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Análisis Matemático / Re: Lema de Fatou
« en: 22 Septiembre, 2016, 05:04 am »
Con la explicación ya lo reflexioné un poquito más. ¡Muchas gracias por la ayuda Enrique!

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¡Buenas noches!
Realmente ya llevo un buen tiempo pensándolo y aún no encuentro algún ejemplo de una función f integrable tal que \( f^2 \) no sea integrable. ¿Podrían proporcionarme algún ejemplo por favor?

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Análisis Matemático / Lema de Fatou
« en: 21 Septiembre, 2016, 03:03 am »
¡Hola!
En unas notas que estaba revisando enuncia:
Lema de Fatou: Si \( f_n \) es una sucesión de funciones medibles no negativas entonces \( \displaystyle\int_{}^{}\liminf \, f_n d\mu \leq{ \liminf  \, \displaystyle\int_{}^{}f_n d \mu} \)


Luego, dice como una observación que el Lema de Fatou no es cierto si las \( f_n \) no son no negativas, por ejemplo, tomando \( f_n=-\displaystyle\frac{1}{n} \chi_{\left [0,n  \right ]} \) no es monótona en \( [0,+ \infty) \) pero \( f_n \) converge uniformemente a cero; pero \( \displaystyle\int_{}^{}f_n d \lambda=-1=\displaystyle\int f d \lambda=0 \)

Y no comprendo bien dicho ejemplo mencionado en la observación.

Spoiler
Hasta donde creo comprender:
Dado \( \displaystyle\frac{1}{\epsilon}>0 \) existe \( n_0\in{\mathbb{N}} \) tal que  \( \displaystyle\frac{1}{\epsilon}<n_0 \) luego \( \forall{n\geq{n_0}} \)

\(  \left |{\displaystyle\frac{-1}{n}-0}\right |<\epsilon \) de donde \( f_n \) converge uniformemente a 0
\( \displaystyle\int_{}^{}f_n d \lambda=- \frac{1}{n} \chi_{\left [0,n  \right ]}=\frac{1}{n} n=-1 \)
f=0 el límite al cual converge la sucesión \( f_n \) y por ello \( \displaystyle\int f d \lambda=\displaystyle\int 0 d \lambda=0 \)

Según yo sí es monótona decreciente en \( (0, +\infty) \)
Y no veo claramente cómo relacionarlo con el Lema de Fatou. ¿Me podrían explicar esto último por favor?
 
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Análisis Matemático / Re: Función compleja medible
« en: 15 Septiembre, 2016, 05:16 am »
¡Muchas gracias el_manco!

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Análisis Matemático / Función compleja medible
« en: 14 Septiembre, 2016, 05:32 am »
¡Hola de nuevo!
Estoy tratando de demostrar lo siguiente:
Si (X,F) es un espacio medible y \( f:X\rightarrow{\mathbb{C}} \) entonces:
a) f es medible \( \Leftrightarrow{\{x\in{X: \, a<Re(f)<b, \, c<Im(f)<d \}\in{F}}} \) para todo \( a,b,c,d\in{\mathbb{R}} \)
b) f medible \( \Leftrightarrow{f^{-1}(G)\in{F}} \) para todo \( G\in{\mathbb{C}} \) abierto.

Spoiler
Muestro lo que he comenzado a notar:Primeramente, como usualmente me encuentro con funciones que van a los reales me causa conflicto cuando menciona en b) un conjunto abierto en \( \mathbb{C} \) ; pero como los complejos son isomorfos a \( \mathbb{R}^2 \) entonces coincidirán como espacio topológico y supongo que es como debería trabajarlo. Expreso f=h+gi donde \( h,g:X\rightarrow{\mathbb{R}} \). Tendría entonces que h=Re(f) y g=Im(f)

Para a) por definición \( f:X\rightarrow{\mathbb{C}} \) es medible sí y sólo si su arte real y su parte imaginaria son medibles. Un lema dice que si \( T:X\rightarrow{\mathbb{R}} \) es una función, entonces las siguientes propiedades son equivalentes:
i)\( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, A_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)> \alpha\}\in{F}} \)
ii) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, B_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)\leq{} \alpha\}\in{F}} \)
iii) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, c_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)\geq{} \alpha\}\in{F}} \)
iv) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, A_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)< \alpha\}\in{F}} \)

