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Temas - GMat

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Teoría de grafos / Coloración del triángulo de Sierpinski
« en: 28 Junio, 2019, 04:13 pm »
Buenas a todos. Me gustaria saber ¿existe un algoritmo para 4-colorear cualquier etapa del triángulo de Sierpinski?

Gracias

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Álgebra y Aritmética Básicas / Un pequeño problema de álgebra
« en: 17 Junio, 2019, 03:15 am »
Saludos a todos, tengo una duda sobre el siguiente problema

hallar el máximo valor del número real \( m \) tal que sea cierta la siguiente afirmación:

Si \( a,b,c \) y \( d \) son números enteros positivos tales que,

\( c>d\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(1)}\\a+b=c+d\ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(2)}\\ab=2cd\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(3)} \)
Entonces \( c/d>m \).

Mi primera idea fue despejar \( c \) en (2) y sustituir en (3), eso me da una ecuación cuadrática que al resolverla me da

\( c=\displaystyle\frac{(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-2ab}}{2} \)

Una vez hecho eso una opción muy tentadora es sustituir los valores \( (a+b)=(c+d) \) y \( 2ab=4cd \)  en la última ecuación, pero esto me lleva a que \( c=0 \) o \( c=d \) lo cual contradice (1). Lo que quiero preguntar es ¿por que estaria mal hacer la sustitución que hice? ¿No debo hacerla por el simple hecho de que el resultad viola una de las condiciones o hay alguna otra razón? y finalmente ¿qué enfoque me pueden aconsejar tomar para resolver este problema?

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¡Saludos! tengo una pequeña duda. ¿Cómo son las soluciones del siguiente tipo de ecuación diferencial \( \frac{{\partial u}}{{\partial x}}(x,y)+\frac{{\partial v}}{{\partial x}}(x,y)=f(x,y) \) Donde \( u,v,f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \). No pongo ninguna condición o alguna caracterización porque deseo saber bajo qué condiciones se pueden presentar soluciones a esta ecuación diferencial (si se necesitan algunas condiciones) y qué forma tendrían las soluciones. La otra cosa que me gustaría preguntar es. Si se se hace \( (x,y)=(0,0) \) solo en el lado izquierdo de la igualdad, es decir, teniendo que la ecuación se cumple en un punto ¿se pueden obtener de igual manera soluciones para \( (x,y) \) arbitrarios?

Espero haber expresado bien mis dudas, gracias de antemano por la ayuda

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Buen dia a todos, me gustaria que me ayudaran con la siguiente duda: Sea \( \phi:U\subset\mathbb{R}^2\rightarrow S \) una parametrización de una superficie \( S \) y sea \( T_pS \) su plano tangente en el punto \( p\in S \). \( \alpha \) y \( \beta \) dos curvas en \( S \) que cumplen \( \alpha(0)=p=\beta(0) \), \( \alpha'(0)=w \), \( \beta'(0)=\overline{w} \) si \( (u(t),v(t)) \) son las coordenadas de \( \alpha(t) \) en \( U \) y \( (x(t),y(t)) \) son las coordenadas de \( \beta(t) \) en algún abierto \( V \) con \( U\cap V\neq\emptyset \), entonces \( w=u'(0)\phi_u(p)+v'(0)\phi_v(p) \) y \( \overline{w}=x'(0)\phi_x(p)+y'(0)\phi_y(p) \).

Mi duda es, cual seria la explicitamente la expresión de \( \overline{w} \) en la base \( \{\phi_u,\phi_v\} \). que es con una matriz cambio de base y que esta matriz es la matriz del diferencial del cambio de cartas, pero estoy confundido en ese sentido ¿como es esa matriz?, estoy seguro que mi problema debe de ser sobre cuestiones de definición, por eso pido explícitamente como se genera este cambio de base, para entender mejor como funciona ese asunto en superficies, también coloque toda esa notación del párrafo anterior con la intención de que me corrijan si algo no esta bien no solo en errores tipográficos, sino errores que muestren fallas de contenido

