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Mensajes - mathtruco

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Teoría de Conjuntos / Re: Conjuntos infinitos
« en: 28 Septiembre, 2020, 04:40 am »
Ahora pensaba que quizás puedo argumentar que tienen la misma cantidad de elementos diciendo que ambos son subconjuntos infinitos de N, y por lo tanto, numerables. ¿Puede ser?

Tu intuición es correcta, todo subconjunto no finito de \( \mathbb{N} \) tiene la misma cardinalidad de \( \mathbb{N} \), ¿te animas a probarlo? (esto es, hallar la función biyectiva \( f:\mathbb{N}\rightarrow A \), donde \( A \) es cualquier subconjunto no finito de \( \mathbb{N} \)).

Entonces, en rigor, no sería correcto decir que hay más raíces cuadradas de naturales que dan irracional que las que dan un resultado natural, ¿estoy en lo correcto?

Correcto.

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Foro general / Re: Linealidad
« en: 27 Septiembre, 2020, 05:38 pm »

Pero la realidad, en general, no es lineal, es más bien caótica y muestra casi siempre fenómenos no lineales como la saturación o el retardo (la histéresis) o la plasticidad de los materiales, y su comportamiento dista mucho de un comportamiento tan sencillo como la linealidad. No será que buscamos la linealidad en los modelos porque son mucho más fáciles de tratar e incluso forzamos la tecnología para que las máquinas funcionen dentro de rangos de trabajo en los que la linealidad es razonable, como el comportamiento elástico de los materiales, evitar la saturación de los materiales, obtención ciclos de histéresis mínimos, etc. Cuando oigo decir que las matemáticas se ajustan bien a la naturaleza de las cosas tengo que sonreir porque no existe probablemente nada más lejos de la realidad que una afirmación como esa. Quizás sea más correcto decir que las matemáticas se ajustan bien a nuestra percepción o incluso que nuestra percepción se ajusta más bien a las matemáticas pero la realidad es otra cosa.

Salu2

No tengo ni idea de cómo se resuelven esos problemas, así que seguramente diré una tontería. Pero supongo que si no se resuelven mediante una aplicación lineal, se resolverán mediante una aplicación multilineal o se podrá usar programación lineal, un simplex o algo así... no sé, porque voy de oído totalmente. Pero algún método matemático habrá, no todo son homomorfismos en matemáticas.

Saludos.

Programación lineal (simplex) y no lineal son para problemas discretos, pero acá las variables son continuas, así que no son aplicables para estos fenómenos.

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Foro general / Re: Linealidad
« en: 27 Septiembre, 2020, 05:09 pm »
Hay fenómenos súper sencillos que no son lineales. Por ejemplo la ecuación que describe la trayectoria de un proyectil. Es bien sabido que es un movimiento parabólico, y nos hace total sentido, además que es muy fácil de demostrar que así es. Y sí, es un modelo sencillo, y puede ajustarse muy bien al fenómeno real. Así que no todo en la naturaleza es extraño o caótico. Sé que podemos añadir al modelo la resitencia del viento, o que la aceleración de gravedad no es constante. Pero si no disparamos el proyectil muy alto está bien considerar la gravedad como constante. Así que sí, las matemáticas se ajustan bien a la naturaleza, todo depende del problema y el ojo de quien hace el modelo.

Ojo que la matemática que se ve en el colegio o universidad están hechas para que el estudiante pueda resolver problemas en lo que dura una evaluación. Esa es matemática de pizarrón.

Hay fenómenos que son no lineales y hay que estudiar como tales, como por ejemplo el comportamiento de la sangre en las arterias (video), con válvulas abriendo y cerrándose, y donde las paredes de los tegidos son todas elásticas. En la universidad verán el caso ideal donde el fluído es laminar (no hay turbulencia) y las paredes son todas rígidas y rectas, como una tubería. Pero insisto que así se ve en la universidad porque no se alcanza a profundizar en nada, todos los cursos son introductorios. Pero cuando hay que estudiar este fenómeno en serio por supuesto que hay que estudiarlo con su complejidad, que en este caso puede ser un fluído no newtoniano descrito por ecuaciones de Navier--Stokes acoplado con ecuaciones de elasticidad (ahí habrá que ver si lineales o no lineales). Quien trabaja con estos modelos debe trabajar con matemáticos debido a su complejidad, y que cualquier linealización no estaría describiendo el problema de interés.

