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Cálculo 1 variable / Re: Límite de una función definida por partes
« en: 28 Octubre, 2012, 05:36 pm »
Lo que he hecho, ahora es, lo siguiente:\( \displaystyle\lim_{x \to{0+}}{f(x)} \) = \( \displaystyle\lim_{x \to{0+}}{bx-3} \) = \( (\displaystyle\lim_{x \to{0+}}{b}) (\displaystyle\lim_{x \to{0+}}{[x]}) + (\displaystyle\lim_{x \to{0+}}{-3}) \) = b(0) -3 = -3 ...(1)

\( \displaystyle\lim_{x \to{0-}}{f(x)} \)  = \( \displaystyle\lim_{x \to{0-}}{[x]} + \displaystyle\lim_{x \to{0-}}{a} \)  =  ??? + a ... (2)

Igualando límites laterales, es decir,  igualando (1) con (2) Se tiene:
-3=  ??? + a \( \Rightarrow{} \) a=-3 - ???
\(  b\in{\mathbb{R}} \) (cualquiera)

Estaba revisando que la función parte entera la definen en algunos lugares así:
\(  f(x)=\begin{Bmatrix} (mayor entero) & \mbox{ si }& x\geq{0}\\0 & \mbox{si}& -1\leq{x\leq{1}} \\ (menor entero) & \mbox{si}& x\leq{-1}\end{matrix} \)

Lo que me hace pensar que \( \displaystyle\lim_{x \to{0-}}{[x]} \) = ??? = 0
\( \Rightarrow{} \) a=-3

¿Esto es correcto?

Lo que sucede es que en otras partes definen la parte entera del mismo modo que el mayor entero y en otras  igual que el menor entero. Creo que en estos casos el límite no existiría ¿verdad?... ¿daría límites distintos por derecha y por izquierda, no?...


 

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Cálculo 1 variable / Límite de una función definida por partes
« en: 28 Octubre, 2012, 06:44 am »
¡Hola! Tengo un problema con esta función, en particular para trabajar sobre la parte entera. Espero me puedan dar alguna sugerencia.

Hallar \( a,b\in \mathbb{R} \) para que \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}f(x) \) exista.

\(  f(x)=\begin{Bmatrix} [x] + a & \mbox{ si }& x\leq{0}\\bx-3 & \mbox{si}& x>0\end{matrix} \)

443
¡Muchas gracias!
No se me había ocurrido definir la función en partes :-[
¡Gracias por su ayuda!  :)

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¡Hola! Espero que me puedan ayudar con esta demostración:
Sean f, g funciones que van de los naturales a los naturales, dadas por
f(x)=2x y g(x)= max{x-3,0}.
Demuestre que f es inyectiva dando una infinidad de inversas izquierdas y que g es suprayectiva dando más de una inversa.

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Ojalá y en un futuro sí se abran los cursos que propone Tanius , los esperaré con mucho gusto.
 :D
¡Gracias!

446
 ???
¡Hola a todos!
¿Podrían explicarme el siguiente ejercicio por favor? Estoy bastante desorientada  :-\ no sé por dónde iniciar. :(
Sea (\( x_{n} \)) una sucesión acotada, y para toda n \( \in{N} \)  sean \( s_{n} \):= sup{\( x_{k} : k\geq{n} \)} y S:=ínf{\( s_{n} \)}. Demostrar que existe una subsucesión de (\( x_{n} \)) que converge a S.

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Cálculo 1 variable / Demostración (Sucesiones monótonas)
« en: 30 Abril, 2012, 10:25 pm »
¡Hola!

Tengo un par de ejercicios que no he podido resolver, espero que me puedan ayudar:

1) Sea a>0 y \( z_{1} > 0 \) Se define \( z_{n+1}:= \sqrt{a+z_n} \quad n\in \mathbb{N} \)
Demostrar que (\( z_{n} > 0 \) ) converge y encontrar su límite.

2) Sea A un subconjunto infinito de \( \mathbb{} \) que está acotado superiormente y se u:= sup A. Demostrar que existe una sucesión creciente ( \( x_{n} \)) con \( x_{n} \in{A} \quad\forall{n\in{N}} \) tal que u = lím(\( x_{n} \) )

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 :o Al parecer en mis intentos lo estaba complicado demasiado  :laugh:
 Me ha quedado claro.
 ¡Les agradezco que hayan rectificado el ejercicio!
¡Gracias!
¡Saludos!  :)

449
 ???
 :-\

450
¡Muchas gracias a todos!
Me encantó la demostración de Topolino, ¡no se me hubiera ocurrido utilizar la densidad de los racionales!
 :D

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Cálculo 1 variable / DEMOSTRACIÓN (Sucesiones y límites) Bartle
« en: 08 Abril, 2012, 07:44 am »
Bueno por hipótesis se sabe que  \( \left |{x_n - x
}\right |<\epsilon\quad\forall{n\geq{N}} \)

Pero no encuentro la manera de continuar, soy principiante en esto
 :-\
Las ideas que tenía eran utilizando la desigualdad del triángulo; pero no logré concluir nada concreto y correcto  :'(

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Cálculo 1 variable / DEMOSTRACIÓN (Sucesiones y límites) Bartle
« en: 08 Abril, 2012, 07:31 am »
¡Hola!
Espero que me puedan ayudar en el siguiente problema:

Demostrar que si \( \lim x_n=x \) y si x > 0, entonces existe un número natural M
tal que  \( x_n>0 \)  para toda \( n\geq{M} \)

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Cálculo 1 variable / ¡Gracias!
« en: 07 Abril, 2012, 09:03 pm »
:o Es verdad; aunque no lo veía tan inmediato. Ahora sí me ha quedado completamente claro. ¡Gracias de nuevo pabloN!  :D

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Cursos del Rincón / "Pedido de curso de ECUACIONES DIFERENCIALES"
« en: 07 Abril, 2012, 03:07 am »
¡Hola!
Me gustaría que en caso de que este curso pudiera abrirse se trataran los temas de la siguiente forma:

Introducción.
Preliminares técnicos.
Conceptos elementales.

Ecuaciones diferenciales exactas
Factor integrante
Ecuaciones diferenciales incompletas


Ecuaciones diferenciales de orden n con coeficiente constante.
Ecuaciones diferenciales de orden n afin con coeficiente constante.
Método de variación en parámetros

Método de series de potencias para la solución de Ecuaciones Diferenciales

¡Gracias!

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 ??? ¿Acaso debe usarse la propiedad Arquimediana?  :-\ porque es lo que intentaba hacer

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¡Hola!
Quiero proponer que hagamos discusiones sobre los ejercicios del libro Bartle Sherbert "Introducción al análisis matemático"   Desde los temas de supremos, ínfimos, sucesiones, series y hasta funciones. Sería interesante que hicieramos una especie de curso o un grupo de estudio ¿qué les parece?

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 ??? Me podrían explicar cómo se demuestra que el supremo de 1/n =1 y el ínfmo de -1/m = -1
En efecto se tiene cuando n=1; pero ¿cómo lo demuestro?

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Foro general / Supremo ínfimo con b<0
« en: 06 Abril, 2012, 06:59 pm »
Sea \( S \) un conjunto no vacío acotado en \( \mathbb{R} \).

Sea \( b<0 \) y sea \( bS:=\{bs:\,s\in S\} \). Demostrar que:

\( \inf(bS)=b\sup(S),\qquad \sup(bS)=b\inf S \)

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