Gracias de antemano a cualquiera que quiera ayudarme

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Buenas a todos, no se si esta pregunta va en esta sección pero no vi nada como una sección de historia de las matemáticas o algo parecido. Lo que quiero consultarle es lo siguiente: La historia de la formula de Euler es posiblemente conocida para muchos, yo conseguí su historia en el libro "mathematics and its history" de Jhon Stillwell (muy buen libro por cierto). Ahora estudiando de libros como el de Isodore Singer de topología algebraica aparece una definición diferente, en este libro aparece la característica de grafo (complejo simplicial de dimensión no mayor que dos) como el numero de vértices menos el numero de 1-simplex del grafo. Si uno se va un poco mas allá puede encontrarse con el objeto llamado "clase de Euler" que pertenece a las clases características. Lo que me gustaría saber es donde puedo conseguir la historia de la evolución de la característica de Euler, ya conozco la parte referente a la formula de Euler y la caracteristica de Euler para superficies, asi que estoy mas interesado en saber de donde nace el estudio de la característica de Euler para complejos simpliciales y el origen de la clase de Euler

Gracias de antemano

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Topología (general) / Una pregunta sobre los espacios Topológicos
« en: 06 Diciembre, 2017, 01:38 am »
Saludos

Mi pregunta es simple de explicar, consta de dos partes, la primera es ¿Podrian darme un ejemplo de un espacio topologico topológico que posea elementos que no son abiertos ni cerrados? Y la otra es, ¿Existen espacios topológicos en la que todos sus elementos no sean ni abiertos ni cerrados?, ¿Podrían darme un ejemplo de este hecho?

Gracias de antemano

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Libros / Introducción a la teoría analítica de números
« en: 04 Diciembre, 2017, 08:35 pm »
Saludos

He estado buscando el libro de Tom Apostol, introduccion a la teoria analitica de números en español (la version en ingles ya la tengo), he buscado en internet y sale que si hay una version en español pero las que he conseguido son pagas y no tengo dinero para comprarlo y en la libreria genesis no aparece el libro en español ¿Me podrian ayudar a conseguir este libro?

Gracias de antemano

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Problema de suma directa
« en: 25 Noviembre, 2017, 03:08 am »
Buenas a todos.

En un problema se me dice lo siguiente, si \( V \) es un espacio vectorial, \( B=\{b_i, i=1,...,n\} \) su base y S un subespacio de \( V \), sea \( C=\{B_1,...,B_n\} \) una partición de \( B \), entonces es cierto que \( S=\bigoplus_{i=1}^n(S\cap\langle B_i\rangle) \)

Antes de pensar en resolver ese problema mi primera pregunta es, ¿Como definimos la partición de una base de un espacio vectorial? Me bloquea el seguir con el ejercicio sin saber primero que es lo que me esta definiendo, tengo claro que si S=0 entonces el resultado es claro pero no puedo asegurar lo mismo si \( S\cap\langle B_i\rangle=\{0\} \) para todo \( i \), es decir, una vez teniendo en cuenta lo que es una partición de una base, si su intersección con un subespacio de V es cero ¿Entonces forzosamente indica que ese subespacio no se puede escribir como la suma directa definida anteriormente? De nuevo radica el problema de no saber definir la partición y así ver que consecuencias traerá en la ecuación. A lo mejor sea una tontería y simplemente se defina como la partición de un intervalo, pero no lo se, prefiero estar seguro de la definición

Gracias de antemano por la ayuda

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Análisis Matemático / Analisis no diferenciable
« en: 25 Noviembre, 2017, 12:28 am »
Buenas a todos, esta vez escribo para pedir ayuda con el tema de análisis no diferenciable, me gustaría saber mas de este tema en general pero no he encontrado libros que me ayuden con eso, tampoco se si los hay. he encontrado artículos sobre el tema pero ya son referentes a tópicos específicos y no a una introducción o desarrollo mas general del tema

De nuevo, se prefiere resultados en español pero no es limitativo. De manera mas especificas busco un libro o algunos artículos que me guíen de manera general esta rama de la matematica

