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Muchísimas gracias  el_manco!  :)
Ahora ya comprendo dicho método, te agradezco los detalles hechos de manera analítica y los dibujos, me han sido demasiado útiles.

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Antes que nada, muchas gracias por la respuesta! 

 Y por ejemplo, usando el método de las transformaciones hice (inicialmente):
Fijo \( X=x \) con \( 0\leq{x}\leq{1} \) luego llamo \( h^{-1}(u)=u-x \) cuya derivada con respecto de \( u \) es uno. De manera que \( f (y_1,h^{-1}(u))=u \).

Finalmente hice la integral \( \displaystyle\int_{0}^{1}f (x,h^{-1}(u))dx=u \)

  Ya me percaté de que esto no es correcto y udando este método, después de un tiempo he corregido y llegué al mismo resultado que me mencionas.

  Sin embargo,  ahora indico lo que hice por el método de la función de distribución: fue solamente considerar una integral y no la separé en los dos casos que me indicas. El área de integración fue el triángulo con vértices (0,0) (0,1) y (1,0).  Estaba reflexionando acerca del por qué debo hacer las integrales que me indicas ( me parece que la región de integración es un cuadrado y que lo que estaba trabajando yo era solo el caso u <1); pero no me queda muy claro en qué situaciones deberé de considerar mas de un caso, pues para el método de transformación se nota cuando se imponen las  condiciones  de que la imagen de la función inversa de h debe estar dentro del dominio de la función conjunta que me dan para  \( X \) y  \( Y \)

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¡Hola!
Estoy tratando de resolver lo siguiente:
Sean \( X,Y  \)variables aleatorias con función de densidad conjunta: \( f(x,y)=\begin{cases} x+y & \text{si}& 0\leq{x}\leq{1}; 0\leq{y}\leq{1}\\0 & \text{si}& otro \ caso\end{cases} \)

Debo obtener la función de densidad de probabilidad para \( U=X+Y \)

El problema que tengo es que he intentado por dos métodos distintos:
1 calcular la función de distribución de U y luego derivarla.
2 Método de tranformaciones.

Y en ambos casos llego a que la función de densidad de probabilidad para \( U=X+Y \)
es f(u)=u para \( 0\leq{u}\leq{2} \) Pero claramente al integrar de cero a dos no resulta dar uno y por ello esta no puede ser la función de densidad deseada.

Dado que he hecho esto por dos procedimientos diferentes y he llegado a la misma función, entonces, sospecho que tomado mal el dominio  \( 0\leq{u}\leq{2} \) pues si fuera \( 0\leq{u}\leq{1} \) ya podría considerarla como la función de densidad de probabilidad de U; pero si este fuera el caso ¿Por qué habría de considerar ese dominio y no el que propongo al inicio?


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Muchísimas gracias!

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me parece que debería de salir, sin más que ir aplicando las definiciones y algún resultado que ya tengas probado que te "acelere" la prueba.

Te sería útil tener en cuenta que el producto de funciones simples es una función simple y los teoremas de convergencia monótona y/o dominada.

Disculpa; pero no logro identificar resultado alguno que "acelere" la prueba y de hecho no escribí avances por la misma razón. Sinceramente,  aunque las indicaciones que me das son precisas; aún no logro "aterrizarlo en papel".  :-[

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¡Hola!
Espero que me puedan ayudar con lo siguiente por favor, tengo el enunciado:
Sean \( (X,F, \mu) \) y \( (Y,G,\nu) \) dos espacios de medida y sean, f integrable en \( (X,F, \mu) \) y g integrable en \( (Y,G,\nu) \).  Si \( h(x,y)=f(x)g(x) \) y \( \pi=\mu \times \nu \). Me piden demostrar que h es \( \pi-integrable \) en \( Z:=X \times Y \) y además \( \displaystyle\int_{Z}^{}h d \pi=(\displaystyle\int_{X}^{}f d \mu) (\displaystyle\int_{Y}^{}g d \nu) \) (En caso de que sea necesario debo agregar alguna(s) hipótesis  para que se cumpla lo que mencioné antes).