Para b) Tengo un resultado que se parece mucho a lo que debo probar, dice: si (X,F) y (Y,I) son espacios medibles, una transformación \( f:X\rightarrow{Y} \)es medible sí y sólo si \( f^{-1}(E):=\{x\in{X : \, f(x)=E\}\in{F}} \) Así que tomaría \( Y=\mathbb{C} \) y E cualquier abierto en \( \mathbb{C} \)

Los resultados que enuncié se ven muy similares a lo que debo demostrar; pero aún no veo cómo aplicarlos a lo que me piden :(
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Análisis Matemático / n-translación medible
« en: 14 Septiembre, 2016, 04:29 am »
¡Hola!
¿Podrían ayudarme con este ejercicio por favor?
Dice: Sea \( M(X,F)=:M \) (X es un conjunto arbitrario no vacío y F una sigma álgebra, f función medible). Definimos la translación de f para cada \( N\in{\mathbb{N}} \) mediante:

\( f_n(x)=\begin{cases}{ f(x)}&\text{si}& \left |{f(x)}\right |\leq{n}\\n & \text{si}& f(x)>n\\-n & \text{si}& f(x)<n\end{cases} \). Entonces \( f_n\in{M},  \forall{n\in{\mathbb{N}}} \).

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Probabilidad / Re: Probabilidad de dados usando serie geométrica
« en: 14 Septiembre, 2016, 03:34 am »
Sí me ha ayudado ver el problema desde esa otra forma, ¡gracias por las explicaciones Enrique!

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Probabilidad / Probabilidad de dados usando serie geométrica
« en: 11 Septiembre, 2016, 03:33 am »
¡Buen día!
Quisiera que por favor me ayudaran a escribir formalmente la solución al problema siguiente:

Suponga que dos dados balanceados se lanzan repetidamente y la suma de las caras superiores se determina en cada tiro. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 3 antes de obtener una suma de 7?

Spoiler
Lo que hice fue un diagrama de árbol con 3 ramas iniciales una de ellas que me lleva a obtener un 3 (con probabilidad 2/36), otra a obtener un 7 (con probabilidad 6/36) y otra para el resto de las posibilidades (con probabilidad 28/36) lo que me lleva a hacer un lanzamiento mas con y de donde se desprenden nuevamente 3 ramas como antes mencioné y así sucesivamente. Me fijo en todos los caminos que me llevan a sacar un 3 y deduzco que la probabilidad buscada es de:
P[obtener 3 antes de 7] \( =\displaystyle\frac{2}{36} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{28^î}{36^î} \) Sé calcular el valor de esta serie geométrica, lo que no me queda claro es cómo escribir formalmente el procedimiento para llegar a esto sin usar la técnica del diagrama de árbol.

Una disculpa; pero no sé cómo hacer el diagrama de árbol con el código LaTex y por eso preferí describirlo.
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Para resolver sin usar el diagrama de árbol, inicié definiendo los eventos: \( A_k \)= obtener 3 en el lanzamiento k-ésimo,
 \( B_k \)= obtener 7 en el lanzamiento k-ésimo,
\( C_k \)= No obtener un 3 ni un 7 n el lanzamiento k-ésimo.

Y luego obtengo: P[obtener 3 antes de 7]\( =P[ \cup_{i=1}^{\infty}{(A_i\cap_{j=1}^{i-1}{C_k})}] \) Puesto que el resultado en cada lanzamiento anterior no afecta al resultado que se obtendrá en el siguiente lanzamiento puedo expresar P[obtener 3 antes de 7]\( = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P[A_i\cap_{j=1}^{i-1}{C_k}]} \). A partir de aquí ya no hallo cómo concluir que P[obtener 3 antes de 7] \( =\displaystyle\frac{2}{36} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{28^î}{36^î} \)

Ojalá puedan ayudarme a completar esa parte por favor.

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Álgebra / Re: Diagrama conmutativo
« en: 16 Junio, 2016, 01:24 am »
No estoy seguro qué quieres decir con \( p_A(a,b)\to A \), pero lo natural sería que \( p_A \) y \( p_B \) fuesen las proyecciones, es decir \( p_A(a,b)=a \) y \( p_B(a,b)=b \) para todo \( (a,b)\in A\times B \).

Así es, lo correcto es como lo escribes se refiere a las proyecciones.