Consideren otros campos, como la glaciología: un glaciar con una o más fracturas. Obs: el glaciar es un fluído que se mueve muy lento. En este caso también tenemos una discontinuidad (velocidad y presión varían a un lado y otro de la grieta), y no tiene sentido estudiar el problema sin dicha fractura. Al ser un fluído que se mueve lento podemos modelarlo con ecuaciones de Stokes (que son lineales) pero la viscocidad dependerá de la velocidad, por lo que sería una ecuación no lineal.

En los cursos de la universidad se trata de actualizar a los estudiantes en todas las herramientas existentes sobre su área. Por supuesto que hay más herramientas en fenómenos lineales, además que son más fáciles de explicar. Pero no nos quedemos con la idea que los problemas reales son tan ideales como un ejemplo clásico visto en un curso o preguntado en una evaluación.

Hay áreas donde la linealización es la única que forma de resolver el problema, pero es una forma muy buena. Por ejemplo, si tenemos un sistema de ecuaciones no lineal, podemos utilizar un método de punto fijo o Newton, y esto consiste en resolver problemas lineales. Es decir, en vez de resolver el problema no lineal, resolvermos problemas lineales, los cuales conocemos muy bien. Y con eso obtenemos una solución tan aproximada como necesitemos de la solución exacta. Esta sería una justificación de porqué se estudian sólo resolución de sistemas de ecuaciones lineales en la universidad.

Es cierto que hay problemas donde "el ojo del investigador" asegura que ciertos problemas no lineales pueden linealizarse, o al menos que el modelo lineal aproxima lo suficiente el fenómeno como para que su solución entregue la información que necesitan. Pero eso ya es otro tema.

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Foro general / Re: Libros de Magister en Matematica
« en: 26 Septiembre, 2020, 01:23 am »
Hola Julio_fmat.

Los textos dependen más del profesor que te toque a el grado. De hecho, según he visto, los cursos de pregrado y posgrado no son muy distintos. La diferencia será que tendrás menos cursos en posgrado, y como se asume una base previa se profundizará más en cada uno, y por tanto se exigirá mayor comprensión, lo que no es igual a que sean más difíciles.

Así que si te quieres preparar para entrar, lo mejor será conseguir los programas de los cursos (a veces están en internet) o preguntar a algún estudiante para que oriente. Pero mi consejo siempre será que es mejor descansar y luego entrar con las pilas bien puestas.

Sobre la nota, también dependerá de la institución. Un 5.0 normalmente se exige como requisito mínimo para que puedas postular a la beca ANID (antes CONICYT), ya que como estos posgrados son de dedicación exclusiva necesitan que los alumnos puedan financiar sus estudios sin trabajar.

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Teoría de números / Re: Contraejemplo inductivo
« en: 10 Septiembre, 2020, 02:37 am »
Hola Julio_fmat, el contraejemplo está bien.

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Teoría de números / Re: Imagen de un polinomio
« en: 09 Septiembre, 2020, 06:40 pm »

 O me estoy perdiendo algo, o además del error en el grado, tampoco veo que esté bien el razonamiento para justificar que \( s_m=r(m) \) para un cierto polinomio \( r(x) \). El número de polinomios que se suma depende de \( m \).


Quizás mal interpreté la pregunta.

Sólo quería explicar que \( s_m \) es un polinomio en la variable \( m \), pero no quise decir que exista un polinomio \( r \) tal que para todo \( m \) se cumpla \( s_m=r(m) \). Efectivamente, para \( m \) distinto \( s_m \) es un polinomio distinto.

