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Mensajes - Numerarius

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Creo que la teoría de conjuntos (aunque no es suficiente) da una muy buena base para empezar. Los conceptos de aplicación inyectiva, biyectiva y función inversa, por ejemplo aparecen más adelante en el álgebra, en las aplicaciones lineales, homomorfismos, etc.

Es cierto que el análisis, por su parte, es bastante autónomo, y es una de las disciplinas básicas.

No obstante, los conceptos de aplicación o aplicación biyectiva son muy útiles. Por ejemplo, para ver si una función está bien definida en R, si existe una función inversa, etc. La relación entre el exponencial y el logaritmo neperiano es una aplicación práctica de las nociones de función inversa y aplicación biyectiva. El teorema fundamental del cálculo también implica la noción de función inversa.

Creo que el análisis es una disciplina básica, pero, al menos, en mi caso, fue con la teoría de conjuntos, la primera vez que dije "Ahá, aquí hay algo".

En cuanto a la lógica, aunque muy útil, al fin y al cabo, es isomorfa a un álgebra de conjuntos. Por ejemplo, en la lógica proposicional la implicación es isomorfa a la relación de pertenencia o inclusión, la conjunción a la intersección, y la disyunción a la unión. La lógica de predicados (aunque más complicada) también tiene múltiples relaciones con la teoría de conjuntos.

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Foro general / Ajedrez topológico
« en: 17 Mayo, 2005, 05:05 am »
Un amigo me ha hablado de un ajedrez con una geometría distinta del normal. Se trata de un ajedrez en que, por ejemplo, una torre puede pasar (por ejemplo) de la casilla 2 de la derecha a la casilla 2 de la izquierda. Igualmente un peón en la casilla 4 de la derecha podría comer a un peón en la casilla 5 de la izquierda

Se trataría, pues, de un ajedrez enrollado sobre sí mismo, como un cilindro. Aunque, naturalmente, se juega en un tablero normal. Sólo se trata de visualizar la estructura topológica en base a los movimientos de fichas

Además del ajedrez cilíndrico, se me ocurrió el ajedrez cinta de Moëbius, donde una torre que saliera por la izquierda de la casilla 8 podría aparecer en la casilla 8 de la derecha. En ese caso, un peón en la casilla 2 de la derecha podría comer a uno de la casilla 5 de la izquierda, con lo que no sólo saltaría de un lado a otro, sino que (tras haber cambiado de lado y avanzado 4 casillas) comería hacia atrás.

Propongo esta curiosa variante de ajedrez topológico, para ver si geómetras y aficionados a los juegos le ven algún sentido, o simplemente lo consideran inviable.

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Foro general / Re: Enseñanza Informal
« en: 16 Mayo, 2005, 08:09 pm »
Yo tengo algunos libros que están bien. "Cálculo de una variable" de Bradley y Smith, "Guía práctica de cálculo infinitesimal en una variable real", de Felix Galindo Soto y otros.

El que más me gusta es uno que era guía de análisis en informática de la UNED hace años. "Análisis Matemático" de María E. Ballvé y otros. Seguramente, en la UNED ahora se estudiará otro libro. De todas formas, las guías de la UNED son libros muy útiles, porque están pensados para aprender por uno mismo, sin ayuda del profesor

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Está el algoritmo que usaban los Mesopotámicos para la raíz cuadrada. Por ejemplo, para la raíz cuadrada de 2. Se calcula una aproximación, por ejemplo 1.5

2/1.5= 1.333333333
1.5 +1.333333333=2.833333333
2.833333333/2=1.416666666
2/1.416666666=1.411764707
1.416666666+1.411764707=2.82431373
2.8243137372= 1.41421568

Así se van aproximando valores. Para el valor exacto se necesita un número infinito de iteraciones. Por algo se trata de un número irracional.

El algoritmo de Newton sigue una lógica parecida, aunque es algo más complicado.

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Foro general / Re: El teorema más bello.
« en: 16 Mayo, 2005, 12:31 am »
Es muy buena la demostración de Euclidades de la infinitud de los primos.

Suponiendo el último primo n

m= (2·3·5·7·11·13...·n) +1

Por tanto, ó m es primo, o existe un primo entre n y m del que es múltiplo m

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Foro general / Re: Tesis música y matemática Mozart
« en: 15 Mayo, 2005, 09:56 pm »
A mí la composición más matemáticamente construida me parece el "Canon" de Pachelbel. En general las composiciones que están más matemáticamentente estructuradas, las más "algorítmicas" por así decirlo me parecen las del barroco. Pero es sólo una opinión instintiva.

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Foro general / Re: Ranking matemático
« en: 15 Mayo, 2005, 08:03 pm »
Ya que estamos, el teorema más influyente del siglo XX, yo diría que es el teorema de Gödel. Sin embargo, no suele conocerse mucho, excepto los que, por una u otra razón, se acercan a la lógica matemática.

308
Foro general / Re: Falacias, Paradojas y otras yerbas
« en: 15 Mayo, 2005, 08:00 pm »
jojojojojo, la paradoja del hotel de las infinitas habitaciones me parece la más genial

Una de las más famosas es la paradoja de Russell, la del conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

Es un conjunto que si pertenece a sí mismo, entonces no pertenece; y si no pertenece, entonces pertenece.

La paradoja de Russell influyó en el teorema de Gödel. Gödel demostró que en toda formalización de la aritmética que fuera consistente, había por lo menos una proposición indecidible. Esto, sin embargo, no era exactamente una paradoja, pese a su aire chocante.

309
Foro general / Re: Ranking matemático
« en: 15 Mayo, 2005, 07:51 pm »
Bueno, la verdad es que el teorema fundamental del cálculo es verdaderamente muy importante. Ese es uno de los teoremas más importantes en mi opinión.

La demostración por Euclides de la infinitud de los primos es uno de los ejemplos de un  razonamiento matemático, a la vez sencillo, y verdaderamente potente.

310
Foro general / Re: Ranking matemático
« en: 15 Mayo, 2005, 07:46 pm »
Yo siempre cito el de Bolzano-Weiertrass, el de "Todo conjunto infinito acotado tiene al menos un punto de acumulación". Pero seguramente lo cito porque es de los pocos que sé de la topología.

311
¿Y qué hay de la prueba de la diagonal de Cantor? El hecho de que los naturales (que tienen la misma cardinalidad de los racionales) no se puedan poner en una aplicación biyectiva con los irracionales (o para el caso los reales).

1-1 1 1 2 1
2-1 1 1 1 2
3-2 1 1 1 1
4-1 2 1 1 1
5-1 1 1 2 1

Entonces se construye un número como el 22222 que difiere en la primera cifra del primer número, en la segunda del segundo número, en la tercera del tercer número, así ad infinitum.

¿Ha sido refutada esta prueba de Cantor? ¿Hay algún error en ella?

312
Bueno, yo no diría exactamente que no se ha demostrado que entre dos transfinitos no hay otro transfinito.

La hipótesis del continuo dice que entre el cardinal de N y el cardinal del continuo no existe ortro número transfinito.

Es decir que el cardinal del continuo es igual a 2^N. Efectivamente esta es una hipótesis que no se halla ni demostrada ni refutada. Tanto su afirmación como su negación son compatibles con el sistema de Zermelo Fraenkl

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