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Estructuras algebraicas / Re: Grupo cíclico

« en: 15 Octubre, 2016, 06:22 pm »

Gracias Enrique! Sí que me siguen surgiendo dificultades...

Cita de: EnRlquE en 12 Octubre, 2016, 05:12 am

Hola mapa.

Intenta probar que $ g=\inf\{x\in G:\; x>0\}\in G. $

Con esa parte te refieres solo a nombrar al ínfimo como g? O cómo encuentro g?
Siento que me falta información sobre el subgrupo para dar el valor preciso de g.

Cita de: EnRlquE en 12 Octubre, 2016, 05:12 am

Luego muestra que $ G $ es generado por $ g. $

Disculpa, no sé cómo hacer esa parte, pienso que se debe tomar un elemento x en G arbitrario y probar que es un múltiplo entero de g; pero sigo con esa confusión de que no observo suficiente información sobre cómo son o quiénes son exactamente los elementos de G, solo nos dan que son números reales

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Álgebra / Re: Subgrupo generado es finito.

« en: 15 Octubre, 2016, 05:50 pm »

Ya me queda claro, muchas gracias!

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Estructuras algebraicas / Grupo cíclico

« en: 12 Octubre, 2016, 04:42 am »

¡Hola!
Espero que me puedan orientar sobre el siguiente ejercicio:
Sea G un subgrupo del grupo aditivo de los números reales, el cual no es denso en $ \mathbb{R} $. Debo probar que G es cíclico.

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Álgebra / Subgrupo generado es finito.

« en: 12 Octubre, 2016, 04:38 am »

¡Hola!
¿Me pueden dar alguna sugerencia para el siguiente ejercicio por favor?

Sean G un grupo y $ a_1, \ldots , a_n $ elementos de G de orden finito, los cuales conmutan entre sí. Demostrar que el subgrupo $ \left<{a_1, \ldots , a_n}\right> $ de G es finito. Además, mostrar que la condición es falsa si no se supone que los elementos $ a_1, \ldots , a_n $ conmutan entre sí.

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Análisis Matemático / Re: Medida de conteo

« en: 07 Octubre, 2016, 05:11 pm »

Les agradezco mucho a ambos por sus respuestas.

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Análisis Matemático / Re: Medida de conteo

« en: 06 Octubre, 2016, 05:23 am »

Cita de: el_manco en 05 Octubre, 2016, 10:45 am

Hola

Cita de: mapa en 05 Octubre, 2016, 03:21 am
¡Hola!

Si $ \mu $ es la medida de conteo en $ \mathbb{N} $ y si $ 1\leq{p_1}\leq{p_2}<\infty $ entonces $ Lp_{2}\subset{Lp_1} $ y $ \left\|{f}\right\|_{p_1}\geq{\left\|{f}\right\|_{p_2}} $
¿Cómo podría demostrarlo?

Pero la inclusión es al revés:

$ L^{p_1}\subset L^{p_2} $

De acuerdo a lo que has desarrollado posteriormente, ya me convencí de que la inclusión que se da es la que indicas, no lo había notado.

Cita de: el_manco en 05 Octubre, 2016, 10:45 am

Previamente supongo que habrás probado que con la medida de contar:

$ \displaystyle\int_{\mathbb{N}}fd\mu=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}f(n) $

No, aún no lo he probado. Me podrías explicar un poco mas acerca de esta parte, por favor? No se me hace evidente por qué eso sucede

El resto de lo que me planteas ya lo comprendo. Gracias por tu tiempo!

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Teoría de la Medida - Fractales / Re: Conjuntos positivos y negativos.

« en: 06 Octubre, 2016, 05:05 am »

Ya entendí cuáles eran mis errores, Gracias por las correcciones!

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Análisis Matemático / Medida de conteo

« en: 05 Octubre, 2016, 03:21 am »

¡Hola!

Si $ \mu $ es la medida de conteo en $ \mathbb{N} $ y si $ 1\leq{p_1}\leq{p_2}<\infty $ entonces $ Lp_{2}\subset{Lp_1} $ y $ \left\|{f}\right\|_{p_1}\geq{\left\|{f}\right\|_{p_2}} $
¿Cómo podría demostrarlo?

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Teoría de la Medida - Fractales / Conjuntos positivos y negativos.

« en: 05 Octubre, 2016, 03:06 am »

¡Hola!

