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Mensajes - GMat

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Muchas gracias por la respuesta. Una cosa respecto al cambio de coordenadas. Si yo deseara una parametrización donde por alguna razón necesitara por ejemplo que \( \mu_u(u,v)=1 \) (o a cualquier otra cosa)  ¿Podría tomarlo sin ningún tipo de restricción? Al no tener una manera explicita de calcular los parámetros \( u,v \) y en función de \( \mu,\eta \) (y viceversa), ¿Qué pasaría si uno quisiera manipular el resultado de las derivadas parciales?

De nuevo, solo es un tema de curiosidad, ignoro (y no es la razón de preguntar) si estas cosas realmente aparezcan o puedan aparecer en algún tipo de problema

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¡Saludos! Me gustaría que me ayudaran con otra duda teórica sobre geometría.

Leyendo el libro de Do Carmo de curvas y superficies, sección 2.3, habla sobre el cambio de parámetros en una superficie regular. Mas concretamente aparece que dada una superficie regular \( S \)  y dos parametrizaciones \( \phi:U\subset\mathbb{R}^2\rightarrow S \), \( \psi:V\subset\mathbb{R}^2\rightarrow S \) definidas como

\( \phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \)
\( \psi(\mu,\eta)=(x(\mu,\eta),y(\mu,\eta),z(\mu,\eta)) \)

Con \( U\cap V\neq\emptyset \), entonces, existe el cambio de parámetros (me salto todo lo que dice antes de eso para no hacer el post muy largo)

\( u=(\mu,\eta) \)
\( v=(\mu,\eta) \)
\( \mu=(u,v) \)
\( \eta=(u,v) \)

Mi pregunta es: Mas allá de la utilidad del cambio de base en el espacio tangente o los teoremas que surgen a partir de eso ¿Hay una manera explicita de determinar el cambio de parámetros en la superficie?

Quiero aclarar bien mi duda, se trata simplemente si al tener dos parametrizaciones de la misma superficie, hay una manera explicita de hacer los cambio del tipo \( u=(\mu,\eta) \). ya que al priori uno toma \( u \) como una variable, ¿Como se hace el cambio \( u=(\mu,\eta) \)? Estoy casi seguro de que el cambio de parametros en la superficie es mas una cuestión teórica que una practica (en el sentido de encontrar problemas donde establecer el cambio de parámetros en la superficie sea un problema importante) pero aun así me dio curiosidad.

Gracias de antemano por cualquier respuesta dada.

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¡Hola!Muchas gracias por responder.

Si, estaba pensando la superficie como un subconjunto de \( \Bbb R^3 \). Realmente no me aparecio en ningun contexto en específico, pregunté porque se pueden deducir propiedades geométricas a partir del producto interno pero no ví que significado geométrico podría tener el producto interno de un vector que parte desde el origen a un vector que parte desde un punto de tangencia. Tenía (o tengo) dudas acerca de por ejemplo, si se puede considerar el producto interno \( \left\langle X(\alpha(t)),X(\beta(t))\right\rangle \) si las curvas \( \alpha \) y \( \beta \) no se intersectan.

¿Podrías explicarme o recomendarme un texto donde pueda ver sobre la manera canónica de identificar vectores que viven en espacios tangentes diferentes? Y si es posible un text donde pueda aprender mas cosas relacionadas a eso.

¡Gracias por todo!

