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Mensajes - cristianoceli

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61
Hola

 En general tienes que:

\(  d_\delta(x,y)=\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right|=d_{usual}(1/x,1/y) \)

 Por tanto la sucesión \( x_n \) es de Cauchy (respect. convergente) con la métrica \( \delta \) si y sólo es de Cauchy (respect. convergente) con la métrica usual.

Saludos.

Ya muchas gracias, ahora si.


Saludos

62
Hola

Hola estaba estudiando y tengo problemas con este ejercicio

EN \( M=(0, \infty) \) conideremos la métrica usual \( d. \) Además defina \( M \),  la métrica \( \delta  \) por:

$$\delta(x,y) =  |\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{y} |, x,y \in (0, \infty)$$

Pruebe que \( M \) no es completo ni para  \( d \)  y \(  \delta \).Pruebe que \( A:=(0,1]  \) es completo para  \( \delta \) pero no para \(  d \)

Lo que he hecho:
Tengo que ver que la sucesion de Cuachy no es convergente
 
$$|x_n-x_m | = |\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{y} |$$

pero no se como probar esto.

Para ver que NO son completos tienes que dar sucesiones de Cauchy que no sean convergentes.

En \( (0,+\infty) \) con la métrica usual toma la sucesión \( x_n=\dfrac{1}{n} \).

En \( (0,+\infty) \) con la métrica \( \delta \) toma la sucesión \( x_n=n \).

Para manipular la métrica \( \delta \) te será útil tener en cuenta que:

\( d_\delta(a,b)=d_{usual}(1/a,1/b) \)

O en otras palabras\(  f:(M,d_{usual}))\to (M\delta),\quad f(x)=1/x \) es un isomorfismo isométrico.

Saludos.

Me cuesta manipular la metrica  \( \delta \) no consigo llegar.

Saludos

63
Análisis Matemático / Re: Demostrar que el conjunto es cerrado
« en: 23 Abril, 2021, 10:54 pm »
Hola

Hola tengo dudas con este ejercicio

Sean \( (M,d) \) ,\( (N,\bar{d}) \) dos espacios métricos. Sean \( f,g:M\rightarrow{N} \) funciones continuas. Sea \( A=\{ x \in M: f(x)=f(y) \} \) y \( S \) subconjunto denso en \( M \)

 Demuestre que \( A \) es cerrado y que si \( f(x)=f(y) \forall x\in S, \; entonces \; A=M \)

Primero tengo que ver que si es cerrado es igual a su clausura no se muy bien como hacerlo y para este punto \( f(x)=f(y)  \) de aqui solo puedo concluir que la función es inyectiva.

De antemano gracias

Revisa el enunciado. Yo creo que es:

\( A=\{ x \in M: f(x)\color{red}=g(x)\color{black} \} \)

Tienes que ver que si \( \{x_n\}\to x \) en \( M \) y \( x_n\in A \) (para todo \( n\in \Bbb N \)) entonces \( x\in A \).

Ahora como \( x_n\in A \) tienes que \( f(x_n)=g(y_n) \). Como ambas funciones son continuas son secuencialmente continuas:

\( \{f(x_n)\}\to f(x),\qquad \{g(x_n)\}\to g(x)  \)

y por tanto como \( f(x_n)=g(y_n) \), entonces \( f(x)=g(x) \) y así \( x\in A \).

La segunda parte igualmente creo que debería de decir:

 si \( f(x)=\color{red}g(x)\color{black} \forall x\in S, \; entonces \; A=M \)

Y es inmediata usando la densidad de \( S \), que \( S\subset A \) y que \( A \) es cerrado.

Saludos.

Toda la razon error de tipeo.

muy claro por cierto. Lo edito altiro.

Saludos

64
Hola estaba estudiando y tengo problemas con este ejercicio

EN \( M=(0, \infty) \) conideremos la métrica usual \( d. \) Además defina \( M \),  la métrica \( \delta  \) por:

$$\delta(x,y) =  |\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{y} |, x,y \in (0, \infty)$$

Pruebe que \( M \) no es completo ni para  \( d \)  y \(  \delta \).Pruebe que \( A:=(0,1]  \) es completo para  \( \delta \) pero no para \(  d \)

Lo que he hecho:
Tengo que ver que la sucesion de Cuachy no es convergente
 
$$|x_n-x_m | = |\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{y} |$$

pero no se como probar esto.