Gracias de antemano

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Libros / The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers
« en: 21 Noviembre, 2017, 08:46 pm »
Buenas, me podrian ayudar con un enlace donde pueda descargar el libro "The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers" de Benjamin H. Yandell de manera gratuita, desde hace tiempo he querido ese libro y no lo he conseguido descargar

Desde ya gracias

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Saludos

planteo las siguientes preguntas: 1) sea \( \mathbb{C}^n \) un espacio vectorial sobre \( \mathbb{C} \) con las operaciones clásicas que definen un al espacio vectorial  \( \mathbb{C}^n \), si en la multiplicación por escalares tomara \( \bar{z} \) en lugar de \( z \) ¿Esto me generaría otro espacio vectorial sobre \( \mathbb{C} \)? De no ser posible de esa forma ¿Como puedo contruir dos espacios vectoriales diferentes a partir del mismo conjunto de vectores \( V \) y el mismo cuerpo \( F \)?

2) ¿Me podrian dan un ejemplo de un sub-conjunto S de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F que cumpla que S es un sub-espacio vectorial de V y que ademas S sea un espacio vectorial con operaciones definidas de manera distintas a las de V? ¿\( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{C} \) vistos como espacio vectorial podrian cumplir eso?

Gracias de antemano

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Saludos

En mi curso de integral de Lebesgue de pre-grado nos dieron la construcción de la integral de Lebesgue sobre espacios de medida finita, quisiera saber mas acerca de la construcción de la integral de Lebesgue sobre espacios de medida infinita, ¿Podrían recomendarme unos libros donde aparezca esta construcción? De preferencia en español (no es limitativo) para hacer mas fácil la lectura o podrían indicarme por aquí como se construye (en caso de que sea sencilla la construcción)

Siento que si pudiese demostrar que si \( \phi_n \) y \( \psi_n \) son funciones simples integrables sobre un espacio medible \( E \) y \( |\psi_n-\phi_n|\overset{u}{\longrightarrow}o^+ \), entonces, \( \int_E|\psi_n-\phi_n|dm\overset{u}{\longrightarrow}o^+ \) aun con \( m(E)=\infty \) (el caso finito es sencillo de demostrar) entonces no habría diferencia entre medida finita o infinita en mi definición ya que este paso es fundamental para la teoría que desarrollamos en el curso pero como no se como demostrarlo (como vi el caso finito no me salgo de el para ver el infinito) me gustaria algun libro donde mostrara la construccion de la integral de Lebesgue sobre espacios de medida infinita (no tiene que ser demostrando ese resultado)

Gracias de antemano

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Computación e Informática / Qué es mejor para un iniciado
« en: 11 Noviembre, 2017, 05:23 am »
Buenas a todos

Quiero aprender a programar problemas matemáticos, desde hace poco tiempo he estado estudiando C++ desde lo mas básico (desde el clásico "hola mundo") y aunque he aprendido muchas cosas y me he familiarizado mas con el lenguaje de programación (al menos con este) no he llegado a aprender totalmente como hacer ciertos problemas matematicos, hace poco un profesor nos presento el programa Maple muy útil para presentar problemas sencillos (hasta donde he visto) y es mucho mas amigable que C++. Ahora bien, mi meta no es ser un completo programador pero si poder plasmar diferentes problemas en el computador, C++ es muy versátil pero algo complicado y Maple es mas amigable pero no se que tan lejos puede llegar a la hora de presentar problemas de Matematicas

¿Que recomiendan que estudie mas? ¿Maple o C++?, teniendo en cuenta que no planeo ser un programador pleno sino usar esos programas para hacer ciertas cosas con ellos que podrían ser básicas o complicadas (en el sentido de la profundidad matematica)

Saludos

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Combinatoria / Coeficientes Gaussianos
« en: 10 Noviembre, 2017, 04:50 am »
Saludos

Leyendo el libro de Steven Roman, "Advanced Linear Algebra" en uno de los ejercicios del capitulo uno el nombra a los coeficientes binomiales definidos de la siguiente forma

\( \binom{n}{k}_q=\frac{(q^n-1)...(q-1)}{(q^k-1)...(q-1)(q^{n-k}-1)...(q-1)} \)