Ya comprendo ¡Muchas gracias Tanius!

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Álgebra / Diagrama conmutativo
« en: 15 Junio, 2016, 03:37 am »
¡Hola! Espero me puedan ayudar con este problema que me ha entretenido un buen rato y no logro concluir:
Sean A y B conjuntos. Definimos funciones \( p_A:A \times B \longrightarrow{{A}} \) por
\( p_A(a,b) \rightarrow{A} \) y \( p_B:A \times B \longrightarrow{{B}} \) por
\( p_B(a,b) \rightarrow{B} \). Sea C un conjunto y funciones \( f:C\longrightarrow{A} \) y \( g:C\longrightarrow{B} \). Mostrar que existe una función \( h:C\longrightarrow{A \times B} \) tal que el siguiente diagrama conmuta:

\(
\xymatrix{  & A  \\ C \ar[ru]^f \ar[rr]^h \ar[rd]_g && A \times B \ar[lu]_{p_A} \ar[ld]^{p_B} \\ & B }
 \)

Lo que intenté hacer es lo siguiente: Por un teorema llamado de Factorización se sabe que son equivalentes los siguientes enunciados: Dadas las funciones \( f:C\longrightarrow{A} \) y \( p_A:A \times B \longrightarrow{{A}} \)
i) Existe \( h_1:C\longrightarrow{A \times B} \) tal que \( h_1\circ{p_A}=f \)
ii) \( Imagen(f)\subseteq{Imagen(p_A)} \)

Así por el mismo teorema; pero ahora aplicado a las funciones \( g:C\longrightarrow{B} \) y  \( p_B:A \times B \longrightarrow{{B}} \) tendría que son equivalentes:
i) Existe \( h_2:C\longrightarrow{A \times B} \) tal que tal que \( h_2\circ{p_B}=g \)
ii) \( Imagen(g)\subseteq{Imagen(p_B)} \)

He comprobado que en ambos casos se cumple la condición ii) de manera que puedo afirmar i) lo que me daría dos diagramas conmutativos ¿pero cómo los uno?  ¿o hay que tomar otro camino para probarlo?
¿la h debe ser única?

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Ecuaciones diferenciales / Re: Ecuación unidimensional del calor
« en: 04 Junio, 2016, 04:05 am »
¡Ahora se ve tan claro!  :laugh: ¡gracias geómetracat!

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Ecuaciones diferenciales / Ecuación unidimensional del calor
« en: 03 Junio, 2016, 07:04 am »
¡Hola!
Tengo un problema que dice:
a)Para la ecuación unidimensional de calor \( h^2=u_{xx}=u_t \), encuentre una solución tal que u es independiente de t, u=A (A es una constante) para x=0 y u=0 para x=L.

b) Con el resultado obtenido en a) resuelva el problema de una loza de espesor L, con temperatura inicial cero en todas partes, y con sus caras x=0 y x=L mantenidas a temperaturas A y cero respectivamente para t>0.

La parte b) creo conocer el procedimiento para hacerlo; sin embargo realmente no lo he intentado porque no he sabido cómo hacer la parte a) y exactamente cómo se utilizaría en la parte b) ¿Me pueden orientar por favor? 

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Ya comprendo como concluir. ¡Muchas gracias el_manco!

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¡Hola!
Estoy tratando de resolver la ecuación:

\( \frac{{\partial w}}{{\partial y}}=y \frac{{\partial w}}{{\partial x}} \) por el método de separación de variables, así que proponiendo \( w(x,y)=f(x)g(y)  \)como solución de esta, he llegado a plantear el sistema de ecuaciones siguiente:
\( f'(x)-af(x)=0 \)
\( g'(y)-ayg(y)=0
 \)
donde a sería mi constante de separación. Sé que ahora tengo que tomar tres casos para "a=0" obtengo w es constante, pero para el resto de los casos (a positivo y a negativo). Considerando por ejemplo a>0. El sistema a resolver resulta
 \( f'(x)=af(x) \)
\( g'(y)=ayg(y) \)

y tendría que obtener la f y la g; pero ahí es donde ya no sé continuar. ??? ¿Me pueden ayudar con esta parte por favor? Y de ser posible con una explicación "paso a paso" realmente no sé cómo hacer esto, se supone debo llegar a una cosa como esta: \( w=exp[k(2x+y^2)] \)

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Análisis Matemático / Re: Norma en el espacio dual
« en: 31 Mayo, 2016, 09:14 pm »
Ya veo, ¡muchas gracias!

