Estaría bien que dijeras qué tipo de explicaciones buscas sobre la distribución de Cantor.
Si es la definición, ya te ha contestado Masacroso.

es sobre su construcion  y momentos de orden

Una manera es partir de la densidad conjunta de los estadísticos de orden, que en general es (para distribuciones absolutamente continuas, de manera que tenga sentido hablar de densidad):
\( f(x_1,\dots,x_n)=n!f(x_1)f(x_2) \dots f(x_n)I(x_1<x_2<\dots<x_n) \).
(\( I \) representa función indicatriz.)

Particularizando para el caso exponencial tienes:
\( f(x_1,\dots,x_n)= n!\lambda^ne^{-\lambda(x_1+\dots+x_n)}I(0<x_1<\dots<x_n) \).

Ahora puedes hacer el cambio de \( (E_1,E_2, \dots, E_n) \) a \( (E_1, E_2-E_1, \dots, E_n-E_{n-1}) \), que corresponde a poner \( x_1=t_1, x_2=t_2+t_1, x_3=t_3+t_2+t_1, \dots, x_n=t_n + t_{n-1} + \dots + t_1 \).
Basta con que hagas el cambio en la densidad de arriba (el jacobiano es uno, así que es simplemente sustituir) y te fijes que ahora los \( t_i \) varían independientemente (únicamente están restringidos a la condición \( t_i>0 \)). Si sustituyes obtendrás la función de densidad conjunta de las variables aleatorias que te interesan y puedes identificar directamente las distribuciones marginales y ver que son independientes (porque la función de densidad conjunta coincide con el producto de las marginales).

No he definido densidad aun 

Supongamos que \( E_1 \ldots E_n \) son variables aleatorias distribuidas exponencialmente con el parámetro \(  \lambda >0 \) para que
\( P \left[E_1 \leq{ x}   \right] = 1-e^{-\lambda x}, x>0  \)

sea
\( E_{1,n}\leq{E_{2,n}}\leq \ldots \leq{E_{n,n}} \)

son estadísticas de orden. probar los n espacios

\( E_{1,n},E_{2,n}-E_{1,n},\ldots, E_{n,n}-E_{n-1,n} \)

son variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente donde \( E_{k+1,n}-E_{k,n} \) tiene parámetro \( (n-k) \lambda \) Intuitivamente, esto resulta del olvido
propiedad de la distribución exponencial.


espero su ayuda esta muy dificil

Hola se me asignado el siguiente problema:

Suponga \( \left\{{A_n}\right\} \) son eventos independientes que sastifascen \(  P \left(A_n \right) <1 \), para todo n. mostrar
$$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)=1 \Leftrightarrow P \left( \limsup_{n \to \infty}A_n\right)=1$$

el problema es en la implicación del regreso
 
$$P \left( \limsup_{n \to \infty}A_n\right)=1 \Rightarrow{ P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)=1}$$

yo he estado pensándolo de manera de usar la definición de \( \limsup \) de esta manera:

\( P \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k \geq n} A_n \right)=1 \)

de acá tengo dos posibilidades

1) ocupar \( \bigcap_{n=1}^{\infty}P \left( \bigcup_{k \geq n}A_n \right)=1 \) pero no sé como seguir

2) demostrar que \( A_n \) puede ser creciente pero ese lo descarto

alguna idea con lo que he dicho u otra nueva

Hola lo que me trae acá esta vez es para corregir un error conceptual en un libro lei el termino \( \sigma- \)álgebras independientes pero he visto unos comentarios que dicha aseveración esta equivocada ya que las sigma álgebras no tienen esa  propiedad sino las medidas.

¿Dicha aseveración  es cierta ?
Renisk ocupa algo llamado criterio básico 

Hola macroso solo una duda porque aca dices que:

Las composiciones de funciones medibles son medibles.

Pero revisando
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_medible
Son medibles solo si comparten codominio

Pues te la explico representa que una función es medible asi:
\( X:\Omega \to \Omega' \)
\( X \in \mathcal{B}/\mathcal{B'}  \)
Es equivalente a

\( X: (\Omega, \mathcal{B}) \to (\Omega',\mathcal{B')} \)

he tratado de hacer este ejercicio pero la notación que utiliza el libro de Resnick es muy confusa
Suponga
\(  f :\mathbb{R}^k \to \mathbb{R} \)  y \( f \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^k)/ \mathcal{B}(\mathbb{R}) \)

se \( X_1,X_2, \ldots, X_k \) son variables aleatorias en \(  \left( \Omega, \mathcal{B}\right) \) probar que

\( f\left(X_1,X_2,\ldots,X_k\right) \in \sigma \left( X_1,X_2,\ldots,X_k \right) \).

según el libro la notación significa que es medible en \(  \sigma \left( X_1,X_2,\ldots,X_k \right)/ ?? \). no conozco el dominio por esa razón no puedo ocupar el test de medibilidad podrían decirme que es lo que lleva donde están los signos de interrogación al parecer \( f \circ\left\{{X_1,X_2,\ldots ,X_k}\right\}  \)

Título cambiado:
funcion -->función
distribucion --> distribución

Podrían orientarme en alguna idea como resolver este ejercicio la notación es algo no habitual

Si \(  X \) e\(  Y \) son variables aleatorias en \(  (\Omega, \mathcal{B}) \), muestre que

\(  \displaystyle\sup_{A \in \mathcal{B}}| P \left[ X \in A \right]-P \left[ Y \in A \right] |\leq P \left[ X \neq Y \right]  \)

gracias si ya comprendo