El ejercicio consiste en contar el numero de sub-espacios vectoriales de dimensión \( k \) de un espacio vectorial \( n \)-dimensional sobre un cuerpo finito de "tamaño" \( q \). En fin, debo confesar que me llamaron mucho la atención estos llamados coeficientes Gaussianos y quise investigar acerca de ellos pero tristemente google no me ayudo mucho a conseguir información. Me gustaría que me ayudaran con algunos libros, artículos o cualquier cosa que me hable acerca de estos coeficientes, como deducirlos, sus aplicaciones y si es posible su interpretación geométrica. Seria de mucha ayuda si los documentos estan en español (pero no es limitativo)

Gracias de antemano

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Saludos

En la definición de la integral de Lesbesgue se dice que una función \( f:E\rightarrow\mathbb{R} \) es L-integrable si existe una sucesión de funciones simples integrables \( \phi_n \) tales que \( \phi_n\overset{u}{\longrightarrow}f \) y en ese caso se tiene que  \( \int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm \). Ahora si cambiamos en la definición el hecho de que \( \phi_n \) converge uniformemente por otro tipo de convergencia el resultado no es favorable

Tengo unos ejemplos donde si la sucesión \( \phi_n \) converge en medida o en casi todo punto no se cumple que \( \int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm \). Ahora lo que me gustaría tener es un ejemplo donde la convergencia sea puntual.
En particular me gustaria un ejemplo que muestre que \( \phi_n\overset{p}{\longrightarrow} \) entonces \( \int_E\phi_n\nrightarrow0 \)

Gracias de antemano

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Temas de Física / Sugerencias de libros de Física
« en: 09 Noviembre, 2017, 04:08 pm »
Buenas a todos

Quería pedirle sugerencias para estudiar mecánica (en general) y cosmología, Me gustaría que me recomendaran libros acerca de esos temas, no busco libros muy básico, algo que no sea para iniciados pero tampoco que sea para personas ya especializadas en el tema, sobre todo me gustaría saber si hay libros de física en esos temas que tengan un formalismo parecido a los libros de matemáticas o que usen formalmente las matemáticas. Mi mayor objetivo referente a estos temas es estudiarlos con la óptica de las matemáticas, es decir a través de resultados formales en las distintas áreas de matemáticas que estén involucradas en esos temas, mas que nada para ver directamente como se usan esas propiedades y resultados matemáticos para dar resultados fisicos

Saludos

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Teoría de la Medida - Fractales / Una demostración con medida infinita
« en: 09 Noviembre, 2017, 03:53 pm »
Saludos
He estado estudiando la integral de Lebesgue con el libro de Kolmogorov, durante la construcion de la integral de Lebesgue el usa el siguiente resultado

"sean \( \phi_n \) y \( \psi_n \) funciones simples integrables sobre un espacio medible E. Si \( |\psi_n-\phi_n|\overset{u}{\longrightarrow}o^+ \) entonces, \( \int_E|\psi_n-\phi_n|dm\overset{u}{\longrightarrow}o^+ \)"

Si tomo como hipotesis que \( m(E)\leq\infty \), entonces el resultado se deduce de la definicion de convergencia uniforme y del siguiente hecho "si \( \phi \) es una funcion simple acotada, \( \alpha\leq\phi\leq\beta \) \( \forall x\in E \), entonces \( \phi \) es integrable y \( \alpha m(E)\leq\int_E\phi dm\leq\beta m(E) \), con eso a la mano solo falta cambia \( \varepsilon \) por \( \varepsilon/m(E) \) en la definicion de convergencia uniforme pára obtener el resultado. Ahora el Kolmogorov no hace distinción alguna acerca de la medida de \( E \) y si \( m(E)=\infty \) entonces el razonamiento anterior falla, me gustaria que me ayudaran a obtener el resultado para medida infinita o una pruebe que no no haga distincion alguna de si la medida es finita o infinita, concretamente, quiero probar que si \( \phi_n\overset{u}{\longrightarrow}0+ \) entoncdes \( \int_E\phi_ndm\overset{u}{\longrightarrow}0+ \) con \( \phi_n \) funciones simples integrables