Lo que sí podemos concluir es el grado del polinomio \( s_m \) tiene grado 4.

Hola.

Sólo una observación:

si hasta puedes calcular el polinomio resultante (en realidad, uno de ellos, que son infinitos).

¿Seguro que son infinitos? A mí sólo me sale uno. Concretamente éste:

\( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (4n^3-3n^2+2n-1)=4\sum_{n=0}^m n^3-3\sum_{n=0}^m n^2+2\sum_{n=0}^m n-\sum_{n=0}^m1 \)

Tienes razón martiniano, el resultado debe ser único para cada \( m \).

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Teoría de números / Re: Imagen de un polinomio
« en: 08 Septiembre, 2020, 02:54 am »
Con lo explicado anteriormente debes poder responder tu duda. Si no es así, vuelve a leerlo hasta que te convenzas, es muy fácil de responder tu duda, si hasta puedes calcular el polinomio resultante (en realidad, uno de ellos, que son infinitos).

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Teoría de números / Re: Imagen de un polinomio
« en: 07 Septiembre, 2020, 05:34 pm »
Toda la razón martiniano, error mío.

Mi error viene de que, claro que sumar \( m \) polinomios de grado \( n \) dará un polinomio de grado menor o igual a \( n \), pero con esas fórmular uno halla su evaluación en el punto \( m \), que como bien dices puede tener un grado más.

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Foro general / Re: 1 = 0
« en: 07 Septiembre, 2020, 05:23 pm »
En el primero es más sencillo de explicar (aunque el argumento detrás es el mismo).

Spoiler
        \( \left(5-\dfrac{9}{2}\right)^2=\left(4-\dfrac{9}{2}\right)^2 \)

y llega y saca raíz cuadrada, cuando debía aparecer valor absoluto

        \( \left|5-\dfrac{9}{2}\right|=\left|4-\dfrac{9}{2}\right| \)

[cerrar]

Estos son excelentes ejemplos para darle a los estudiantes y comprendan que un paso incorrecto puede arruinar todo lo que viene.

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Teoría de números / Re: Imagen de un polinomio
« en: 06 Septiembre, 2020, 11:46 pm »
Hola Julio_fmat.

Si definimos el polinomio \( q(x)=4x^3-3x^2+2x-1 \), entonces

    \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m q(n) \)

es decir, es la suma de los polinomios \( q(x) \) evaluados en \( n=0,1,2,\dots m \), y como la suma (finita) de polinomios es un polinomio, \( s_m \) es un polinomio evaluado en \( x=m \). Además, como cada uno de estos polinomios tiene grado menor o igual a 3, entonces el polinomio resultante tendrá grado menor o igual a 3 también.

¿Cuál sería este polinomio? Este polinomio evaluado en \( m \) es:

     \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (4n^3-3n^2+2n-1)=4\sum_{n=0}^m n^3-3\sum_{n=0}^m n^2+2\sum_{n=0}^m n-\sum_{n=0}^m1 \)

y esas sumatorias seguro las conoces (son ejercicios típicos que uno demuestra cuando ve el tema de inducción). ¿Puedes concluir desde acá para descubrir el polinomio (evaluaco en \( m \))?


Sugerencia: cuando tengas este tipo de dudas, verifica el enunciado para \( m=1 \), \( m=2 \) y \( m=3 \) (por darte un ejemplo). Sólo una vez que te convenzas en los casos pequeños trata de pensar el problema para un \( m \) cualquiera. Dicho de otro modo, no puedes concluir un resultado en general antes de visualizar casos particulares.

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Matemática Aplicada / Re: COVID-19 explicado por matemáticos
« en: 17 Junio, 2020, 06:25 pm »
Buen dato sugata, revisaré a ver si tiene material al respecto.

Creo que por primera vez los matemáticos no tenemos que andar explicando qué hacemos. Ahora son invitados hasta a matinales (al menos en mi país) a explicar gráficas y datos.

