Interensante lo que ahora quiero probar con ese mismo metodo es que es que
\( A_n:\left\{{\displaystyle\frac{m}{n}},m \in \mathbb{N}\right\},n \in \mathbb{N} \)
\( \displaystyle\limsup_{n \to {\infty}}A_n=\mathbb{Q} \) pero no hayo como escribirla de forma formal sin que aparezca forzado
Yo voy asi
\( A_1=\mathbb{N} \)
\( A_2=\left\{{\displaystyle\frac{1}{2}},1,\displaystyle\frac{3}{2},2,..\right\} \)
\( A_3=\left\{{\displaystyle\frac{1}{3}},\displaystyle\frac{2}{3},1,...\right\} \)
\( \Rightarrow \)

\( \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k=A_1\cup A_2\cup...=\mathbb{Q} \)
\( \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k=A_2\cup A_3...=? \) y es acá donde me quede estancando no hayo el argumento para decir que es \( \mathbb{Q} \) ñara todos lo n cuando tiende al infinito

Hola amigos espero que esten bien de salud en estos momentos dificiles para todos los paises
Tengo una consulta si habria alguien que en estos dias de cuarentena tenga la disposición de compartir con nosotros conocimientos sobre programacion estadistica haber a ver si nos puede dar una video charla en la aplicacion de zoom

Título corregido por la administración.

Una variable aleatoria tiene como función de densidad
\( f(x) = e^{ −x} ,x≥0 \)
Para muestras de tamaño 7, se pide hallar la distribución del menor valor, de la mediana y
la del recorrido.

gracias espero su orientación amigos

Cita de: YeffGC en 15 Marzo, 2020, 12:45 am

ya arregle el contexto Masacroso te agradeceria mucho si me dijieras si es falsa o verdadera o si solo para este caso es verdadero

De la definición de límite inferior tenemos que

\( \displaystyle{
x\in \liminf_{n\to \infty }(A_n\cup B_n)\iff \exists N\in \mathbb N ,\forall n\geqslant N:x\in (A_n\cup B_n)\tag1
} \)

Entonces \( x \) pertenece o a una subsucesión de \( (B_n) \) o a una subsucesión de \( (A_n) \), por tanto utilizando la definición de límite superior eso equivale a que pertenece al límite superior de alguna de las sucesiones de conjuntos. Como el límite de una sucesión de conjuntos cuando existe es igual al límite superior y al límite inferior entonces tenemos que

\( \displaystyle{
\liminf_{n\to \infty }(A_n\cup B_n)\subset (\liminf_{n\to \infty }A_n)\cup (\lim_{n\to \infty }B_n)\tag2
} \)

La inclusión en la otra dirección es trivial ya que si \( x\in \liminf_{n\to \infty }A_n \) ó \( x\in \lim_{n\to \infty }B_n \) entonces, de la definición de límite inferior, tenemos que existe un \( N\in \mathbb N  \) tal que \( x\in A_n \) ó \( x\in B_n \) para todo \( n\geqslant N \), que es lo mismo que decir que \( x\in (A_n\cup B_n) \) para todo \( n\geqslant N \), y por tanto por definición pertenece al límite inferior de \( (A_n\cup B_n) \).

gracias se lo juro justamente esa es la qie dudaba.pero cuando no es cierto esta inclusion?

Hola amigo si les suplico su ayuda ya no se que hacer no puedo argumentar bien , ni resolver este problema  espero su comprensión y ayuda

\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow{\infty}}{A_n}=A \) y \( \displaystyle\lim_{n \rightarrow{\infty}}{B_n}=B \)
\( \displaystyle\liminf _{n\rightarrow{\infty}}{A_n\cup{B_n}=\displaystyle\liminf _{n\rightarrow{\infty}}{A_n}}\cup{\displaystyle\lim_{n\rightarrow{\infty}}{B_n}} \)

Hola amigos he resuelto un ejercicio pero no se si he redundado pasos para concluir he buscado la solución para compararla y nada espero que puedan encontrar mi error:

