Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - GMat

Páginas: 1 [2] 3 4 5
21
Saludos. intentando demostrar la propiedad de las geodésicas de minimizar distancias localmente usando usando las ecuaciones de Euler-Lagrange me encontre con lo siguiente:

\( \Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})g^{lk}=\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})g^{lk} \)

No veo por que se da la igualdad. ¿Tiene que ver con el hecho de que la conexión que se utiliza es la de Levi-Civita?

También me gustaría recibir su ayuda con lo siguiente: AL hacer los cálculos para demostrar resolver el problema me quedo la siguiente expresión:

\( \sum_{i,j=1}^n(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})(x^i)'(x^j)'+\sum_{j=1}^n g_{kj}(x^k)''=0 \)

Donde la prima denota la diferenciación con respecto a \( t \). Intente llegar a la expresión que coloqué al inicio multiplicando por \( g^{jk} \) pero al hacerlo directo me quedo muy mal. ¿De que manera me recomiendan renombrar los indices para pasar de esta última ecuación a la primera?

Gracias de antemano por la ayuda.

22
Geometría Diferencial - Variedades / Dudas sobre el Lema de Gauss
« en: 04 Noviembre, 2019, 04:26 am »
Saludos. Estaba viendo la demostración del lema de Gauss en el libro "Riemannian Geometry" de Manfredo Do Carmo y me surgió algunas dudas al intentar llenar detalles de la prueba.

La primera es con la prueba de \( (\mathrm{d}\exp_p)_v(v)=v \). Do Carmo no lo prueba y yo intente hacer lo siguiente: Tome la curva \( \alpha:I\to TM \) (\( TM \) fibrado tangente a la variedad \( M \)) como \( \alpha(t)=(t+1)v \) con \( v\in T_pM \) y apliqué la aplicación exponencial

\( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=\frac{d}{dt}(exp_p\circ\alpha(t))|_{t=0}=\frac{d}{dt}(exp_p((t+1)v)|_{t=0}=\frac{d}{dt}\gamma(t+1,p,v)1_{t=0} \). Según vi eso me da el rsultado \( v \) pero según entiendo la última expresión seria el transporte paralelo de \( v \) a lo largo de la geodésica \( \gamma(t) \) en \( t=1 \) ¿El hecho de ser geodésica y tener el transporte paralelo me garantiza que el resultado sea \( v \)? ¿Por que?

La siguiente es sobre diferenciación en la función exponencial de la siguiente manera: \( \frac{\partial}{\partial t}(exp_p(tv+tsw_N))|_{t=1,s=0}=\frac{\partial}{\partial t}(\gamma(1,p.tv+tsw_N))|_{t=1,s=0} \) donde \( t,s\in\mathbb{R} \) y \( w_N\in T_pM \) es un vector normal a \( v \), ¿Eso es lo mismo que \( (\gamma_t(1,p.v+sw_N))|_{t=1,s=0} \)? Es decir, al diferencial parcialmente en la función exponencial ¿puedo simplemente derivar el termino que involucra la variable con la que se deriva? ¿Por que?

La última duda es algo que no terminé de comprender, al buscar el lema de Gauss en internet aparece lo siguiente "Gauss' lemma asserts that the image of a sphere of sufficiently small radius in TpM under the exponential map is perpendicular to all geodesics originating at p" no logro ver el por que dela afirmación, aunque s¿estoy seguro de que debe ser evidente de lo que se demuestra en el Do Carmo.

Gracias de antemano por la ayuda

23
No me había llegado la notificación de la respuesta (de nuevo). Si, me había equivocado, quería preguntar era sobre por que \( exp_p(0)=p \)

 ¡Muchas gracias por ambas respuestas!

24
Muchas gracias por la respuesta, me quedo claro. Aunque no he buscado construir ese \( V \) que aparece allí.

Respecto al resultado de álgebra lineal, me puedes dar una referencia donde encontrarlo, o donde encontrar ese tipo de cosas. No recuerdo haberlo visto antes.