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Hola me gustaría consultarle sobre lo siguiente: Cuando uno tiene un EDP de primer orden con coeficientes constantes o coeficientes funcionales

\( A(x,y)f_x(x,y)+B(x,y)f_y(x,y)+C(x,y)f(x,y)+D(x,y)=0 \)

es "sencillo" hallar una solución general y una solución mas precisa si damos condiciones iniciales (la manera de serlo por lo que he visto es casi estándar). Mi pregunta es, ¿existe una tecnica o metodo estándar para resolver variaciones de la ultima ecuación? como por ejemplo:

\( A(x,y)f_x(x,y)+B(x,y)f_y(x,y)+\Psi(f(x,y),x,y)=0 \)

Es decir, una ecuación donde el "coeficiente" que no acompaña ninguna derivada parcial, es una función de $f$ y de sus variables $x,y$. y otra ecuación seria:

\( A(x,y)(f_x(x,y))^2+B(x,y)(f_y(x,y))^2+D(x,y)=0 \)

¿Existen métodos estándares para resolver esos dos tipos de EDP? Si la respuesta es no, ¿De que manera buscarian encontrar la solución a esas ecuaciones? ¿Se tendrían que colocar condiciones de contorno?

Saludos y gracias de antemano por la ayuda.

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Hola me gustaria hacer una pequeña consulta. Sea \( S \) una superficie y \( \alpha(t),\beta(t) \) dos curvas en \( S \) y \( X  \)un campo vectorial en \( S \). Mi pregunta puede que sea algo obvia pero ¿se cumple que \( X\left(\left\langle\alpha(t),\beta(t)\right\rangle\right)=\left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle+\left\langle\alpha(t),X(\beta(t))\right\rangle \)?

¿Cual es la interpretación geométrica de esto ultimo? mas concretamente, ¿cual es el significado geométrico de \( \left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle \)? Un vector tangente a una curva en una superficie es un objeto que pertenece al plano tangente, si se toma un vector este tiene su punto de origen el punto de tangencia mientras que si tomamos cada punto de la curva en \( S \), el vector seria el que va desde el origen hasta ese punto. ¿Que significado geométrico tiene entonces \( \left\langle X(\alpha(t)),\beta(t)\right\rangle \)? visto cada uno de esos objetos como vectores.

Gracias de antemano por la ayuda.

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Teoría de grafos / Re: Coloración del triángulo de Sierpinski
« en: 02 Julio, 2019, 01:55 am »
Muchisimas gracias Luis Fuentes. Eso es exactamente lo que estaba preguntando y buscando.

Saludos.

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Teoría de grafos / Re: Coloración del triángulo de Sierpinski
« en: 28 Junio, 2019, 06:02 pm »
Disculpa, me equivoqué, con pintar me refiero a un problema de coloración, un algoritmo para 4-colorear las etapas del triángulo de Sierpinski. Con 4-colorar me refiero a pintarlo con 4 colores sin que hayan dos colores adyacentes

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Teoría de grafos / Coloración del triángulo de Sierpinski
« en: 28 Junio, 2019, 04:13 pm »
Buenas a todos. Me gustaria saber ¿existe un algoritmo para 4-colorear cualquier etapa del triángulo de Sierpinski?

Gracias

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Habia escrito mal, lo que resultaba de resolver la ecuación de segundo grado era

\( c=\displaystyle\frac{(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-2ab}}{2} \)

Sustituyendo las igualdades (2) y (3) es que llegue a que \( c=d \) ó \( c=0 \). En cualquier caso, me gusto much su resolución del problema, muchas gracias por la ayuda

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Álgebra y Aritmética Básicas / Un pequeño problema de álgebra
« en: 17 Junio, 2019, 03:15 am »
Saludos a todos, tengo una duda sobre el siguiente problema

hallar el máximo valor del número real \( m \) tal que sea cierta la siguiente afirmación:

Si \( a,b,c \) y \( d \) son números enteros positivos tales que,

\( c>d\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(1)}\\a+b=c+d\ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(2)}\\ab=2cd\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(3)} \)
Entonces \( c/d>m \).