Saludos

65
Análisis Matemático / Demostrar que el conjunto es cerrado
« en: 23 Abril, 2021, 09:40 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio

Sean \( (M,d) \) ,\( (N,\bar{d}) \) dos espacios métricos. Sean \( f,g:M\rightarrow{N} \) funciones continuas. Sea \( A=\{ x \in M: f(x)=f(x) \} \) y \( S \) subconjunto denso en \( M \)

 Demuestre que \( A \) es cerrado y que si \( f(x)=f(x) \forall x\in S, \; entonces \; A=M \)

Primero tengo que ver que si es cerrado es igual a su clausura no se muy bien como hacerlo y para este punto \( f(x)=f(y)  \) de aqui solo puedo concluir que la función es inyectiva.

De antemano gracias

Saludos


66
Hola

Considere la sucesión \( f_n(t) \; en \; C[-1,1] \) definida

$$f_n(t) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{si }-1 \leq{} t  \leq{}  0
\\ nt, & \mbox{si } 0 < t  < 1/n \\ 1 & \mbox{si }1/n \leq{} t \leq{} 1\end{matrix}\right. $$

En \( C[0,1] \) ponga la metrica integral \( d(f,g) \) definida

$$d(f,g) = \displaystyle\int_{-1}^{1} |f(t) - g(t)|^2 dt$$

Demuestre que \( f_n \) es sucesión de Cauchy $C[0,1]$ no convergente

No se si quieres decir en \( C[0,1] \) o en \( C[-1,1] \). Aunque dado que las funciones se anulan en \( [-1,0] \) no hay diferencia.

Además a la métrica o le sobra el cuadrado o le falta la raíz cuadrada:

\( d(f,g) =\color{red}\left( \displaystyle\int_{-1}^{1} |f(t) - g(t)|^2 dt\right)^{1/2}\color{black} \)

Para ver que es de Cauchy ten en cuenta que dados \( n\geq m \) la diferencia \( |f_n(x)-f_m(x)| \) es nula excepto en \( (0,1/m) \). En ese entorno dado que las dos funciones toman valores en \( [0,1] \) la diferencia está acotada superiomente por \( 1 \). Por tanto:

\( d(f_n,f_m)^2=\displaystyle\int_{-1}^{1}|f_n(x)-f_m(x)|^2dx=\displaystyle\int_{0}^{1/m}|f_n(x)-f_m(x)|^2dx\leq \displaystyle\int_{0}^{1/m}1dx=\dfrac{1}{m} \)

Para la NO convergencia, ten en cuenta que si existiese límite tendría que coincidir con el límite puntual, pero este no es continuo.

Un gráfico de las funciones.


Saludos.

Muy claro muchas gracias

67
Hola tengo dudas con este ejercicio no se como atacarlo:

Considere la sucesión \( f_n(t) \; en \; C[-1,1] \) definida

$$f_n(t) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{si }-1 \leq{} t  \leq{}  0
\\ nt, & \mbox{si } 0 < t  < 1/n \\ 1 & \mbox{si }1/n \leq{} t \leq{} 1\end{matrix}\right. $$

En \( C[0,1] \) ponga la metrica integral \( d(f,g) \) definida

$$d(f,g) = \displaystyle\int_{-1}^{1} |f(t) - g(t)|^2 dt$$

Demuestre que \( f_n \) es sucesión de Cauchy $C[0,1]$ no convergente

De antemano gracias

68
Estructuras algebraicas / Re: Homomorfismo trivial
« en: 22 Abril, 2021, 04:17 pm »
    Si \( f:\mathbb{Z}_{10}\to \mathbb{Z}_8 \) es homomorfismo de grupos, entonces

        \( f(\bar{1})=k\bar{1} \) con \( 0\le k \le 7. \)

Como  \( f(\bar{0})=\bar{0} \) se ha de verificar \( 10k\text{ (mod 8)}=0\text{ (mod 8)} \). Tenemos,

        \( 10k\text{ (mod 8)}=0\text{ (mod 8)}\Rightarrow 8\mid 10k\Rightarrow 4\mid 5k\Rightarrow 4\mid k\Rightarrow k=0\text{ o }k=4 \).

