Saludos. Estaba viendo la demostración del lema de Gauss en el libro "Riemannian Geometry" de Manfredo Do Carmo y me surgió algunas dudas al intentar llenar detalles de la prueba.

La primera es con la prueba de \( (\mathrm{d}\exp_p)_v(v)=v \). Do Carmo no lo prueba y yo intente hacer lo siguiente: Tome la curva \( \alpha:I\to TM \) (\( TM \) fibrado tangente a la variedad \( M \)) como \( \alpha(t)=(t+1)v \) con \( v\in T_pM \) y apliqué la aplicación exponencial

\( (\mathrm{d}exp_p)_v(v)=\frac{d}{dt}(exp_p\circ\alpha(t))|_{t=0}=\frac{d}{dt}(exp_p((t+1)v)|_{t=0}=\frac{d}{dt}\gamma(t+1,p,v)1_{t=0} \). Según vi eso me da el rsultado \( v \) pero según entiendo la última expresión seria el transporte paralelo de \( v \) a lo largo de la geodésica \( \gamma(t) \) en \( t=1 \) ¿El hecho de ser geodésica y tener el transporte paralelo me garantiza que el resultado sea \( v \)? ¿Por que?

La siguiente es sobre diferenciación en la función exponencial de la siguiente manera: \( \frac{\partial}{\partial t}(exp_p(tv+tsw_N))|_{t=1,s=0}=\frac{\partial}{\partial t}(\gamma(1,p.tv+tsw_N))|_{t=1,s=0} \) donde \( t,s\in\mathbb{R} \) y \( w_N\in T_pM \) es un vector normal a \( v \), ¿Eso es lo mismo que \( (\gamma_t(1,p.v+sw_N))|_{t=1,s=0} \)? Es decir, al diferencial parcialmente en la función exponencial ¿puedo simplemente derivar el termino que involucra la variable con la que se deriva? ¿Por que?

La última duda es algo que no terminé de comprender, al buscar el lema de Gauss en internet aparece lo siguiente "Gauss' lemma asserts that the image of a sphere of sufficiently small radius in TpM under the exponential map is perpendicular to all geodesics originating at p" no logro ver el por que dela afirmación, aunque s¿estoy seguro de que debe ser evidente de lo que se demuestra en el Do Carmo.

Gracias de antemano por la ayuda

Muchas gracias por la respuesta, me quedo claro. Aunque no he buscado construir ese \( V \) que aparece allí.

Respecto al resultado de álgebra lineal, me puedes dar una referencia donde encontrarlo, o donde encontrar ese tipo de cosas. No recuerdo haberlo visto antes.

Una última pregunta ¿Por que \( \mathrm{exp}_p(0)=0 \), intuitivamente me parece que es porque en la definición de exponencial es un punto obtenido al recorrer una distancia \( |v| \) una geodésica que pasa por \( p \), con vector velocidad \( v \) y al tomar \( v=0 \) sería como "no moverse" sobre la geodésica. Pero no se si esta es la manera correcta de verlo y tampoco se como mostrarlo formalmente.

Saludos

Saludos a todos. Colocó  esto aqui ya que no se en que subsección iría mejor.

Mi duda es sobre la interpretación  geométrica  de las cantidades \( x+y, x-y, x.y \) en un plano de Minkowski. No se si representa lo mismo si en geometría  analítica o si tiene alguna interpretación diferente.

Es claro que me falta la base de estos temas, es algo que me dió curiosidad. ¿Me podrían  recomendar libros introductorios al tema? Que hablen sobre planos de Minkowski.

Gracias de antemano  por la ayuda.

¡Saludos!

Puedes construir las funciones de la siguiente manera

a) \( f:C\to A \) o \( f:C\to B \), la función que buscas debe cumplir que \( f(1)\neq f(2) \), con eso puedes construir la función de la manera que prefieras (por ejemplo \( f(1)=a \) y \( f(2)=b \))

b) Toma \( f: A\to C \) ó \( f:B\to C \) y haz que a dos valores del dominio le correspondan el mismo valor de \( C \) y al tercer valor, el restante.

c) Aquí tienes que tomar la función \( f: A\to B \) (o viceversa) y hacer corresponder a cada valor de \( A \) (o \( B \)) un valor diferente de \( B \) (o \( A \))

¡Saludos! Que raro que no me llegó el correo notificandome que me habían respondido, en fin.