Mi primera idea fue despejar \( c \) en (2) y sustituir en (3), eso me da una ecuación cuadrática que al resolverla me da

\( c=\displaystyle\frac{(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-2ab}}{2} \)

Una vez hecho eso una opción muy tentadora es sustituir los valores \( (a+b)=(c+d) \) y \( 2ab=4cd \)  en la última ecuación, pero esto me lleva a que \( c=0 \) o \( c=d \) lo cual contradice (1). Lo que quiero preguntar es ¿por que estaria mal hacer la sustitución que hice? ¿No debo hacerla por el simple hecho de que el resultad viola una de las condiciones o hay alguna otra razón? y finalmente ¿qué enfoque me pueden aconsejar tomar para resolver este problema?

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Gracias por la respuesta.

Tengo unas dudas, ¿por que las condiciones de contorno en \( w(0,y) \) es equivalente a conocer el valor de \( u+v \)?. La otra duda es, si también tuviese la ecuación \( w_y=g(x,y) \) ¿Se podría conocer una mas precisamente el valor de \( u \) y de \( v \)?

Saludos

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¡Saludos! tengo una pequeña duda. ¿Cómo son las soluciones del siguiente tipo de ecuación diferencial \( \frac{{\partial u}}{{\partial x}}(x,y)+\frac{{\partial v}}{{\partial x}}(x,y)=f(x,y) \) Donde \( u,v,f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \). No pongo ninguna condición o alguna caracterización porque deseo saber bajo qué condiciones se pueden presentar soluciones a esta ecuación diferencial (si se necesitan algunas condiciones) y qué forma tendrían las soluciones. La otra cosa que me gustaría preguntar es. Si se se hace \( (x,y)=(0,0) \) solo en el lado izquierdo de la igualdad, es decir, teniendo que la ecuación se cumple en un punto ¿se pueden obtener de igual manera soluciones para \( (x,y) \) arbitrarios?

Espero haber expresado bien mis dudas, gracias de antemano por la ayuda

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Buen dia a todos, me gustaria que me ayudaran con la siguiente duda: Sea \( \phi:U\subset\mathbb{R}^2\rightarrow S \) una parametrización de una superficie \( S \) y sea \( T_pS \) su plano tangente en el punto \( p\in S \). \( \alpha \) y \( \beta \) dos curvas en \( S \) que cumplen \( \alpha(0)=p=\beta(0) \), \( \alpha'(0)=w \), \( \beta'(0)=\overline{w} \) si \( (u(t),v(t)) \) son las coordenadas de \( \alpha(t) \) en \( U \) y \( (x(t),y(t)) \) son las coordenadas de \( \beta(t) \) en algún abierto \( V \) con \( U\cap V\neq\emptyset \), entonces \( w=u'(0)\phi_u(p)+v'(0)\phi_v(p) \) y \( \overline{w}=x'(0)\phi_x(p)+y'(0)\phi_y(p) \).

Mi duda es, cual seria la explicitamente la expresión de \( \overline{w} \) en la base \( \{\phi_u,\phi_v\} \). que es con una matriz cambio de base y que esta matriz es la matriz del diferencial del cambio de cartas, pero estoy confundido en ese sentido ¿como es esa matriz?, estoy seguro que mi problema debe de ser sobre cuestiones de definición, por eso pido explícitamente como se genera este cambio de base, para entender mejor como funciona ese asunto en superficies, también coloque toda esa notación del párrafo anterior con la intención de que me corrijan si algo no esta bien no solo en errores tipográficos, sino errores que muestren fallas de contenido

Gracias de antemano a cualquiera que quiera ayudarme

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Buenas a todos, no se si esta pregunta va en esta sección pero no vi nada como una sección de historia de las matemáticas o algo parecido. Lo que quiero consultarle es lo siguiente: La historia de la formula de Euler es posiblemente conocida para muchos, yo conseguí su historia en el libro "mathematics and its history" de Jhon Stillwell (muy buen libro por cierto). Ahora estudiando de libros como el de Isodore Singer de topología algebraica aparece una definición diferente, en este libro aparece la característica de grafo (complejo simplicial de dimensión no mayor que dos) como el numero de vértices menos el numero de 1-simplex del grafo. Si uno se va un poco mas allá puede encontrarse con el objeto llamado "clase de Euler" que pertenece a las clases características. Lo que me gustaría saber es donde puedo conseguir la historia de la evolución de la característica de Euler, ya conozco la parte referente a la formula de Euler y la caracteristica de Euler para superficies, asi que estoy mas interesado en saber de donde nace el estudio de la característica de Euler para complejos simpliciales y el origen de la clase de Euler