Solamente hay dos posibles homomorfismos:

        \( f(\bar{1})=0\bar{1}=\bar{0} \) (que es el homomorfismo trivial),
        \( g(\bar{1})=4\bar{1}=\bar{4} \).

Intenta demostrar si \( g \) es o no homomorfismo.

Muy claro muchas gracias,

Saludos

69
Estructuras algebraicas / Re: Homomorfismo trivial
« en: 21 Abril, 2021, 06:07 pm »
Para un entero \( n> 1 \) denotemos \( Z_n \) el grupo ciclico de orden\(  n \)
a) Pruebe que todo homomorfismo \( Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es trivial

Si \( G \) es un grupo cíclico y \( \phi:G\to G^\prime \) un homomorfismo de grupos, el homomorfismo queda determinado dando el transformado de un generador de \( G \). Si existiera un homomorfismo de grupos no trivial \( \phi: \mathbb{Z}_{10}\to \mathbb{Z}_9 \), entonces \( \phi (1)=g\ne 0 \). Pero \( 0=\phi (10)=10g=1g=g \), lo cual es absurdo.

Veamos si lo anterior te da la idea para la segunda parte.

Entiendo que un homomorfismo del grupo cíclico \( Z_m \)en cualquier otro grupo está determinado por el transformado del genrador como tu me explicaste Entonces el generador debe enviarse a un elemento cuyo orden divida \( m \).

En este caso debo buscar \( MCD(10,8)=2 \) si no he entendido mal no veo cuales son son

Saludos

70
Estructuras algebraicas / Homomorfismo trivial
« en: 21 Abril, 2021, 05:07 pm »
Hola estaba estudiando y me surgió esta duda en este ejercicio:

Hola tengo problemas con este ejercicio:

Para un entero \( n> 1 \) denotemos \( Z_n \) el grupo cíclico de orden \( n \)

a) Pruebe que todo homomorfismo \( Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es trivial
b) Encuentre todos los homomorfismos de grupo \(  f: Z_{10}  \longrightarrow Z_8 \)

Lo que he hecho:

a) Tenemos que \( f: Z_{10}  \longrightarrow Z_9 \) es un homomorfismo \(  f(x) =1 \) pero no se como justificarlo mejor.

b) No se muy bien como encontrarlo.

De antemano gracias.

71
Muchas gracias. Lo intentaré si tengo dudas pregunto

72
Hola tengo dudas con este ejercicio:

Sea \( G \) un grupo abeliano finito (escrito multiplicativamente). Pruebe que si el orden de \(  G \) es impar entonces cada elemento \( x \in G  \) tiene una única raíz cuadrada, esto es hay un único \( g \in G \) tal que \( x = g^2 \).

Me sugieren usar la función \( f:G \rightarrow{G} \) definida por \( f(g)=g^2 \) pero no se muy bien como hacerlo.

De antemano gracias


73
Pruebe que el espacio Euclidiano \( {\mathbb{R}}^n \) para \( n \geq{2} \) con la métrica \( d \) no es ultramétrica

Elige para \( n\ge 2 \),

        \( x=(0,0,\ldots , 0) \), \( y=(1,1,\ldots , 1) \), \( z=(1,0,\ldots , 0) \). Entonces,

        \( d(x,y)=\sqrt{n} \),  \( d(x,z)=1 \),  \( d(y,z)=\sqrt{n-1} \),

con lo cual no es cierto que \( d(x,y) \leq \max \{ d(x,z) ,d(y,z) \}  \) para todo \( x,y,z \) vectores de \( \mathbb{R}^n \).

Muchas gracias.