Una última pregunta ¿Por que \( \mathrm{exp}_p(0)=0 \), intuitivamente me parece que es porque en la definición de exponencial es un punto obtenido al recorrer una distancia \( |v| \) una geodésica que pasa por \( p \), con vector velocidad \( v \) y al tomar \( v=0 \) sería como "no moverse" sobre la geodésica. Pero no se si esta es la manera correcta de verlo y tampoco se como mostrarlo formalmente.

Saludos

25
Saludos. He estado leyendo el Do Carmo de Geometría Riemanniana, la sección de geodesicas y me surgieron estas dudas:

1) En la proposición 2.5 aparece: Dado \( p\in M \), existe un abierto \( V\subset M \), \( p\in V \), números \( \delta,\epsilon \) positivos y un mapa \( C^\infty \) \( \psi(-\delta,\delta)\times U\to M \) con \( U=\{(q,v): q\in V, v\in T_qM, \epsilon>|v|\} \) tal que la curva \( t\to\psi(t,q,v) \), \( t\in(-\delta,\delta) \) es la única geodésica que en \( t=0 \) pasa por \( q \) con velocidad \( v \) y \( (q,v)\in U \).

No me queda claro como debe de ser tomado ese \( V \) para que eso tenga sentido, allí aparece que existe pero en el libro no demuestra eso,  ni tampoco dice que clase de propiedades o forma debe tener \( V \) para que se de la existencia del \( U \). ¿Podría slguien explicarme eso?

2) En la pagina 69 se enuncia y demuestra el lema de Gauss (lema 3.5) y establce lo siguiente:

Dado que \( w\in T_pM\approx{T_vT_pM} \) podemos tomaqr \( w=w_T+w_N \). Donde \( w_T \) es paralelo a \( v \) y \( w_N \) es normal a \( v \). ¿Podrian decirme por que \( w=w_T+w_N \)?

También me dice que \( (d\mathrm{exp}_p)_v(w_T)=w_T \). ¿Por que es esto?

Gracias de antemano y disculpen que pregunte tanto acerca de razonamientos de un libro, pero no tengo profesor al que preguntarle.

26
Saludos a todos. Colocó  esto aqui ya que no se en que subsección iría mejor.

Mi duda es sobre la interpretación  geométrica  de las cantidades \( x+y, x-y, x.y \) en un plano de Minkowski. No se si representa lo mismo si en geometría  analítica o si tiene alguna interpretación diferente.

Es claro que me falta la base de estos temas, es algo que me dió curiosidad. ¿Me podrían  recomendar libros introductorios al tema? Que hablen sobre planos de Minkowski.

Gracias de antemano  por la ayuda.

27
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Símbolos de Christoffel
« en: 22 Octubre, 2019, 06:03 pm »
Comprendido. Muchas gracias.

¡Saludos!

28
¡Saludos!

Puedes construir las funciones de la siguiente manera

a) \( f:C\to A \) o \( f:C\to B \), la función que buscas debe cumplir que \( f(1)\neq f(2) \), con eso puedes construir la función de la manera que prefieras (por ejemplo \( f(1)=a \) y \( f(2)=b \))

b) Toma \( f: A\to C \) ó \( f:B\to C \) y haz que a dos valores del dominio le correspondan el mismo valor de \( C \) y al tercer valor, el restante.

c) Aquí tienes que tomar la función \( f: A\to B \) (o viceversa) y hacer corresponder a cada valor de \( A \) (o \( B \)) un valor diferente de \( B \) (o \( A \))

29
Geometría Diferencial - Variedades / Símbolos de Christoffel
« en: 21 Octubre, 2019, 07:34 am »
Saludos. Quería solicitar su ayuda con lo siguiente: Leyendo el libro de Mandredo de geometría riemanniana llegue a la parte donde define los símbolos de Christoffel y llega a la expresión:

\( \sum_l\Gamma^l_{ij}g_{lk}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\} \).

Esa parte la comprendo pero luego dice: "Dado que la matriz \( (g_{km}) \) es admite una inversa \( (g^{km}) \), obtenemos

\( \Gamma^l_{ij}=\frac{1}{2}\sum_k\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\}g^{km} \).