Comparto unos gráficos muy bonitos que hizo un amigo covid19statsvideos. Se alimentan de las bases de datos públicas.


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Estadística / Re: Covid19 y contagio asintomáticos
« en: 17 Junio, 2020, 06:19 pm »
Quizás no entendí bien, pero me parece demasiado ideal.

- habría que hallar una forma confiable, (y barata), y muy sencilla de hacer de modo que no requiera de profesionales para tomarla. Ya que no creo que hayan suficientes profesionales para tomar el test que sea, y no queremos colas en hospitales pidiendo el test.

- hay que recordar que no todos los contagiados se vuelven inmunes, así que habría que hacer la prueba varias veces.

Al menos en Chile se hacen controles en cada supermercado y autopista midiendo la temperatura, y ante la mínima duda te envían al hospital para determinar si tienes el virus. El problema de esto, es que al pillar a un contagiado en la calle, lo más seguro es que ya haya contagiado a otros.

Sumándome a lo que dices, creo que lo más práctico es hacer una cuarentena total por 20 días, con prohibición absoluta de salir, pero con aviso suficiente como para que todos tomen las previsiones. Pero en sociedades como mi país eso es impracticable, como decimos acá, "hecha la ley hecha la trampa", es decir, no importa qué normativa hagan, por cultura trataremos de no cumplirla.

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Estadística / Re: Covid19 y contagio asintomáticos
« en: 17 Junio, 2020, 03:11 pm »
Hola Quema. Sería genial que toda la información que aparece en los medios fuera analizada por científicos para, al menos, disminuir este tipo de interrogantes.

Pero creo que podría haber una explicación más: quizás la tasa de infección de los asintomáticos sea muy baja, lo suficiente como para que con medidas mínimas que creo que todos hemos adquirido en los últimos meses (lavarse las manos, guardar distancia al menos con desconocidos...) no contagien en su entorno, o para que la cantidad de virus que llegue al resto sea tan pequeña que el cuerpo de los nuevos huéspedes pueda defenderse.

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Matemática Aplicada / COVID-19 explicado por matemáticos
« en: 17 Junio, 2020, 02:57 pm »
Hola a todos.

No sé ustedes, pero a mí me tiene bastante aburrido el tema del COVID-19 explicado por gente que repite sin pensar mucho conceptos. Por eso comparto con ustedes la explicación de dos matemáticos sobre el COVID-19 que me pareció muy interesante y pertinente (quizás por ser explicaciones de matemáticos):

Académico de la Facultad de Matemáticas publica artículo: "El pedal acelerador de la epidemia"

y los links a los dos artículos divulgativos (en español) que tienen sobre el tema. Son cortitos y fáciles de digerir.

    http://www.mat.uc.cl/~hector.pasten/preprints/Re.pdf
    http://www.mat.uc.cl/~hector.pasten/preprints/TasaColor.pdf

Sobre los autores, Jorge es matemático aplicado con doctorado en el área de ciencias sociales, y Héctor es uno de los matemáticos (puros) más prominentes que tiene el país. Una mezcla idónea para divulgar este tema.

Espero los disfruten.

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Relacionado con lo que dice Quema, en una empresa donde hice una práctica profesional, el problema consistía en un problema de optimización. Unas de las primeras cosas que me dejaron en claro es que la empresa prefería pagar más por la licencia de un software que resolviera las cuentas a arriesgarse a que uno creara uno. El trabajo matemático era justamente el modelo e interpretación.

También creo que las universidades se están quedando al debe en la aplicación de las matemáticas. Obviamente, sólo puedo hablar de las poquísimas que conozco en Chile, un país desarrollado. Por supuesto que un alumno excepcional podrá aplicar lo aprendido en clase en la vida real, pero un alumno promedio no verá mayor aplicabilidad de las derivadas e integrales. También creo que podría hacerse una reestructuración,y que no sería tan complicada. No al punto de eliminar toda matemática, sino de conectarla con el uso de computadores.