Saludos

74
Hola tengo dificultades con este ejercicio:

Pruebe que el espacio Euclidiano \( {\mathbb{R}}^n \) para \( n \geq{2} \) con la métrica \( d \) no es ultramétrica

Lo que he hecho:

Una ultrametrica se define como: Sea \( (M,d) \) un espacio métrico. La métrica \( d \)  se dice ultrametrica si

$$d(x,y) \leq{max \{ d(x,z) ,d(y,z) \} }$$

Entonces tengo que probar que \( d(x,y) > {max \{ d(x,z) ,d(y,z) \} } \) . Sabemos que la métrica Euclidena se tiene que \( d= {(\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i-y_i)^2}})^{\frac{1}{2}} \)

Entonces como es métrica se cumple que \( d(x,z)\leq{d(x,y)+d(y,z)} \)

No se si la desigualdad triangular la pueda relacionar para probar que no es ultrametrica o que puedo hacer.


Saludos

76
Hola

Te ayudo con algunos puntos.

i) Correcto

ii) Si \( x\neq y\Rightarrow{\exists{j\in{N}} \ / \ x_j\neq y_j}\Rightarrow{\left |{x_j-y_j}\right |>0}\Rightarrow{min \left\{{\left |{x_j-y_j}\right |,1}\right\}>0}\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{j^2} \ min \left\{{\left |{x_j-y_j}\right |,1}\right\} >0} \)
La distancia d(x,y) es una serie de términos no negativos convergente, esto significa que constituye el extremo superior de las sumas parciales, en consecuencia ese extremo superior ha de ser mayor e igual que cualquier suma parcial y se deduce que \( d(x,y)\geq{\displaystyle\sum_{i=1}^j{\displaystyle\frac{1}{i^2} \ min\left\{{\left |{x_i-y_i}\right |,1}\right\}}}>0 \)

Por lo tanto se deduce \( d(x,y)>0 \) si \( x\neq y \)

iii) Correcto

iv) Se parte de la desigualdad triangular en los valores absolutos es decir :

\( \left |{x_i-z_i}\right |\leq{\left |{x_i-y_i}\right |+\left |{y_i-z_i}\right |} \) y se demuestra :

\( min \left\{{\left |{x_i-z_i}\right |,1}\right\}\leq{min\left\{{\left |{x_i-y_i}\right |,1}\right\}+min\left\{{\left |{y_i-z_i}\right |,1}\right\}} \)

Se puede hacer considerando las diversas alternativas :

A) \( min \left\{{\left |{x_i-z_i}\right |,1}\right\}=1 \)

B) \( min \left\{{\left |{x_i-z_i}\right |,1}\right\}=\left |{x_i-z_i}\right | \)

Saludos

Vale entiendo me quedó claro tu explicación.

Para la segunda parte no comprendo muchos puntos  :banghead: :banghead:

Saludos

77
Te queda:
\( \displaystyle |\int_n^m \dfrac{\cos(t)}{t^2} \ dt | \leq  \int_n^m \dfrac{|\cos(t)|}{t^2} \ dt \leq \int_n^m \dfrac{1}{t^2} \ dt = \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n}  \)

Dado \( \epsilon > 0  \) existe \( n_0 \in \mathbb{N}  \) tal que \( \dfrac{1}{n_0} < \dfrac{\epsilon}{2}  \) y continuar.

Vale entiendo, muchas gracias.


Saludos

78
Análisis Matemático / Demostrar que es una sucesión de Cauchy
« en: 10 Abril, 2021, 10:20 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio:

En \( \mathbb{R}  \)con la métrica usual, defina la sucesión \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) para

$$x_n = \displaystyle\int_{1}^{n} \displaystyle\frac{\cos t}{t^2} dt.$$

Pruebe que \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) es una sucesión de Cauchy

Lo que he hecho:

Consideremos \( |x_n-x_m| \) sin perder generalidad con \( m>n \). Tenemos que:

\( \left|x_n-x_m\right|=\displaystyle \left|\int_0^n\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt-\int_0^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|=\left|\int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|. \)

Ahora podemos usar que: \( |\int|\leq\int|\cdots| \).

¿Como puedo llegar a esto \( \left| \displaystyle \int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|\leq \displaystyle \int_n^m\frac{|\cos(t)|}{t^2}\,dt\leq\int_n^m\frac{dt}{t^2}. \)

y probar que la suceción es de Cauchy.