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Análisis Matemático / Norma en el espacio dual
« en: 31 Mayo, 2016, 03:21 am »
¡Hola!
Tengo una pregunta que tal vez sea algo simple; pero no estoy entendiendo bien esto de los espacios duales. Dado X el espacio de las n-tuplas ordenadas de elementos en un campo \( \mathbb{K} \) y \(  \left\|{x}\right\|:=\underbrace{máx}_{1\leq{j}\leq{n}}\left |{x_j}\right | \) donde \( x=(x_1, \ldots , x_n) \) ¿Cuál sería la norma correspondiente en el espacio dual de X?


Y si alguien me pudiera recomendar además alguna referencia o libro donde revisar acerca del tema de dualidad: espacio dual algebráico, topológico, espacio de Banach reflexivo se los agradeceré.

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- Otros - / Re: Función generadora de polinomios de Laguerre
« en: 31 Mayo, 2016, 02:58 am »
Bien, lo intentaré resolver de acuerdo a las indicaciones que me proporcionas. ¡Gracias!  :)

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- Otros - / Re: Función generadora de polinomios de Laguerre
« en: 29 Mayo, 2016, 05:50 pm »
Quizá, mi primer error fue que en el primer mensaje escribí
escribí \( e^t _0 F_1(-;1;-xt)= e^t \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}x^nt^n}{n!} \)
desde que no escribí el símbolo de sumatoria.

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- Otros - / Re: Función generadora de polinomios de Laguerre
« en: 29 Mayo, 2016, 05:41 pm »
Disculpa, creía que era una notación universal, de acuerdo a la notación \( _0 F_1(-;1;-xt) \) representa una serie de potencias:
el 0 me indica que hay 0 símbolos de Pochhammer en el numerador,
el 1 indica que hay un símbolo de Pochhammer en el denominador
Lo que aparece entre paréntesis son los parámetros, separados por comas, donde lo que aparece antes del primer punto y coma son los argumentos del  símbolo de Pochhammer del numerador, a continuación los argumentos del  símbolo de Pochhammer del denominador y después del segundo punto y coma aparece de quién depende la función, o sea de -xt

Según tengo en mis notas este ejemplo:
 \( _1F_1(-n; 1; x)= 1+ \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-n)_m}{n! (1)m}x^m \) Lo que me confundía inicialmente era que sumara el 1 y estuviera n! en el denominador; pero la respuesta de mi profesor es que eso siempre debía ir cuando se trata de una función hipergeométrica, lo cual no me resultó una respuesta muy satisfactoria, pues no sabemos qué es eso; pero lo tomamos como un hecho. Ví en Wikipedia la página sobre Serie hipergeométrica y ahí usan esa notación.

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- Otros - / Función generadora de polinomios de Laguerre
« en: 29 Mayo, 2016, 05:46 am »
¡Hola!
Se me ha dificultado el siguiente ejercicio:
Usando la función generadora de los polinomios de Laguerre \( e^t _0 F_1(-;1;-xt)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{L_n(x)}{n!}t^n} \)
a) Obtenga la fórmula explícita de los \( L_n(x) \)
b) Muestre que \( x^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{(-1)^k (n!)^2 L_k(x)}{k! (n-k)!}} \)

Todo lo que vi en clase sobre Laguerre es que si resuelvo la ecuación de Laguerre \( xy''+(1-x)y'+ny=0 \) entonces debería obtener  truncando una serie el llamado polinomio de Laguerre \( L_n(x)=1+\displaystyle\sum_{m=1}^n{\displaystyle\frac{(-n)_m}{n! (1)_m}x^m} \)

Así que de acuerdo a lo que estaba intentando, la expresión anterior la consideré como la fórmula explícita a la que debo llegar para a) escribí \( e^t _0 F_1(-;1;-xt)= e^t \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}x^nt^n}{n!} \) hice algunas manipulaciones pero ya me he confundido, no logro que una expresión se parezca a la otra. Me parece que uno debe tener mucha experiencia para resolver problemas como de estos polinomios o saber de antemano un "truco". 
¿Pueden ayudarme con esto por favor?

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