Creo que la teoría de conjuntos (aunque no es suficiente) da una muy buena base para empezar. Los conceptos de aplicación inyectiva, biyectiva y función inversa, por ejemplo aparecen más adelante en el álgebra, en las aplicaciones lineales, homomorfismos, etc.

Es cierto que el análisis, por su parte, es bastante autónomo, y es una de las disciplinas básicas.

No obstante, los conceptos de aplicación o aplicación biyectiva son muy útiles. Por ejemplo, para ver si una función está bien definida en R, si existe una función inversa, etc. La relación entre el exponencial y el logaritmo neperiano es una aplicación práctica de las nociones de función inversa y aplicación biyectiva. El teorema fundamental del cálculo también implica la noción de función inversa.

Creo que el análisis es una disciplina básica, pero, al menos, en mi caso, fue con la teoría de conjuntos, la primera vez que dije "Ahá, aquí hay algo".

En cuanto a la lógica, aunque muy útil, al fin y al cabo, es isomorfa a un álgebra de conjuntos. Por ejemplo, en la lógica proposicional la implicación es isomorfa a la relación de pertenencia o inclusión, la conjunción a la intersección, y la disyunción a la unión. La lógica de predicados (aunque más complicada) también tiene múltiples relaciones con la teoría de conjuntos.

Yo tengo algunos libros que están bien. "Cálculo de una variable" de Bradley y Smith, "Guía práctica de cálculo infinitesimal en una variable real", de Felix Galindo Soto y otros.

El que más me gusta es uno que era guía de análisis en informática de la UNED hace años. "Análisis Matemático" de María E. Ballvé y otros. Seguramente, en la UNED ahora se estudiará otro libro. De todas formas, las guías de la UNED son libros muy útiles, porque están pensados para aprender por uno mismo, sin ayuda del profesor

Es muy buena la demostración de Euclidades de la infinitud de los primos.

Suponiendo el último primo n

m= (2·3·5·7·11·13...·n) +1

Por tanto, ó m es primo, o existe un primo entre n y m del que es múltiplo m

Ya que estamos, el teorema más influyente del siglo XX, yo diría que es el teorema de Gödel. Sin embargo, no suele conocerse mucho, excepto los que, por una u otra razón, se acercan a la lógica matemática.

Bueno, la verdad es que el teorema fundamental del cálculo es verdaderamente muy importante. Ese es uno de los teoremas más importantes en mi opinión.

La demostración por Euclides de la infinitud de los primos es uno de los ejemplos de un  razonamiento matemático, a la vez sencillo, y verdaderamente potente.

¿Y qué hay de la prueba de la diagonal de Cantor? El hecho de que los naturales (que tienen la misma cardinalidad de los racionales) no se puedan poner en una aplicación biyectiva con los irracionales (o para el caso los reales).

1-1 1 1 2 1
2-1 1 1 1 2
3-2 1 1 1 1
4-1 2 1 1 1
5-1 1 1 2 1

Entonces se construye un número como el 22222 que difiere en la primera cifra del primer número, en la segunda del segundo número, en la tercera del tercer número, así ad infinitum.

¿Ha sido refutada esta prueba de Cantor? ¿Hay algún error en ella?