Saludos

79
Hola tengo problemas con este ejercicio

Sea \( M  \)el espacio de todas las sucesiones reales. Dados  \( x = (x_i)_i \; , y = (y_i)_i \in M \), defina

\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}}  \)

Pruebe que  \( (M, d) \) es un espacio métrico. Sea  \( \{ x^{(k)} \}_k  \)una sucesion \( M \). Pruebe que \( x^{(k)}  \rightarrow x \) para \( d \) si y solo si \( {x_i}^{(k)} \rightarrow x_i \; \forall{i}  \; \in \mathbb{N}. \)

Lo que he hecho:

\( (i) \; d(x,x)=0 \)

\( d(x,x)= \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-x_i| , 1 \}} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |0| , 1 \}} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2}} \cdot 0 = 0  \)

\( (ii) \; If \; x \neq \) y  entonces \( d(x,y) > 0 \)

\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}}  \)(No se muy bien que argumento dar para decir que siempre la expresión es mayor que cero)

\( (iii) \; d(x,y)=d(y,x) \)

\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}} =  \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |y_i-x_i| , 1 \}} = d(y,x) \)

\( (iv) \; d(x,z) \leq{} d(x,y) + d(y,z)  \)

Para cada \( i \in \mathbb{N} \) se cumple que:

\( \begin{align}\min\{|x_i-z_i|,1\}&\leqslant\min\{|x_i-y_i|+|y_i-z_i|,1\}\\&\leqslant\min\{|x_i-y_i|,1\}+\min\{|y_i-z_i|,1\};\end{align} \)

(Tendría que demostrarlo)


Para la segunda parte

Pruebe que \( x^{(k)}  \rightarrow x  \)para \( d \) si y solo si \( {x_i}^{(k)} \rightarrow x_i  \forall{i } \; \in \mathbb{N}. \)

Me han sugerido intentar lo siguiente pero no lo entiendo bien:

Si \( \lim_{k\to\infty}x^{(k)}=x \)  y \( i\in\Bbb N \), tomamos \( \varepsilon>0 \). Entonces si \( k \) es lo suficientemente grande \( d\left(x^{(k)},x\right)<\frac\varepsilon{i^2}. \) ( ¿Por que la distancia será menor que \( \frac\varepsilon{i^2} \) )

En particular, \( \frac1{i^2}\min\left\{\left|x_i^{(k)}-x_i\right|,1\right\}<\frac\varepsilon{i^2}, \) y por lo tanto \( \min\left\{\left|x_i^{(k)}-x_i\right|,1\right\}<\varepsilon, \) lo que implica \( \left|x_i^{(k)}-x_i\right|<\varepsilon \)

Finalmente, si \( \lim_{i\to\infty}x_i^{(k)}=x_i \) para cada \( i\in\Bbb N \) y si \( \varepsilon>0 \), tomamos  \( M\in\Bbb N  \)tal que \( \sum_{i=M+1}^\infty\frac1{i^2}<\frac\varepsilon2 \) (De aqui en adelante me perdi)

Para cada\(  i\leqslant M \), tomamos \( N_i\in\Bbb N \) tal que \( k\geqslant N_i\implies\frac1{i^2}\left|x_i^{(k)}-x_i\right|<\frac\varepsilon{2N}. \) Entonces \( k\geqslant\max\{N_1,N_2,\ldots,N_M\}\implies d\left(x^{(k)},x\right)<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon. \)

De antemano gracias.

Saludos

80
Análisis Matemático / Re: Probar que es una métrica
« en: 05 Abril, 2021, 12:32 am »
No acabo de entender esta parte por que  siempre se cumple que el orden de nilpotencia va a ser menor o igual de la matriz.

Si \( A\in M_n(\mathbb{R}) \) es matriz nilpotente de orden \( k \), el polinomio \( p(\lambda)=\lambda^k \) es polinomio anulador de \( A \), con lo cual su polinomio mínimo divide a \( p(\lambda) \) y tiene los mismos factores irreducibles. Esto implica que el polinomio característico de \( A \) es \( \chi (\lambda)=\lambda^n \) y por el teorema de Cayley-Hamilton, \( A^n=0 \). Es decir, \( k\le n \).

Ahora si muchas gracias.


Saludos

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