No sé si es igual en todos lados, pero acá un alumno de biología marina ve prácticamente la misma "matemática 1" que alguien que estudia ciencias políticas. La aplicación es muy muy poca. Pero para el profe, como el programa del curso es similar, copia el curso casi idénticamente. Y apostaría a que dicta el mismo curso que se dictaba hace 40 años. ¿Será igual en países desarrollados?

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Hola ferbad.

Como \( n=4 \), la Sumas de Rienmann son

    \( \Delta x_1 f(c_1)+\Delta x_2 f(c_2)+\Delta x_3 f(c_3)+\Delta x_4 f(c_4) \)

pero como acá el intervalo es equiespaciado, \( \Delta x_i=(2-1)/4=\dfrac{1}{4}=1.25 \), para \( i=1,2,3,4 \), y así las Sumas de Rienmann son

    \( 0.25( f(c_1)+\Delta x_2 f(c_2)+\Delta x_3 f(c_3)+\Delta x_4 f(c_4)) \)

Definimos además,

    \( x_0=a=1 \)
    \( x_1=a+\Delta x=1.25 \)
    \( x_2=a+2\Delta x=1.5 \)
    \( x_3=a+3\Delta x=1.75 \)
    \( x_4=b=2 \)

y \( c_1\in [1,1.25] \),  \( c_2\in [1.25,1.5] \),  \( c_3\in [1.5,1.75] \)   y   \( c_4\in [1.75,2] \).

Eres libre elegir los \( c_i \) dentro de esos intervalos. Para la Suma Inferior de Rienmann eliges \( c_i \) donde la función alcanza su mínimo en \( [x_{i-1},x_i] \). En este caso, como la función es creciente en \( [0,1] \) alcanza su mínimo en los extremos izquierdos de cada subintervalo, y por eso la Suma Inferior queda

        \( 0.25(f(1)+f(1.25)+ f(1.5)+f(1.75)) \)

y como en la Suma Superior eliges los valores de \( c_i \) donde la función alcanza su máximo en \( [x_{i-1},x_i] \), como la función es creciente en [1,2] la Suma Superior es

        \( 0.25(f(1.25)+ f(1.5)+f(1.75)+f(2)) \)

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Hola follonic, ¿para qué necesitas hacer esto?

Cuando uno escribe \( z=f(x,y) \) está pensando en una gráfica en el espacio, los puntos \( (x,y,f(x,y)) \).

Podrías escribir también

    \( f(x,y)=(x-h)^2+(y-k)^2-r^2 \)

y la circunferencia será los \( (x,y) \) tales que \( f(x,y)=0 \), pero no veo bien para qué usarías esto.

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Estoy muy de acuerdo contigo. Para mí, junto con aprender matrices habría que tener un taller de algún software, preferentemente un software libre como octave o scilab. Ojo que los estudiantes no tendrían porqué saber programar, y de a poco se familiciarían con sofware profesional, evitando usar photomat o cualquier web. Quizás con una hora de taller semanal estaría perfecto.

Esto permitiría enfocarse más en analizar problemas que en cuentas. Al igual como ya no se exige dividir números gigantes ni calcular raíces a mano, ni utilizar tablas de logaritmos (para qué, si uno siempre usará una calculadora). También habría que tener evaluaciones de taller. Pero esto no evita que aprendan a dividir, pero sí evitar que gasten tanto tiempo en cálculos extenuantes.

He escuchado muchas veces a profesores decir que tal problema hay que hacerlo más difícil, con más cuentas, sólo para que a los alumnos se les haga más difícil y que no todos los tengan buenos. Yo estoy siempre en desacuerdo de hacer más difíciles los problemas sólo por este motivo.

Luego, en un curso de cálculo numérico (que preferiría bautizar como cálculo científico) se explicaría más sobre técnicas y software. ¿Por qué cambiaría el nombre? Porque cálculo numérico continúa siendo demasiado teórico, y yo creo que debiera ser más práctico. Es decir, aprender realmente a usar el pc como una poderosa calculadora, y no sólo resolver problemas teóricos.