Pero no lo pille bien. ¿Podrían explicarme con mas detalle lo que ocurrió allí? Supongo que debió ser una multiplicación por la inversa pero no lo comprendí bien.

30
¡Saludos! Que raro que no me llegó el correo notificandome que me habían respondido, en fin.

El problema lo saqué de libro de Loring W. Tu "Differential Geometry: Conexions, Curvature and Characteristic Classes" y dice lo siguiente:

Sea \( M \) una subvariedad regular de \( \mathbb{R}^n \),\(  \mathcal{X}(M) \) el conjunto de campos vectoriales en \( M \) y  \( \Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M \) el conjunto de las secciones del fibrado tangente \( T\mathbb{R}^n \). Sea

\( D:\mathcal{X}(M)\times\Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M\to\Gamma(T\mathbb{R}^n|_M) \).

La derivada direccional en \( M \). Dado que \( \mathcal{X}(M)\subset\Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M \). Podemos restringir \( D \) a \( \mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M) \) para obtener:

\( D:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\Gamma(T\mathbb{R}^n|_M) \).

Sea \( T \) el campo tangente unitario a \( S^1 \). Pruebe que \( D_TT \) no es tangente a \( S^1 \).

31
Saludos. Me gustaría que me ayudaran con el siguiente problema:

Sea \( M \) una subvariedad regular de \( \mathbb{R}^n \). Sea \( D \) la derivada direccional de \( M \). Sea \( T \) el campo de vectores tangentes unitarios del circulo \( S^1 \). Pruebe que \( D_TT \) no es tangente a \( S^1 \).

Realmente no se como proceder con el problema, la primera duda que tengo es referente a la dimensión, cuando tome el campo vectorial, ´¿los vectores de la base serán de dimensión \( n \) o de dimensión \( 2 \)? Otra duda que tengo es sobre la definición de derivada direccional \( D_TT \), en la definición, si \( T=\sum v^i\partial_i \), ¿cómo sería \( T(v^i) \)? Tomando \( T(x,y)=(-y,x) \) y ¿como sería este campo expresado en la forma \( T=\sum v^i\partial_i \)?.

Pido disculpas ya que posiblemente esto sea solo un problema de cuentas y se que las dudas que planteé son problemas conceptuales pero como tuve varias dudas preferí preguntar.

Gracias de antemano por toda la ayuda que me puedan dar.

32
Saludos. Ya con la referencia de feriva lo habia pillado, pero tu prueba es muy constructiva y aclaratoria, gracias a ambos

33
Saludos. Gracias por responder. Disculpa pero ¿podrías explicar un poco más? No me quedó claro con la pista.

34
Saludos. Me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas:

1) Considere el conjunto \( S \) de todos los números reales \( x\in[0,1] \) que tienen una expansión decimal de la forma \( x=0,d_1d_2\ldots d_n\ldots \) donde los \( d_i \) están en el conjunto\( \{2,3,4,6,7,9\} \). Pruebe o refute que \( S \) es un conjunto cerrado.

Gracias de antemano

35
Saludos. Me gustaría pedir su ayuda con el siguiente problema:

Sea \( V \) un espacio vectorial real y \( T:V\rightarrow V \) un operador lineal que cumple \( T^2=T-I \) donde \( I \) denota el operador identidad en \( V \). Pruebe que \( T \) no es diagonalizable.

No se me ocurrió como resolverlo y he visto varios ejercicios donde colocan un operador que cumple alguna ecuación como la de arriba y aparece probar cosas como calculo de valores propios y lo que pregunte arriba. Me gustaria que me ayudaran no solo a responder esa pregunta sino en general, que tipo de resultados puedo utilizar para responder preguntas referentes a un operador cuando cumple alguna ecuación, me conformo con el capitulo(s) de algún libro que pueda usar de referencia.

Gracias de antemano.

36
Estructuras algebraicas / Dos problemas de álgebra
« en: 26 Septiembre, 2019, 10:26 pm »
Saludos, me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas

1) Sea \( G \) un grupo abeliano finito. Pruebe que si \( n\ |\ |G| \), entonces el número de soluciones a la ecuación \( x^n=1 \) en \( G \) es múltiplo de \( n \).

