Muchas gracias! Todo claro.

Buenas, tengo una duda con este ejercicio de probabilidad:

Un test detecta el uso de esteroides en los "body builder" profesionales el \( 95\% \) de las veces. Sin embargo, el test presenta un \( 15\% \) de falsos positivos. Sabiendo que la probabilidad "a priori" de encontrar una persona que utiliza esteroides es el \( 10\% \), ¿cuál es la probabilidad de que una persona utilice esteroides sabiendo que el resultado del test es positivo?

En las soluciones pone que la respuesta es \( 0,85 \), pero a mí me sale \( 0,4130 \). Os paso mi procedimiento:

Valor Predictivo Positivo (VPP). Probabilidad de estar enfermo después de observar un resultado positivo en la prueba. Se tiene que aplicar el Teorema de Bayes extendido:

\( VPP=P(E|+)=\dfrac{P(E\cap +)}{P(+)}=\dfrac{\textrm{Prev}\cdot \textrm{Sen}}{\textrm{Prev}\cdot \textrm{Sen}+(1-\textrm{Prev})\cdot (1-\textrm{Esp})}=\dfrac{0,95\cdot 0,1}{(0,95\cdot 0,1)+(0,15\cdot 0,9)}=0,4130 \)

Muchas gracias

Saludos

En la siguiente definición: Si la ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes, entonces la ecuación se llama ecuación en derivadas parciales (EDP) o PDE (Partial Differential Equation).

No sería variables independientes?

O sea que la ecuación contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto de una o más variables independientes.

Saludos.

Vamos a calcular la suma entonces:

\( X=\sum_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+8}{2^{k+1}}=\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{2^{k+1}}+\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{2^{k+1}}+\sum_{k=1}^n\dfrac{8}{2^{k+1}} \)

Calculamos las tres sumas por separado:

Sea \( S=\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{2^{k+1}} \), entonces como la razón de la progresión geométrica asociada al término general es \( \dfrac12 \), multiplicamos \( S \) por \( \dfrac12 \). Restando \( \dfrac12S \) de \( S \) obtenemos

\(  \begin{align*}
        S &= \dfrac14 +\dfrac48 +\dfrac{9}{16}+\dfrac{25}{64}+\cdots +\dfrac{n^2}{2^{n+1}}\\
        \dfrac12S &= +\dfrac18+\dfrac{4}{16}+\dfrac{9}{32}+\dfrac{16}{64}+\cdots +\dfrac{(n-1)^2}{2^{n+1}}+\dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\
       \text{Restando}\\
        \dfrac12S &= \dfrac14+\dfrac38+\dfrac{5}{16}+\dfrac{7}{32}+\dfrac{9}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}.
    \end{align*} \)
Continuamos con este procedimiento con \( T=\dfrac12S \) una vez más y restamos:
\(  \begin{align*}
        T&= \dfrac14 +\dfrac38 +\dfrac{5}{16}+\dfrac{7}{32}+\dfrac{9}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\
        \dfrac12T &= +\dfrac18+\dfrac{3}{16}+\dfrac{5}{32}+\dfrac{7}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}-\dfrac{n^2}{2^{n+3}}\\
       \text{Restando}\\
        \dfrac12T &= \dfrac14+\dfrac28+\dfrac{2}{16}+\dfrac{2}{32}+\dfrac{2}{64}+\cdots +\dfrac{2}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}+\dfrac{n^2}{2^{n+3}}.
    \end{align*} \)
Ahora, observamos que con la excepción del primer término y de los tres últimos, obtenemos una progresión geométrica con término inicial \( \dfrac28 \) y razón \( \dfrac12 \). Por tanto, obtenemos

\( \dfrac12T=\dfrac14 +\dfrac{2^n-2}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}+\dfrac{n^2}{2^{n+3}}=\dfrac{-\frac14n^2-n-\frac32+2^n+2^{n-1}}{2^{n+1}} \)

Por tanto, la primera suma buscada es

\( S=\dfrac{-n^2-4n-6+6\cdot 2^n}{2^{n+1}} \)

Vamos a por la segunda suma:

\( S'=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{2^{k+1}}=\dfrac14 +\dfrac28+\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{32}+\dfrac{5}{64}+\cdots +\dfrac{n}{2^{n+1}} \)

Multiplicamos \( S' \) por \( \dfrac12 \), y obtenemos

\( \dfrac{S'}{2}=\dfrac18+\dfrac{2}{16}+\dfrac{3}{32}+\dfrac{4}{64}+\dfrac{5}{128}+\cdots +\dfrac{n-1}{2^{n+1}}+\dfrac{n}{2^{n+2}} \)