Gracias de antemano

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Topología (general) / Una pregunta sobre los espacios Topológicos
« en: 06 Diciembre, 2017, 01:38 am »
Saludos

Mi pregunta es simple de explicar, consta de dos partes, la primera es ¿Podrian darme un ejemplo de un espacio topologico topológico que posea elementos que no son abiertos ni cerrados? Y la otra es, ¿Existen espacios topológicos en la que todos sus elementos no sean ni abiertos ni cerrados?, ¿Podrían darme un ejemplo de este hecho?

Gracias de antemano

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Libros / Re: Introducción a la teoría analítica de numeros
« en: 05 Diciembre, 2017, 01:34 am »
Gracias! De momento no puedo pedirte tal cosa ya que el libro lo pido es porque voy a a ver un curso de teoría de números y como ese el libro que recomendó el profesor es el que estoy buscando. Pero gracias por la oferta, si no aparece nadie con información del libro en español y en el transcurso de mi curso necesito una pagina entonces recurriría a ti

Saludos

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Libros / Introducción a la teoría analítica de números
« en: 04 Diciembre, 2017, 08:35 pm »
Saludos

He estado buscando el libro de Tom Apostol, introduccion a la teoria analitica de números en español (la version en ingles ya la tengo), he buscado en internet y sale que si hay una version en español pero las que he conseguido son pagas y no tengo dinero para comprarlo y en la libreria genesis no aparece el libro en español ¿Me podrian ayudar a conseguir este libro?

Gracias de antemano

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Problema de suma directa
« en: 26 Noviembre, 2017, 12:18 am »
Ok, gracias por la aclaratoria, que sucede si \( S\cap\langle B_i\rangle\neq{0} \) \( \forall{i} \)? Es decir si cambiamos el ejemplo de Lindeloff y tomamos el caso donde eso se cumple, entonces el resultado seria cierto?

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Problema de suma directa
« en: 25 Noviembre, 2017, 08:42 pm »
Gracias por la ayuda

En el contra ejemplo de Lindeloff \( S_1 \) y \( S_2 \) serian la partición de la base \( B \)?

Saludos

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Problema de suma directa
« en: 25 Noviembre, 2017, 03:08 am »
Buenas a todos.

En un problema se me dice lo siguiente, si \( V \) es un espacio vectorial, \( B=\{b_i, i=1,...,n\} \) su base y S un subespacio de \( V \), sea \( C=\{B_1,...,B_n\} \) una partición de \( B \), entonces es cierto que \( S=\bigoplus_{i=1}^n(S\cap\langle B_i\rangle) \)

Antes de pensar en resolver ese problema mi primera pregunta es, ¿Como definimos la partición de una base de un espacio vectorial? Me bloquea el seguir con el ejercicio sin saber primero que es lo que me esta definiendo, tengo claro que si S=0 entonces el resultado es claro pero no puedo asegurar lo mismo si \( S\cap\langle B_i\rangle=\{0\} \) para todo \( i \), es decir, una vez teniendo en cuenta lo que es una partición de una base, si su intersección con un subespacio de V es cero ¿Entonces forzosamente indica que ese subespacio no se puede escribir como la suma directa definida anteriormente? De nuevo radica el problema de no saber definir la partición y así ver que consecuencias traerá en la ecuación. A lo mejor sea una tontería y simplemente se defina como la partición de un intervalo, pero no lo se, prefiero estar seguro de la definición

Gracias de antemano por la ayuda

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