El problema lo saqué de libro de Loring W. Tu "Differential Geometry: Conexions, Curvature and Characteristic Classes" y dice lo siguiente:

Sea \( M \) una subvariedad regular de \( \mathbb{R}^n \),\(  \mathcal{X}(M) \) el conjunto de campos vectoriales en \( M \) y  \( \Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M \) el conjunto de las secciones del fibrado tangente \( T\mathbb{R}^n \). Sea

\( D:\mathcal{X}(M)\times\Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M\to\Gamma(T\mathbb{R}^n|_M) \).

La derivada direccional en \( M \). Dado que \( \mathcal{X}(M)\subset\Gamma(T\mathbb{R}^n)|_M \). Podemos restringir \( D \) a \( \mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M) \) para obtener:

\( D:\mathcal{X}(M)\times\mathcal{X}(M)\to\Gamma(T\mathbb{R}^n|_M) \).

Sea \( T \) el campo tangente unitario a \( S^1 \). Pruebe que \( D_TT \) no es tangente a \( S^1 \).

Saludos. Ya con la referencia de feriva lo habia pillado, pero tu prueba es muy constructiva y aclaratoria, gracias a ambos

Saludos. Me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas:

1) Considere el conjunto \( S \) de todos los números reales \( x\in[0,1] \) que tienen una expansión decimal de la forma \( x=0,d_1d_2\ldots d_n\ldots \) donde los \( d_i \) están en el conjunto\( \{2,3,4,6,7,9\} \). Pruebe o refute que \( S \) es un conjunto cerrado.

Gracias de antemano

Saludos, me gustaría que me ayudaran con los siguientes problemas

1) Sea \( G \) un grupo abeliano finito. Pruebe que si \( n\ |\ |G| \), entonces el número de soluciones a la ecuación \( x^n=1 \) en \( G \) es múltiplo de \( n \).

Coloqué la pregunta tal cual como la vi pero me supongo que al no dar ninguna caracterización de \( G \), \( 1 \) se refiere a la identidad. Se probar que si \( n\ |\ |G| \) entonces existe un subgrupo \( S \) de orden \( n \). Suponiendo que \( 1 \) es la identidad el resultado me parece claro si \( x\in S \) ya que seria por definición pero no vi como resolver el problema en el caso en \( x \) no es un elemento de \( S \).

2) Esta duda es mas de ayuda para entender una notación: ¿Como se ven los elementos del ideal de \( \mathbb{Z}[X] \), \( \langle 7,X^2+1\rangle \)?. ¿Podrían dar un ejemplo de un ideal de esa forma que sea primo o maximal? (puede ser el mismo que coloqué). Esto último lo pido porque alguien me dijo que en ese caso debia de considerar \( \mathbb{Z_7}/\langle X^2+1\rangle \) pero no estoy 100% de por que y como se puede hacer eso.

Gracias de antemano por la ayuda.

Saludos a todo. me gustaría que me ayudaran con estos dos problemas:

1) Sea \( V \) el espacio vectorial de polinomios \( p(x)\in\mathbb{R}\left[x\right] \) con grad \( \leq{15} \) y sea \( W=\{p(x)\in V: \displaystyle\int_{0}^{3}p(x)dx=0 y p^{\prime}(3)=0\} \) pruebe que la dimensión de \( W \) es igual a \( 14 \).

Siento que este problema es sencillo pero no vi como resolverlo, se que lo ideal seria encontrar una base y ver que tiene \( 14  \) elementos, se que la dimensión de \( V \) debe de ser \( 16 \) por lo que solo tendría (pienso yo) que ver que en \( W \) los mismos vectores que generan a \( V \) salvo dos de ellos, generan a \( W \). Pero no vi como hacerlo.

2) Sea \( M \) una matriz cuadrada de orden \( 1000 \) con entradas todas iguales a \( 1 \), pruebe que el polinomio característico en la variable \( t \) es \( t^{999}(t-1000) \).

En este problema me pareció correcto usar inducción y probar que el resultado era cierto para cualquier \( n \) pero cuando estaba sacando las cuentas me quedaron cosas que me confundieron mucho, ademas que al parecer siempre me aparecía al aplicar el método de Laplace que todas las matrices (salvo una) tenían toda una fila cuyos elementos son iguales a \( 1 \) y sentí que el proceso iba mal. En este problema, ¿Esta mal intentar hacerlo por inducción? ¿deberia de hacerlo directamente para 1000? ¿Cual seria mas sencilla? ¿Hay una manera de resolver el problema sin sacar demasiadas cuentas?

Gracias de antemano por toda la ayuda que puedan darme.

Saludos, una pregunta. Es claro para según lo que vi en este post que \( |f(x)|<1+|f(0)| \), ahora, ¿como tendría que escoger \( a \) para que se cumpla \( \left | f(x) \right |\leq{c\left | x \right |+r} \)?