Hola
Buenas noches estimados: Tengo dudas para resolver el siguiente ejercicio:
\( \textrm{La función f satisface} \displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt[ ]{f(x)}}=xe^{2x}\textrm{ y } f(0)=\displaystyle\frac{1}{16} \)
No me doy cuenta para resolver el ejercicio, necesito alguna ayuda! saludos cordiales!
...
A ver, es una ecuación diferencial de variables separables, si integramos a ambos lados
\( \displaystyle\int\frac{y'}{\sqrt[ ]{y}}dy=\int xe^{2x}dx \)
\[ 2\sqrt{y}=\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x-1)+c \]
Para x=0 tenemos \[ y=\dfrac{1}{16} \] Con esto calculamos c
Sustituimos estas condiciones iniciales
\[ 2\sqrt{\frac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}e^{2(0)}(2(0)-1)+c \]
\[ =2\frac{1}{4}=\dfrac{1}{4}e^{2(0)}(2(0)-1)+c \]
\[ =\frac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}+c \]
\[ \Rightarrow{c=\dfrac{3}{4}} \]
Por lo que nos queda la ecuación
\[ 2\sqrt{y}=\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x-1)+\dfrac{3}{4} \]
Saludos