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Geometría Diferencial - Variedades / Propiedades de la hélice
« en: 12 Octubre, 2017, 05:43 am »
helice  hélice
Sabemos que una curva \( \gamma \) es una helice si las rectas tangentes a \( \gamma \) forman un angulo constante con una dirección fija, es decir \( \langle T,v\rangle=ctte \) Siendo \( T \) el vector tangente a la curva

Usando esa definicion se me pide probar que \( \gamma(s)=(\frac{a}{c}\int\sin(\theta(s))ds,\frac{a}{c}\int\cos(\theta(s))ds,\frac{b}{c}) \), con \( c^2=a^2+b^2 \), \( \frac{k}{\tau}=\frac{a}{b} \) y \( \theta(s)=\int k(s)ds + \theta_0 \)

Yo quise partir de que \( \frac{k}{\tau}=\frac{a}{b}=\frac{a\dot{\theta}(s)c^{-1}}{b\dot{\theta}(s)c^{-1}} \) (el punto representa derivada) de donde se ve que \( k=a\dot{\theta}(s)c^{-1} \) y usando que \( \theta(s)=\int k(s)ds + \theta_0 \) concluir que \( \gamma(s)=(\frac{a}{c}\int\sin(\theta(s))ds,\frac{a}{c}\int\cos(\theta(s))ds,\frac{b}{c}) \), pero a la final queda un pequeño problema con un "-" que colocarlo es un truco brusco. aun asi puedo llegar al resultado

Lo que queria era si me podrian ayudar a resolverlo directamente de la definicion, es decir, usando que \( \langle T,v\rangle=ctte \) y de alli llegar a la forma de \( \gamma \)

Gracias de antemano

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Buenas a todos, les pido su ayuda con el siguiente problema

sean f, h y g de clase \( C^1 \). Demuestre que si \( x^* \) es un mínimo local del problema de optimización con restricciones
Minimizar \( f(x) \)
Sujeto a \( h(x) = 0 \)
\( g(x)\leq{0} \)
(POR)
y \( x^* \) es regular para las restricciones activas de (POR), entonces los multiplicadores de Lagrange \( \lambda \) y \( \mu \) provistos por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son únicos.

La lógica me dice que hay que suponer (como es de costumbre) que no son únicos, supongamos que existen otro \( \lambda_0 \) y \( \mu_0 \), las condiciones de KKT nos dicen que si \( x^* \) es un mínimo relativo y un punto regular entonces existen \( \lambda \) y \( \mu \) tales que

\( \nabla f(x*)+{\lambda}^T\nabla h(x^*)+{\mu}^T\nabla g(x^*)=0 \)
\( {\mu}^T g(x^*)=0 \)

Lo que se me ocurrió fue suponer la existencia del \( \lambda_0 \) y \( \mu_0 \) y igualar ambas ecuaciones, de allí llegue a que \( {(\lambda - \lambda_0)}^T\nabla h(x^*)+{(\mu - \mu_0)}^T\nabla g(x^*)=0 \) pero de allí no se me ocurrió mas nada, se me ocurrió ver que \( \nabla h(x^*) \) y \( \nabla g(x^*) \) eran linealmente dependientes para contradecir que \( x^* \) es un punto regular pero de esa ecuación a la que llegue no se como proseguir para demostrarlo

Agradezco su ayuda de antemano

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Topología (general) / Triangulaciones de Superficies
« en: 30 Agosto, 2017, 03:46 am »
Buenas a todos, en el libro de Willian Massey "introducción a la topologia algebraica" aparece el siguiente problema:

Para toda triangulacion de de una superficie compacta muestre que 3t=2a donde t es el numero de triangulos y a el numero de arista de la triangulacion

El problema tiene mas partes pero como estoy en esa no colocare los demas, La verdad no deseo la solucion del ejercicio, el ejercicio lo quiero resolver hacer por induccion sobre el numero de triángulos en la triangulacion, lo que me gustaria que me ayudaran seria a entender el paso de aceptar cierta la conjetura para \( n \) y probarla para \( n+1 \), que datos digamos evidentes se pueden apreciar al considerar al agregar un triangulo mas en la triangulacion

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