Si \( \displaystyle\lim_{n \rightarrow{\infty}}{A_n}=A \) y \( \displaystyle\lim_{n \rightarrow{\infty}}{B_n}=B \) demostrar que
\( \displaystyle\lim_{n \rightarrow{\infty}}{A_n\cup{B_n}}=A\cup{B} \)

Demostración:
Si \( \displaystyle\lim_{n \rightarrow{\infty}}{A_n}=A \) y y \( \displaystyle\lim_{n \rightarrow{\infty}}{B_n}=B \) existen verificamos que

\( \displaystyle\limsup_{n \rightarrow{\infty}}{A_n}=\displaystyle\liminf_{n \rightarrow{\infty}}{A_n}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow{\infty}}{A_n}=A \)

\( \displaystyle\limsup_{n \rightarrow{\infty}}{B_n}=\displaystyle\liminf_{n \rightarrow{\infty}}{B_n}=\displaystyle\lim_{n \rightarrow{\infty}}{B_n}=B \)

 Ahora voy a proceder a hacer uniones de las igualdades y debo demostrar que

\( \displaystyle\limsup_{n \rightarrow{\infty}}{A_n}\cup{\displaystyle\limsup_{n \rightarrow{\infty}}{B_n}}= \displaystyle\limsup_{n \rightarrow{\infty}}{(A_n\cup{B_n})}  \)  Esto lo probe ocupando doble inclusión y es parte de otro problema asi que no incluyo su demostracion

Verificamos que es cierto
Ahora falta ver si

\( \displaystyle\liminf_{n \rightarrow{\infty}}{A_n}\cup{ \displaystyle\limsup_{n \rightarrow{\infty}}{B_n}}=\displaystyle\limsup_{n \rightarrow{\infty}}{(A_n\cup{B_n})} \)

Procedo a demostrar
si   \( \supset{} \)

Se \(  x_0 \in{\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\bigcap_{k\geq{n}}{A_k\cup{B_n}}}} \)


\( \Longleftrightarrow{} \)  \( \exists{n_0} \textrm{tal que}   x_0  \in{\displaystyle\bigcap_{k\geq{n_0}}{A_k\cup{B_n}}} \)

\( \Longleftrightarrow{}  \)\( \exists{k_0} , x_0 \in {A_{k_0}\cup{B_{k_0}}} \) 

\( \Longleftrightarrow{} x_0 \in {A_{k_0}}\vee x_0 \in{B_{k_0}} \)
Ojo
\( \Rightarrow{} x_0 \not\in{\displaystyle\bigcap_{k\geq{n}A_k}} \wedge x_0 \not\in{\displaystyle\bigcap_{k\geq{n}B_k}}  \) en este punto yo asumo que no puedo infererir si pertenece exclusivamente a unos pocos por esa razon digo que no pertenece esta bien como voy?

Gracias    en lo personal estaba intentandolo con la funcion caracteristica\( \mathbb{1}_n \) y el teorema pero muy buena la demostración
\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow{\infty}}sup A_n=\left\{{\omega \in{\Omega}:\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{1}_n=+\infty}\right\} \) y de aca seguir

Hola que tal amigos estoy llevando un curso de probabilidad y debo resolver un ejercicio del libro de Resnick y me he hecho bolas queriendo resolverlo dice asi

Si \( f_n \),\( f \) son funciones reales sobre \( \Omega \) demuestre que:
\( \left\{{\omega:f_n(\omega)\nrightarrow{f(\omega)}}\right\}=\displaystyle\cup ^{\infty}_{k=1}{\cap ^{\infty}_{N=1}{\cup ^{\infty}_{n=N}{\left\{{\omega:\left |{f_n(\omega)-f(\omega)}\right |\geq{\displaystyle\frac{1}{k}}}\right  \}}}} \)
Perdonen la escritura alguna idea

  felicidades yo llevare "fundamentos de la probabilidad"  se ve dificil

Solamente no entiendo los divisible por 7