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Hola, tengo la siguiente duda:

¿Existe una función \( f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{C} \) que sea holomorfa y suprayectiva?

Esto nos lo ha mencionado mi profesor cuando nos estaba presentando el grupo de automorfismos del disco unitario, él dijo que no era posible la existencia de tal función, pero a mi no me ha quedado claro ¿por qué?, lo he pensado bastante y no logro ver cual es el motivo de que no exista tal función. Desde el punto de vista topológico creo que lo que se puede ver es que no hay una continua que haga eso (creo), por el hecho de que las continuas mandan compactos en compactos y el disco es compacto, pero la holomorfia de la función es a mi parecer un poco más fuerte que la continuidad.

Le agradecería mucho su ayuda para aclararme esta duda y de antemano, gracias.



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Teoría de Conjuntos / Re: Preservación de orden.
« en: 09 Diciembre, 2020, 05:33 pm »
Muchas gracias geómetracat, ya he comprobado lo de su inversa. De igual forma gracias Luis por la observación

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Teoría de Conjuntos / Re: Preservación de orden.
« en: 09 Diciembre, 2020, 02:41 pm »
Muchas gracias por ese dato, no sabía que eso sólo funcionaba con órdenes totales. Si he pensado en el contraejemplo, poniendo un elemento que no sea comparable, pero no logro culminarlo, te agradecería si me pudieras dar uno.

Gracias, saludos.

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Teoría de Conjuntos / Preservación de orden.
« en: 09 Diciembre, 2020, 06:31 am »
Hola, estoy aprendiendo recién sobre ordenes en teoría de conjuntos y he encontrado un ejercicio que dice lo siguiente:

“Pruebe por medio de un ejemplo que si \( (P,\leq) \) y \( (Q,\leq) \) son conjuntos parcialmente ordenados y \( f:P\rightarrow Q \) es una biyección que preserva el orden, entonces \( f^{-1}:Q\rightarrow P \) no necesariamente preserva el orden.”

Este problema me ha causado conflicto porque me parece que la primera es la definición de un isomorfismo de orden y entonces por ende también su inversa seria un isomorfismo, pero no estoy muy seguro.

Espero me puedan ayudar con esto, gracias.

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Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Si \( f:B_2 (0) \rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa tal qué \( f(\mathbb{S}^{1})\subset B_{r}(z_{0}) \) entonces \( f(\mathbb{B}^{2})\subset B_{r}(z_{0}) \)

Donde:
\( B_{r}(z_{0})=\{z \in \mathbb{C} : |z-z_{0}|<r \} \)
\( \mathbb{B}^{2}=\{z \in \mathbb{C} : |z|< 1 \} \)
\( \mathbb{S}^{1}=\{z \in \mathbb{C} : |z|= 1 \} \)

Cuando leí acerca de la fórmula integral de Cauchy, mencionaban que "los valores de una función dentro de un disco quedan determinados por su frontera", entonces creo que este resultado se desprende de esto.
Otra manera en la que he pensado atacar el problema es usar el principio del máximo a \( g(z)=f(z)-z_{0} \), pero de igual forma este se desprende de la fórmula integral de Cauchy y no sé como expresar esta prueba, les agradezco de antemano cualquiera ayuda que me puedan brindar, gracias.

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Análisis Matemático / Re: Homeomorfismo.
« en: 28 Agosto, 2020, 11:07 pm »
Me parece sumamente extraño que te hayan pedido demostrar que \( I/{\sim}\cong S^1 \) sin haberte explicado la topología cociente, de otro modo ¿cómo se puede probar que dos espacios son homeomorfos si uno de ellos carece de una topología?
Muchas gracias, bueno la forma en que me han explicado sobre como probar que dos espacios son homeomorfos es si existe una función continua, biyectiva y con inversa continua entre ellos, es lo único que me han dicho, este ejercicio nos dijeron que era "introductorio a la topología cociente", apenas estamos viendo lo que esta es.

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