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Mensajes - avmath

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Lugar Geométrico
« en: 15 Julio, 2014, 10:36 pm »
Hola primero de todo, quisiese disculparme si el problema no está bien resuelto o no tengo ni idea, dado que me considero un completo ignorante en esto. Además acepto críticas si mi lenguaje no es lo suficientemente riguroso para este foro. Allá va:

Problema Sean \( P_{1}=\left(2,4\right) \) y \( P_{2}=\left(5,-3\right) \). Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano \( P=\left(x,y\right) \) tales que la pendiente de la recta que pasa por los puntos \( P \) y \( P_{1} \) es igual a la pendiente de la recta que contiene a los puntos \( P \) y\(  P_{2} \) mas la unidad.

Sabiendo que la ecuación de una recta en un espacio \( \mathbb{R}^{2} \) es:
\( y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right) \)
Siendo el punto \( P=\left(x_{0},y_{0}\right) \) y \( m \) la pendiente de dicha recta.

Hallemos la recta \( r \) que pasa por \( P \) y \( P_{1} \) :

\( y-4=m_{1}\left(x-2\right) \)         (1)

Hallemos la recta \( s \) que pasa por \( P \) y\(  P_{2} \):

\( y+3=m_{2}\left(x-5\right) \)         (2)

Sabemos por el enunciado del problema que la pendiente de la recta \( r \) es igual a la de la recta \( s \) más la unidad así que:

\( m_{1}=m_{2}+1 \)         (3)

Pero despejando de (1) obtenemos que:

\( m_{1}=\frac{y-4}{x-2} \)

Y despejando de (2) que:

\( m_{2}=\frac{y+3}{x-5} \)

Por tanto sustituyendo en (3) tenemos que:

\(
\frac{y-4}{x-2}=\frac{y+3}{x-5}+1 \)



Resolviendo:
\( \frac{y-4}{x-2}=\frac{y+x-2}{x-5} \)
\( \left(x-5\right)\left(y-4\right)=\left(x-2\right)\left(y+x-2\right) \)
\( xy-4x-5y+20=xy+x^{2}-2x-2y-2x+4 \)
\( \cancel{xy}\cancel{-4x}-5y+20=\cancel{xy}+x^{2}\cancel{-2x}-2y\cancel{-2x}+4 \)
\( -5y+20=x^{2}-2y+4 \)
\( -3y=x^{2}-16 \)
\( y=-\frac{x^{2}-16}{3}=\frac{16-x^{2}}{3} \)
Por tanto el espacio geométrico del plano que cumple las condiciones dadas en
el problema son los puntos:

\( P=\left(x\:,\:\frac{16-x^{2}}{3}\right)\qquad\forall x\in\mathbb{R} \)

¡Un saludo!

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Buenas noches, soy nuevo en el foro y me he inscrito primero porque me encantan las matemáticas y segundo por el tema del título. Os pongo en situación, acabo de terminar Bachillerato y aprobar Selectividad y por temas económicos no he podido cursar un Doble grado en Ingeniería Informática + Matemáticas, dado que en mi Universidad no hay ese doble grado sino estos grados por separado y que dicho doble grado se encuentra en una Universidad de otra provincia.

Aunque mi interés por los dos ámbitos es equitativo me decidí por Ingeniería Informática en la cual no se finalizan mis estudios de matemáticas, pero no hay la cantidad de temario que hay en el Grado de Matemáticas obviamente. Por ello, sabiendo que aquí habrá personas que puedan orientarme y dado la amplitud de temas en Matemáticas, quisiera que me pudiesen dar una breve orientación acerca de en qué seguir instruyéndome.

¡Un saludo a todos!

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