Ahora restando \( \dfrac{S'}{2} \) de \( S \), obtenemos

\( \dfrac{S'}{2}=\dfrac14+\dfrac18+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\cdots +\dfrac{1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^{n+2}} \)

Que es una progresión geométrica excepto el último término. Entonces, por la famosa conocida fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, obtenemo que:

\( S'=2\cdot \left( \dfrac{2^n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^{n+2}}\right) =\dfrac{2^{n+1}-2-n}{2^{n+1}} \)

Vamos ya por la última suma que no es complicada teniendo en cuenta lo que hemos hecho, simplemente es una progresión geométrica:

\( S''=\sum_{k=1}^n\dfrac{8}{2^{k+1}}=8\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^{k+1}}=4-2^{2-n} \)

Finalmente, la suma que nos interesa es entonces:

\( \boxed{X=S+S'+S''=\dfrac{-n^2-5n+2^{n+4}-16}{2^{n+1}}} \)

Saludos.

Según yo haría, calcularía las curvas de nivel grosso modo, sin mucho detalle. Simplemente para saber a grandes rasgos qué sale.

Vale, simplemente miro más o menos qué cónica, recta ... me queda no?

Las curvas de nivel dan más información si calculas los cortes con planos paralelos a OYZ y a OZX, no sólo OXY. Serían parábolas.

Sí, los he calculado después.

La figura es un paraboloide hiperbólico o silla de montar:

Perfecto!! Una pregunta, qué programa has utilizado para hacer la gráfica? Es que tengo el Maple pero es muy largo de entrar.

Gracias!

Saludos.

Buenas,

Estoy haciendo este ejercicio: Hallar las curvas de nivel de la superficie \( z=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9} \) obtenidas al hacer cortes por planos paralelos a los planos coordenadas. Representar la superficie e identificarla.

Os paso lo que he hecho y me comentáis:

Curvas de nivel \( z=k\in \mathbb{R} \), \( C_k=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2: \dfrac{x^2}{2^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=k\} \)

Entonces considero tres casos:

1. Si \( k<0 \), se trata de una hipérbola con asíntotas \( x=\pm \dfrac{3\sqrt{k}}{2\sqrt{k}}y \), \( C(0,0) \), \( V_1(0,3\sqrt{k}) \) y \( V_2(0,-3\sqrt{k}) \). Se trata de una hipérbola centrada en el eje OY.

2. Si \( k>0 \), se trata de una hipérbola con asíntotas \( y=\pm \dfrac{3\sqrt{k}}{2\sqrt{k}}x \), \( C=(0,0) \), \( V_1=(2\sqrt{k},0) \) y \( V_2(-2\sqrt{k}, 0) \). Se trata de una hipérbola centrada en el eje OX.

3. Si \( k=0 \), tenemos \( \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=0\rightarrow \left( \dfrac x2\right)^2-\left( \dfrac y3\right)^2 =0\rightarrow \left( \dfrac x2\right)^2 =\left( \dfrac y3\right)^2 \rightarrow \pm \sqrt{\left( \dfrac x2\right)^2}=\dfrac y3\rightarrow \pm \dfrac x2=\dfrac y3\rightarrow \dfrac x2 -\dfrac y3=0  \), \( \dfrac x2+\dfrac y3=0 \) que son rectas.

Gracias

Saludos.

Buenas iNuGaM,

Sea \( q\in \mathbb{Z}^+ \) dado. Para cada \( q \), existe algún \( x\in \mathbb{Z}^+ \) y algún \( v\in \{ 0,1,2,3,4\} \) tal que \( q=5x+v \) por el algoritmo de la división.

Ahora sea \( A=\{ q_i\in \mathbb{Z}^+: 1\leq i\leq 21\} \subset \mathbb{Z}^+ \). Entonces para cada \( q_i \), existe \( x_i\in \mathbb{Z}^+ \) y \( v_i\in \{ 0,1,2,3,4\} \) tal que \( q_i=5x_i+v_i \) para todo \( i \). Queremos probar que para cada conjunto \( A \) dado, existe un subconjunto \( B \) de \( 5 \) números tal que su suma es divisible por \( 5 \).

