Lo que he hecho, ahora es, lo siguiente:\( \displaystyle\lim_{x \to{0+}}{f(x)} \) = \( \displaystyle\lim_{x \to{0+}}{bx-3} \) = \( (\displaystyle\lim_{x \to{0+}}{b}) (\displaystyle\lim_{x \to{0+}}{[x]}) + (\displaystyle\lim_{x \to{0+}}{-3}) \) = b(0) -3 = -3 ...(1)

\( \displaystyle\lim_{x \to{0-}}{f(x)} \)  = \( \displaystyle\lim_{x \to{0-}}{[x]} + \displaystyle\lim_{x \to{0-}}{a} \)  =  + a ... (2)

Igualando límites laterales, es decir,  igualando (1) con (2) Se tiene:
-3=  + a \( \Rightarrow{} \) a=-3 -
\(  b\in{\mathbb{R}} \) (cualquiera)

Estaba revisando que la función parte entera la definen en algunos lugares así:
\(  f(x)=\begin{Bmatrix} (mayor entero) & \mbox{ si }& x\geq{0}\\0 & \mbox{si}& -1\leq{x\leq{1}} \\ (menor entero) & \mbox{si}& x\leq{-1}\end{matrix} \)

Lo que me hace pensar que \( \displaystyle\lim_{x \to{0-}}{[x]} \) = = 0
\( \Rightarrow{} \) a=-3

¿Esto es correcto?

Lo que sucede es que en otras partes definen la parte entera del mismo modo que el mayor entero y en otras  igual que el menor entero. Creo que en estos casos el límite no existiría ¿verdad?... ¿daría límites distintos por derecha y por izquierda, no?...


 

¡Muchas gracias!
No se me había ocurrido definir la función en partes
¡Gracias por su ayuda! 

Ojalá y en un futuro sí se abran los cursos que propone Tanius , los esperaré con mucho gusto.
 
¡Gracias!

¡Hola!

Tengo un par de ejercicios que no he podido resolver, espero que me puedan ayudar:

1) Sea a>0 y \( z_{1} > 0 \) Se define \( z_{n+1}:= \sqrt{a+z_n} \quad n\in \mathbb{N} \)
Demostrar que (\( z_{n} > 0 \) ) converge y encontrar su límite.

2) Sea A un subconjunto infinito de \( \mathbb{} \) que está acotado superiormente y se u:= sup A. Demostrar que existe una sucesión creciente ( \( x_{n} \)) con \( x_{n} \in{A} \quad\forall{n\in{N}} \) tal que u = lím(\( x_{n} \) )

 
 

Bueno por hipótesis se sabe que  \( \left |{x_n - x
}\right |<\epsilon\quad\forall{n\geq{N}} \)

Pero no encuentro la manera de continuar, soy principiante en esto
 
Las ideas que tenía eran utilizando la desigualdad del triángulo; pero no logré concluir nada concreto y correcto 

Es verdad; aunque no lo veía tan inmediato. Ahora sí me ha quedado completamente claro. ¡Gracias de nuevo pabloN! 

  ¿Acaso debe usarse la propiedad Arquimediana?  porque es lo que intentaba hacer

  Me podrían explicar cómo se demuestra que el supremo de 1/n =1 y el ínfmo de -1/m = -1
En efecto se tiene cuando n=1; pero ¿cómo lo demuestro?