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Métodos Numéricos / Re: Ajuste mínimos cuadrados
« en: 25 Mayo, 2020, 04:15 pm »
Hola Bobby Fischer.

No revisé el código completo, pero como pides consejos te doy el siguiente: evita al máximo los ciclos en matlab. Es bien sabido que funcionan muy lento.

Por ejemplo,

Código: [Seleccionar]
vx=zeros(length(x),1);
vy=vx;

for i=1:length(x)
    vx(i)=x(i);
    vy(i)=y(i);
end

usa

Código: [Seleccionar]
vx=[x ; 0]; % teniendo cuidado si es traspuesta o no
vy=[y ; 0];

Creo que el otro ciclo también puedes evitarlo.

80
Hola, estoy bastante de acuerdo con Quema. Aunque el tema de la enseñanza preuniversitaria es delicada, y podría sólo opinar desde mi ignorancia (no sé nada de pedagogía). Creo que en primaria y secundaria además de aprender la materia aprenden a aprender, y no todo debe ser aplicable.

Supongo que, antes de hacer problemas aplicados, hay que enseñar las operaciones. Eso se enseña de a poco, cada año profundizando un poco más. Así que habrá siempre mucha operatoria sin objetivo inicial claro (aprender a sumar, fracciones, dividir, multiplicar, despejar una x...).

En una escuela de fútbol los tendrán a todos haciendo sentadillas, corriendo y haciendo abdominales, porque es fundamental para jugar bien con la pelota. Ese debiera ser el objetivo de los "ejercicios" en matemática, adquirir destreza, la cual se adquiere con práctica. Y no se puede pretender que alguien modele un problema sin saber conceptos intermedios.

Pero hay que re-pensar los programas de los cursos, e ir enseñando nuevas tecnologías disponibles de manera formal. Los alumnos llegan a la universidad a penas sabiendo usar whatsapp, sin siquiera saber editar una foto con su celular. No estoy exajerando, esta nueva generación es más ignorante en tecnología que las pasadas, porque está totalmente convencida que sabe usar la tecnología, nosotros al menos sabíamos que no sabíamos. Ahora, si el programa no es sólo instalar y sacar una foto, y si no hay video de youtube en español explicando justo lo que necesita no sabe qué hacer.

Hay que repensar los cursos, sin duda. El problema, al menos en Chile, es hay demasiadas pruebas estandarizadas (en cuarto y octavo de primaria, y luego en último año de secundaria, la prueba de ingreso a la universidad). Así que los profesores están enfocados en enseñar lo que se pregunte en esas pruebas. En un mundo ideal, si tuvieran más libertad de cátedra podrían hacer algún cambio. Al menos en la universidad no hay tanta excusa, ya que hay libertad de cátedra y normalmente los profesores tienen voz para actualizar los programas de los cursos.

Pero sin saber lo básico no podrán aplicar nada, a menos que crean en la absoluta palabra de su profe.

Yo creo que una forma de solucionar esto en la universidad es crear el material estándar básico (pdf y videos con definiciones y propiedades, con lindos gráficos). Y que los estudiantes deban verlos ANTES de la clase. Y que la clase sea sólo para resolver sus dudas, y luego conversar sobre aplicaciones. Creo que no es imposible de conseguir, pero se requeriría apoyo de profesionales audiovisuales. Con esto los profes se evitarían escribir en la pizarra todos los años la misma definición y los mismos ejemplos. En esas clases a la mayoría de los alumnos no le surgen dudas, porque recién están viendo la materia, así que el tiempo es en su mayoría perdido, tanto para alumnos como profesores.

En cambio si los alumnos llegaran con algo estudiado, y las clases con el profe fueran de la mitad de las horas, sólo para aplicar cosas, sería más interesante para alumnos y profes.

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