Separamos nuestra demostración en dos casos:

• Si existen cinco \( v_i \) tales que son iguales, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que estos son \( v_1, \ldots ,v_5 \) y \( v_1=\cdots =v_5=v \) Entonces tenemos que \( \sum_{i=1}^5 q_i=\sum_{i=1}^5 (5x_i+v_i)=\sum_{i=1}^5 (5x_i+v)=5(x_1+\cdots +x_5)+5v=5(x_1+\cdots +x_5+v) \), de donde vemos que claramente \( q_1+\cdots +q_5 \) es divisible por \( 5 \) y tomando el conjunto \( B=\{ q_i\in \mathbb{Z}^+: 1\leq q_i\leq 5\} \subset A \), tenemos lo que necesitamos.
• Por otra parte, si no existen cinco \( v_i \) que sean todos iguales, por el principio del palomar, tenemos que debe existir como mínimo un \( v_i \) que sea igual a \( 0 \), otro \( v_j \) que sea igual a \( 1 \) y así sucesivamente. Sin pérdida de generalidad, tomamos entonces \( v_1=0 \), \( v_2=1 \), \( v_3=2 \), \( v_4=3 \), \( v_5=4 \). Entonces, tenemos que \( \sum_{i=1}^5 q_i=5(x_1+\cdots +x_5)+(v_1+\cdots +v_5)=5(x_1+\cdots +x_5)+10=5(x_1+\cdots +x_5+2) \), de donde vemos que la suma es divisible por \( 5 \). Por tanto, cogiendo \( B=\{ q_i\in \mathbb{Z}^+: 1\leq q_i\leq 5\} \subset A \), tenemos lo que queremos.

Fijate que el teorema de la división ha sido un resultado muy importante para la demostración. Como ves también hemos utilizado el principio del palomar, como comentaste que era tu intención de ver una aplicación.

Saludos.
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Hola, no sé por dónde empezar para empezar a graficar unas funciones. Se trata de un libro diferente al usual que pensaba que iba a ayudarme con el que he tenido hasta ahora. Usa una notación diferente. Y se trata de tres imágenes que adjunto. Las funciones son tres:
- una función lineal que representa un plano: \( f(x,y)=2x+7y \). Yo he "parametrizado", no sé, me acabo de inventar la palabra: \( (x,y,z)=(3\lambda,7\lambda,3\lambda+7\lambda) \). A partir de ahí puedo empezar a dar valores. ¿Correcto?
- una función afín que representa una recta: \( f(x,y)=2x+7y+6 \): Esto no es una función, es la ecuación de una recta, ¿no?: \( 2x+7y+6=0 \).
- una función afín que es un plano: \( f(x)=3x+5 \). Yo he creado un parámetro, \( y=\lambda \), y a partir de ahí he "parametrizado": \( (x,y,z)=(3\lambda, \lambda, 3\lambda+5) \). Y a partir de ahí grafico.
¡Un saludo!

Buenas Marcos,

(a) Sea \( z:=f(x,y)=2x+7y+6 \). Esta función la podemos escribir como \( -2x-7y+z=6\Leftrightarrow \dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{-6/7}+\dfrac{z}{6}=1, \) que vemos que es la ecuación canónica del plano que pasa por los tres puntos \( (-3,0,0) \), \( (0,-6/7, 0) \) y \( (0,0,6) \).

(b) Sea \( z:=f(x,y)=2x+7y \). Es equivalente a decir que el producto escalar de los vectores \( (2,7,-1) \) y \( (x-0,y-0,z-0) \) es \( 0 \). Luego \( (x,y,z) \) varía en el plano que pasa por \( (0,0,0) \) y uno de los vectores normales es \( (2,7,-1) \).

(c) Es una recta de pendiente \( 3 \) y ordenada en el origen \( 5 \).

Saludos.

Cita de: guillem_dlc en 06 Septiembre, 2018, 04:37 pm

Sea \( A\subset \mathbb{R} \) un subconjunto no vacío de números reales. Supongamos que \( A \) está acotado superiormente y sea \( (s_n) \) una sucesión convergente de cotas superiores de \( A \). Probar que el límite de esta sucesión es también una cota superior de \( A \).

Supongamos que \( s=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{s_n} \) no fuera cota superior de \( A. \) Entonces, existiría \( a\in A \) tal que \( s<a. \) Si \( \epsilon=(a-s)/2 \) todos los elementos del intervalo \( (s-\epsilon,s+\epsilon) \) son menores que \( a \) y contiene algún \( s_m \) de la sucesión i.e. \( s_m <a \) y \( s_m \) no sería cota de \( A \) (contradicción).

Muchas gracias por responder. Lo único que no entiendo es la elección de \( \epsilon \) y por qué aquel intervalo contiene algun valor de la sucesión.

Saludos.

gracias , serias tan amable de insertar un dibujo con las variables que introduces
me  perdi con la notación donde aparece "a"

Como que el círculo es tangente a OY, la abscisa del centro coincide con el radio en valor absoluto; y el valor de la Y del centro es el radio más una constante a arbitraria (que será la distancia des de el eje de las abscisas hasta el punto más bajo de la circunferencia. En tu dibujo se ve claramente que a = 8).

Saludos.