Necesito demostrar la equivalencia entre las siguientes proposiciones:
Si (X,F) es un espacio medible y $ \lambda $ una medida, entonces
a)Se dice que un conjunto $ P\in{F} $ es positivo (negativo) respecto a $ \lambda $ si $ \lambda (E\cap{P})\geq{0} \, \forall{E\in{F}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\lambda (E\cap{P}))\leq{0} \forall{E\in{F}}) $

b)Se dice que un conjunto $ P\in{F} $ es positivo (negativo) respecto a $ \lambda $ si $ \forall{A\in{F}} $ con $ A\subset{P} $ se tiene $ \lambda (A) \geq{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\lambda (A))\leq{0}) $

Spoiler

Observo que $ A=A\cap{P} $ sí y sólo si $ A\subset{P} $
Y, por ejemplo para P positivo
b) implica a): Supongo $ \forall{A\in{F}} $ con $ A\subset{P} $ se tiene $ \lambda (A) \geq{0} $ pero como $ A\subset{P} $ esto implica que $ \forall{A\in{F}} con $ $ A\subset{P} $ se tiene $ \lambda (A\cap{P}) \geq{0} $ de donde $ \forall{A\in{F}} $ sucede que $ \lambda (A\cap{P}) \geq{0} $

a) implica b) Supongo $ \lambda (E\cap{P})\geq{0} \, \forall{E\in{F}} $ llamo $ A=E\cap{P}\subset{P} $ así que $ \forall{A\in{F}} $ con $ A\subset{P} $ se tiene $ \lambda (A) \geq{0} $.

Análogamente para P negativo.

Les agradeceré si por favor pueden revisar lo que he escrito anteriormente es correcto, o también si me sugieren alguna forma de redactar de una mejor forma mi prueba, es que tengo una extraña sensación de que debería hacer algo más $:-\$

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Análisis Matemático / Re: Demostrar que f=g casi dondequiera

« en: 01 Octubre, 2016, 06:27 pm »

¡Gracias sus respuestas, me han ayudado bastante!

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Análisis Matemático / Demostrar que f=g casi dondequiera

« en: 30 Septiembre, 2016, 05:46 pm »

¡Buen día!

Tengo el siguiente ejercicio:
Sea $ f_n $ convergente en Lp a una $ f\in{Lp} $ y $ f_{n_k} $ sea una subsucesión de $ f_n $ que converge en Lp a g. Demostrar que f=g casi dondequiera.

Spoiler

Pensaba que si tenía cualquier subsucesión de $ f_n $ entonces debería de converger a la misma $ f\in{Lp} $ sin embargo no sabría cómo demostrar esta afirmación y estoy dudando de que sea cierta por la parte del ejercicio que dice que f=g casi dondequiera.

[cerrar]

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Análisis Matemático / Re: Función medible acotada casi dondequiera

« en: 28 Septiembre, 2016, 05:21 pm »

Ya me quedó claro. ¡Muchas gracias el_manco!

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Análisis Matemático / Función medible acotada casi dondequiera

« en: 28 Septiembre, 2016, 06:25 am »

¡Hola!

Tengo que si $ (X,F, \mu) $ es un espacio de medida fijo, se tiene $ \left\|{f}\right\|_\infty=ínf\{a>0: \mu(\{ x\in{X :\left |{f}\right |>a\})=0\}} $ y que si $ f\in{}L_\infty $ fija, entonces se cumple que:
a)$ I_f=\{a>0: \mu(\{ x\in{X :\left |{f}\right |>a\})=0\}} $ es igual al intervalo [$ \left\|{f}\right\|_\infty , + \infty $), si $ \left\|{f}\right\|_\infty >0. $

b) $ \left |{f(x)}\right |\leq{ \left\|{f}\right\|_\infty} $ casi dondequiera. Mas aún, si $ A< \left\|{f}\right\|_\infty $ entonces existe $ E\in{F} $ con $ \mu (E)>0 $ tal que $ \left |{f(x)}\right |\geq{A} $ para $ \forall{x\in{E}} $

La parte a) la he demostrado; pero la parte b) no se me ha ocurrido, como sugerencia para probar b) debo aplicar a); pero yo no logro ver como es que b) se sigue de a) o algún otro camino para probar b) ¿Me podrían ayudar con esto por favor?

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Análisis Matemático / Re: Función integrable y conjuntos de medida finita

« en: 28 Septiembre, 2016, 03:30 am »

Cita de: EnRlquE en 26 Septiembre, 2016, 10:25 pm

Hola mapa.

$ \bullet $ Sí, tienes que agregar bastante. Lo que llevas hecho es la justificación de que los conjuntos que tenemos que estudiar son medibles, pero el problema pide probar en la parte a, que el conjunto tiene medida finita y en la parte b, que el conjunto es unión numerable de conjuntos de medida finita. Es decir hay que de cierta forma estimar las medidas de los conjuntos, aquí es donde se usa fuertemente la hipótesis de la integrabilidad de la función $ f. $

Por otro lado, lo que haces en la parte b estaría mejor si en lugar de $ \color{red}|f(x)| $ escribieras únicamente $ \color{blue}f(x) $ (sin el valor absoluto), de otro modo tienes conjuntos sin elementos, en concreto $ \{x\in X:\;|f(x)|<\alpha\}=\emptyset $ para todo $ \alpha\geq0 $ por la definición de valor absoluto. Sin embargo para el problema es importante que observemos la igualdad $ \{x\in X:\;f(x)\neq0\}=\{x\in X:\;|f(x)|>0\}. $

Totalmente de acuerdo.