Coloqué la pregunta tal cual como la vi pero me supongo que al no dar ninguna caracterización de \( G \), \( 1 \) se refiere a la identidad. Se probar que si \( n\ |\ |G| \) entonces existe un subgrupo \( S \) de orden \( n \). Suponiendo que \( 1 \) es la identidad el resultado me parece claro si \( x\in S \) ya que seria por definición pero no vi como resolver el problema en el caso en \( x \) no es un elemento de \( S \).

2) Esta duda es mas de ayuda para entender una notación: ¿Como se ven los elementos del ideal de \( \mathbb{Z}[X] \), \( \langle 7,X^2+1\rangle \)?. ¿Podrían dar un ejemplo de un ideal de esa forma que sea primo o maximal? (puede ser el mismo que coloqué). Esto último lo pido porque alguien me dijo que en ese caso debia de considerar \( \mathbb{Z_7}/\langle X^2+1\rangle \) pero no estoy 100% de por que y como se puede hacer eso.

Gracias de antemano por la ayuda.

37
Hola. Muchas gracias por la rápida respuesta.


Como son dos ecuaciones independientes la dimensión de la solución del sistema que definen, es decir, del subespacio es:


No entendí bien eso. ¿Es algún resultado clásico? ¿me podrias dar un referencia concreta (con sección y parte donde encontrarlo) de lo que enunciaste?

la segunda pregunta me quedo totalmente clara, debí jugar un poco mas con la matriz antes de calcular el determinante. Muchas gracias.

38
Saludos a todo. me gustaría que me ayudaran con estos dos problemas:

1) Sea \( V \) el espacio vectorial de polinomios \( p(x)\in\mathbb{R}\left[x\right] \) con grad \( \leq{15} \) y sea \( W=\{p(x)\in V: \displaystyle\int_{0}^{3}p(x)dx=0 y p^{\prime}(3)=0\} \) pruebe que la dimensión de \( W \) es igual a \( 14 \).

Siento que este problema es sencillo pero no vi como resolverlo, se que lo ideal seria encontrar una base y ver que tiene \( 14  \) elementos, se que la dimensión de \( V \) debe de ser \( 16 \) por lo que solo tendría (pienso yo) que ver que en \( W \) los mismos vectores que generan a \( V \) salvo dos de ellos, generan a \( W \). Pero no vi como hacerlo.

2) Sea \( M \) una matriz cuadrada de orden \( 1000 \) con entradas todas iguales a \( 1 \), pruebe que el polinomio característico en la variable \( t \) es \( t^{999}(t-1000) \).

En este problema me pareció correcto usar inducción y probar que el resultado era cierto para cualquier \( n \) pero cuando estaba sacando las cuentas me quedaron cosas que me confundieron mucho, ademas que al parecer siempre me aparecía al aplicar el método de Laplace que todas las matrices (salvo una) tenían toda una fila cuyos elementos son iguales a \( 1 \) y sentí que el proceso iba mal. En este problema, ¿Esta mal intentar hacerlo por inducción? ¿deberia de hacerlo directamente para 1000? ¿Cual seria mas sencilla? ¿Hay una manera de resolver el problema sin sacar demasiadas cuentas?

Gracias de antemano por toda la ayuda que puedan darme.

39
Saludos. Me gustaría que me ayudaran con el siguiente problema:

Sea \( f:[a,b]\rightarrow[0,+\infty) \) continua. Si \( \underset{n\rightarrow+\infty}{\textrm{Lim}}\int_a^b{(f(x))}^ndx=L\in\mathbb{R} \), ¿es cierto entonces que \( f(x)\leq{1} \) para todo \( x\in[0,1] \)?

De ser cierto ¿Como podría probarlo? y si es falso, ¿Cual seria el contra-ejemplo?

40
Saludos, una pregunta. Es claro para según lo que vi en este post que \( |f(x)|<1+|f(0)| \), ahora, ¿como tendría que escoger \( a \) para que se cumpla \( \left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r} \)?

Páginas: 1 [2] 3 4 5