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Mensajes - Numerarius

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Lógica / Teorema de Gödel
« en: 02 Junio, 2009, 10:58 pm »
Hablo este hilo para hablar sobre el teorema de Gödel.

Bueno. No sabía como empezar. Russell descubrió una paradoja en la teoría de conjuntos (ya saben, la del conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos). (Las proposiciones que se refieren a sí mismas suelen ser paradójicas. Por ejemplo: "Esta proposición no habla sobre el teorema de Gödel" ó  "El menor número que no se puede definir con menos de 15 signos").

Russell escribió con Witehead los Principia Mathematica, para librar a la matemática de paradojas. El libro de Russell establecía una jerarquía de lenguajes, la teoría de tipos, para evitar las proposiciones autorreflexivas.

Sin embargo, Gödel encontró una proposición que era verdadera pero no era demostrable en el sistema. El sistema era incompleto. No contenía todas las verdades.

La proposición venía a decir "Esta proposición no es demostrable en el sistema" (es decir, recordaba a la paradoja de Russell). Para construir esta proposición, Gödel recurrió a la "numeración de Gödel" (ya veremos lo que era esto).

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argentinator. Estoy completamente de acuerdo con lo que planteas. Lo más interesante es el teorema de Gödel en su aspecto matemático. Teniendo en cuenta lo que dices, y asimismo, lo que dijo el otro día LauLuna, voy a abrir un hilo dedicado al teorema de Gödel, a las dudas, a los problemas, a los diversos libros que lo explican, etc. En la medida en que sería un tema dedicado al teorema de Gödel, y no a un libro concreto, voy a a abrir un tema nuevo  (si los moderadores  consideráis que el hilo se debe fusionar con uno anterior, vosotros decidís).

Un saludo.  :D

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Dentro de nuestro libro analizamos y discutimos diversos intentos de extrapolación del teorema de Gödel en otros ámbitos: Julia Kristeva en la semiología, Deleuze y Guattari en la filosofía, Régis Debray en la política, Jean-François Lyotard en la epistemología, Jacques Lacan en el psicoanálisis.


Hasta dónde yo sé, ninguno de esos filósofos tiene el menor conocimiento de matemáticas, lógica ni nada parecido.

Kristeva era una crítica literaria. Deleuze y Guattari eran autores de un abstruso libro de filosofía postmoderna. Debray era un discípulo de Althusser que se fue a luchar con el "Ché". Lyotard escribió algunos libros llenos de charlatanería sobre la postmodernidad.

De todos esos, Lacan era el único con algo de pedigree científico (era médico). Pero, en todo caso, las cosas que decía sobre las relaciones entre el psicoanálisis y el teorema de Gödel no tienen ningún sentido. De todo lo escrito por Lacan, lo único que me parece interesante es "El seminario de la carta robada", ensayo sobre el cuento de Poe "La carta robada" (que aparece en el volumen I de sus Escritos). El resto de sus obras (y he leído unas cuantas) son prácticamente ilegibles.

Por cierto, hace años  salió un libro ("Imposturas intelectuales" de Sokal y Bricmont) donde se hablaba de las tonterías que decían Lacan y compañía cuando hablaban de temas científicos.

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Por cierto, si no me equivoco, la película española "Los crímenes de Oxford" está basada en una novela de este señor (Guillermo Martínez). A mi juicio, es una película muy buena.

Hasta donde yo sé, su libro sobre el teorema de Gödel no se ha publicado en España.

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Propuestos por todos / Re: Problema de conjuntos
« en: 01 Junio, 2009, 03:46 pm »
Yo había pensado lo siguiente:

Spoiler
 


\(
A = (0,1)\cup Q

B= (-1,0)\cup Q
 \)

 
[cerrar]

Un saludo cordial.  :)

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Foro general / Re: La matematica no es ciencia.
« en: 29 Mayo, 2009, 03:32 pm »
Pues mira, si las definiciones filosóficas siempre son interpretables ya que dependen unas de otras, imagínate la académicas del diccionario.

Respondiendo a Cristian:

Creo que estas dando demasiado "valor absoluto" a ciertos conceptos, por ejemplo el concepto de número natural, piensa que existen infinidad de conjuntos a los que podemos llamar "conjunto de los números naturales", dicho conjunto no es único y no todos ellos presentan las mismas propiedades, aunque todos satisfacen los requisitos mínimos, claro, pero siempre nos va a quedar un resquicio por el que podamos considerar una proposición indecidible como verdadera ó falsa según el conjunto "números naturales" que consideremos.

Saludos, Jabato.

Una cosa no entiendo aquí. ¿Quieres decir que hay infinitos conjuntos con la misma cardinalidad que N? ¿o afirmas que existen infinitos conjuntos a los que podemos llamar N? Si es esto último, la verdad es que no lo entiendo.

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argentinator. Un libro muy bueno de divulgación sobre el teorema de Gödel es "Gödel, Escher, Bach" de Douglas Hofstadter.

A un nivel más complicado, utilizando formalismo matemático y tal, está el libro "Lógica para matemáticos" de A. G. Hamilton (éste libro también habla de temas como máquinas de Turing, etc.).

En mi caso, hay muchas cosas del teorema de Gödel que no entiendo  :banghead: , a pesar de haber dedicado un montón de horas a leer sobre el tema. Pero, hay aspectos parciales del tema que no son difíciles de entender. Por ejemplo, qué son los números de Gödel (hay muchos ejemplos más).

Un saludo cordial.  :D

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Teoría de Conjuntos / Subconjuntos de N
« en: 29 Mayo, 2009, 03:07 pm »
El problema es el siguiente: Demostrar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de N es enumerable.