Cita de: EnRlquE en 26 Septiembre, 2016, 10:25 pm

$ \bullet $ Te doy brevemente algunas indicaciones:

En la parte a, si denotamos por $ A_{\alpha}:=\{x:\;|f(x)|\geq\alpha\} $ observa que $ \int_{A_{\alpha}}f\,d\mu\leq\int_{X}f\,d\mu<+\infty. $ Además de la definición de $ A_{\alpha} $ se deduce que $ \alpha\mu(A_{\alpha})\leq\int_{A_{\alpha}}f\,d\mu $. Combina esto y obtén que $ \mu(A_{\alpha})<+\infty. $

En la parte b, usando la notación que acabamos de establecer, prueba que $ \{x:\;|f(x)|>0\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{1/n} $ y usa la parte anterior para concluir.

Intenta completar todos los detalles y si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Por supuesto, intentaré completar los detalles. ¡Muchas gracias Enrique!

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Análisis Matemático / Función integrable y conjuntos de medida finita

« en: 26 Septiembre, 2016, 09:20 pm »

¡Buen día!

Estoy tratando de demostrar lo siguiente: Si $ f \in{L}=L(X,F, \mu) $ (esto es, f es integrable) y $ \alpha>0 $ entonces
a) $ \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |\geq{\alpha}}\} $ tiene medida finita.
b) $ \{x\in{X: {f(x)}\neq{0}{}}\} $ es unión numerable de conjuntos con medida finita.

He intentado probar dichas afirmaciones de la manera siguiente:

Spoiler

a) Por hipótesis f es integrable, entonces su valor absoluto también lo es y al ser integrable entonces es medible, lo cual es equivalente a que para cualquier $ \alpha \in{\mathbb{}} $ se cumpla que $ \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |\geq{\alpha}}\}\in{F} $, en particular para los $ \alpha>0 $ se tiene que $ \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |\geq{\alpha}}\}\in{F} $
b)Por hipótesis f es integrable, luego medible y por ello sucede que para cualquier $ \alpha \in{\mathbb{}} $ se cumple que $ \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |<{\alpha}}\}\in{F} $ y para cualquier $ \alpha \in{\mathbb{}} $ se cumple que $ \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |>{\alpha}}\}\in{F} $. En particular para $ \alpha=0 $ se tiene que
$ \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |<{0}}\}\in{F} $ y $ \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |>{0}}\}\in{F} $ luego la unión de estos dos conjuntos también pertenecerá a F.

No estoy segura de que esto sea suficiente para concluir ¿Tengo que corregir o agregar algo?

[cerrar]

.

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Análisis Matemático / Re: Espacios Lp

« en: 26 Septiembre, 2016, 08:53 pm »

Ya veo, ¡Muchas gracias Enrique!

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Análisis Matemático / Re: Función integrable

« en: 25 Septiembre, 2016, 05:42 pm »

Antes que nada, ¡muchas gracias Enrique!

Cita de: EnRlquE en 25 Septiembre, 2016, 05:04 am

En el enunciado de tu pregunta tienes un error de tipeo, deber ser $ \mu({\color{blue}X}) $ en lugar de $ \mu({\color{red}x}) $, porque se está hablando de la medida de todo el espacio $ {\color{blue}X} $.

De acuerdo, lo corregiré en un momento.

La parte a) ya me quedó clara; pero la parte b) no del todo, la voy a leer con cuidado por otro tiempo más.

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Análisis Matemático / Re: Espacios Lp

« en: 25 Septiembre, 2016, 05:32 pm »

Disculpa Enrique, no conozco la propiedad que me mencionas. ¿Me podrías explicar un poco mas sobre esta parte por favor? ¿Alguna sugerencia para demostrarla?

Y una vez que se demuestre dicha propiedad, tampoco veo claramente cómo concluir a partir de ello ¿habría que expresar a la integral que me dan como la suma de ocho integrales para aplicar la propiedad?

¡Gracias!

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Análisis Matemático / Espacios Lp

« en: 25 Septiembre, 2016, 02:20 am »

¡Hola!
¿Me pueden orientar con este ejercicio por favor?
Si $ f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 3]{x}} $ debo demostrar que
$ f\in{Lp([0,8])} $ si $ 1\leq{p}<3 $ pero
$ f\not\in{}{Lp([0,8])} $ si $ p\geq{3} $.

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Análisis Matemático / Función integrable

« en: 25 Septiembre, 2016, 02:15 am »

¡Hola!
Espero que me puedan ayudar a demostrar el siguiente resultado por favor:

Si $ f_n \in{L}=L(X,F, \mu) $ (esto es, $ f_n $ es integrable), converge uniformemente a una $ f:X\rightarrow{\mathbb{R}} $ y $ \mu({\color{red}X})<\infty $ entonces:
a)$ f\in{L} $ y $ \displaystyle\int_{}^{}fd\mu=\displaystyle\lim_{\displaystyle\int_{}^{}f_nd\mu}{} $
b)Si no se supone $ \mu({\color{red}X})<\infty $ entonces a) no siempre es cierto.

Spoiler

Para el a) Estaba pensando en usar el Teorema de la convergencia dominada o de Lebesgue; pero no estoy muy segura sobre ello.

[cerrar]