Primero, se me ocurrió: bueno, el conjunto Partes de N tiene la misma cardinalidad que los reales (es decir es no enumerable). Pero Partes de N incluye subconjuntos  infinitos. Por tanto, si sólo utilizamos subconjuntos de N finitos, el conjunto no puede ser no numerable. (Sé que este planteamiento no es riguroso).

Luego se me ocurrió que se podía construír, en primer lugar, todos los subconjuntos de 1 elemento, luego todos los subconjuntos de 2 elementos, luego todos los conjuntos de 3 elementos (ésta solución me parece aún peor que la otra: no se me ocurre la forma de demostrar que forman un conjunto enumerable).

¿A alguien se le ocurre cuál podría ser la solución?     

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Propuestos por todos / Problema de conjuntos
« en: 29 Mayo, 2009, 02:55 pm »
Proporcione ejemplos para mostrar que la intersección de dos conjuntos no numerables puede ser:

a. finita
b: infinita numerable
c: no numerable

(c) es trivial. y (a) es facillilo. (b) es un poco más difícil 

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Propuestos por todos / Nuevo enigma lógico
« en: 10 Marzo, 2009, 07:35 pm »
Tenemos una isla donde hay caballeros (que siempre dicen la verdad) y escuderos (que siempre mienten).

Hay tres personas, A, B y C. A y B dicen lo siguiente:

A: Todos nosotros somos escuderos.
B: Uno de nosotros, y sólo uno, es caballero.

¿Qué son A, B, C?

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Cálculo 1 variable / Re: Conjunto Finito
« en: 10 Marzo, 2009, 05:53 pm »
Por cierto,  ¿cómo se llamaban las cotas cuando no pertenecían al conjunto? ¿no eran ínfimo y supremo?

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Propuestos por todos / Re: Problemilla de lógica
« en: 10 Marzo, 2009, 05:45 pm »
Exacto. A no puede decir "Soy escudero", porque si A es caballero dirá "Soy caballero" y si es escudero dirá, también,  "Soy caballero".

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Propuestos por todos / Problemilla de lógica
« en: 10 Marzo, 2009, 04:51 pm »
En una isla hay caballeros (que siempre dicen la verdad) y escuderos (que siempre mienten).

Según este viejo problema, tres de los habitantes (A, B, y C) se encontraban en un jardín. Un extranjero pasó por allí y le preguntó a A "¿Eres caballero o escudero?". A respondió, pero tan confusamente, que el extranjero no pudo enterarse de lo que decía. Entonces el Extranjero preguntó a B: "¿Qué ha dicho A?". Y B le respondió: "Ha dicho que es escudero". Pero en este instante, el tercer hombre, C, dijo:"¡No creas a B, que está mintiendo!"

La pregunta es: ¿qué son B y C?

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Foro general / Re: Comité Editorial
« en: 16 Enero, 2009, 05:43 pm »
Bueno, yo soy estudiante de Informática, y antes estudié Filosofía.

Los temas sobre los que podría escribir serían:

Lógica y Teoría de la computación.

Temas como: numeración de Gödel, teorema de Gödel, máquinas de Turing, etc.

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El Tao de la matemática... ;D

 :D Supongo que estabas siendo irónico. :D

Si pones ese título lo leerá todo el mundo, menos los matemáticos. ;D Seguro que lo lee hasta el "Dalai Lama". :o

De todos modos, mi título "Dimensión N" también suena a ocultismo. ¡En España había un programa de un adivino que se llamaba "Dimensión Rappel"!

Un saludo cordial. ;D ;D :laugh:

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Yo opto por algo tipo "eZine Hispano de Matemáticas"

puede sonar rimbombante, pero... bueno, es descriptivo, tampoco se trata de buscar algo marketinero :p
"


Ese podría ser un buen subtítulo. Un título debe tener gancho.

Un título podría ser "Dimensión N" (aunque, quizás, habría gente que lo confundiría con un e-zine de esoterismo) >:D 

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- Otros - / Re: Idea del infinito
« en: 09 Enero, 2009, 08:13 pm »
Jo jo jo. Yo a mi padre le decía: "Infinito por infinito es infinitada" ;D ;D. Y mi padre me decía que eso era una tontería. ;D Creo que él nunca había oído hablar de Cantor ¡y eso que era ingeniero!  ;D

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 En cuanto a la segunda cuestión, utiliza que para cardinales infinitos:

\(  bc=max(b,c) \)

 

Si \(  max(b,c)=c \), entonces como a\( \leq{} \) b·c, tenemos que a\( \leq{} \)c

Si \(  max(b,c)=b \), entonces como a\( \leq{} \) b·c, tenemos que a\( \leq{} \)b

Luego  a\( \leq{} \)c ó a\( \leq{} \)b





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Si \( a \) es un número inifito cardinal y \( a\leq{bc} \) pruebe que \( a\leq{b}  \) o \( a\leq{c} \)








Supongamos la negación de lo que hay que demostrar.

Supongamos que a>b y a>c. Y, a partir de ahí, se trata de llegar a una contradicción.

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Hay un problema famoso, el del Hotel de Hilbert.

Supongamos que tengo un hotel con infinitas habitaciones. Viene un nuevo visitante. ¿Dónde lo alojo? Bien, al huesped de la habitación 1 lo meto en la habitación 2, al huesped de la habitación 2 en la habitación 3, al huesped de la habitación 3 en la habitación 4. Así me queda libre la habitación 1.

De hecho, un conjunto es infinito si puede construirse una aplicación biyectiva entre el conjunto y uno de sus subconjuntos propios [un subconjunto propio es un conjunto que no contiene todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, un subconjunto propio de {1, 2, 3} es {1,2}. {1, 2, 3} es un subconjunto impropio]


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