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Voy a revisar y reflexionar otro rato toda la demostración. ¡Te agradezco mucho el_manco!
Además siempre es bueno tener una idea geométrica sobre lo que se hace, así que la aportación del dibujo me será bastante útil, de nuevo. ¡Muchas gracias!

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¡Buen día!
Disculpen, me he perdido al estar revisando mis notas del curso, quisiera que por favor me ayuden a completar los detalles con la siguiente demostración:

Sean F, G álgebras de subconjuntos (no vacíos) de X e Y respectivamente. Sean (X, F) y (Y,G) dos espacios medibles de álgebras. Definimos un rectángulo en el producto \( H:=\{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}: A_j\in{F}\;y\; B_j\in{G}\; , n\in{\mathbb{N}}\} \). Lo que se quiere demostrar es que explícitamente puede escribirse todo elemento de H como unión finita ajena.

Para ello consideramos lo que les muestro a continuación:
Spoiler
Consideramos el conjunto de todas las n-tuplas \( p=(p_1,\ldots , p_n) \) con \( p_j\in{\{0,1\}}\;\;j=1,\ldots , n \) el cual tiene \( 2^n \) elementos. Luego escribimos:
\( A^{(p)}:=\cap_{p_j=1}{A_j  \setminus \cup_{p_j=0}{A_j}} \)

*Se tiene que: \( A^{(p)}\cap{A^{(p')}}=\emptyset\;si \; p\neq{p'} \) *
Luego \( A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{A^{(p')}\times B^{(q')}}=\emptyset si \; p\neq{p'}\; o  \; q\neq{q'} \).

Para cualquier \( x\in{X} \) se define \( p_j(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }& x\in{A_j}\\0 & \text{si}& x\not\in{{A_j}}\end{cases} \) para \( p=1, \ldots, n \) y \( p(x):=(p_1(x),\ldots , p_n(x)) \) entonces por definición de \( A^{(p)} \), \( x\in{A^{(p(x))}} \) y similarmente \( y\in{B^{(q(y))}} \) para \( y\in{Y} \) con \( p_j(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }& y\in{B_k}\\0 & \text{si}& y\not\in{{B_k}}\end{cases} \) para \( k=1, \ldots, n \)

*Por ello \( \cup_{(p,q)}{A^{(p)} \times B^{(q)}}=X\times Y\; \) *
y es  unión ajena porque si \( (x,y)\in{A^{(p)} \times B^{(q)}} \) y \( (x,y)\in{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}} \), se tiene  que existe \( j_0 \) tal que \( p_{j_0}(x)=1=q_{j_0}(y) \) y entonces

*cuando \( (x',y')\in{X\times Y} \; sucede \;que (x',y')\in{A^{(p)} \times B^{(q)}}\Leftrightarrow{p(x')=p \;\;y \;\; p(y')=q}\Rightarrow{(x',y')\in {\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}\; \) *

Luego, para todos los (p,q) se tiene:

*  \( A^{(p)} \times B^{(q)}\subset{\cup_1^n{(A_j \times B_j)}}\; \) ó
\( A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}=\emptyset\; \)  *

Escribimos \( S:=\{(p,q):A^{(p)} \times B^{(q)}\subset{\cup_1^n{(A_j \times B_j)}}\}  \) y \( S':=\{(p,q):A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}=\emptyset\;\}  \)

*Entonces \( \cup_1^n{(A_j \times B_j)}=\cup_{(p,q)\in{S}}{A^{(p)} \times B^{(q)}} \)  *
[cerrar]
Las partes que he encerrado entre * son aquellas en las que tengo dificultad para probar esos detalles.  :(

Espero me puedan ayudar con esto. ¡Gracias!

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Estructuras algebraicas / Re: Subgrupos normales
« en: 03 Noviembre, 2016, 04:49 am »
Les agradezco!

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Estructuras algebraicas / Re: Subgrupos normales
« en: 02 Noviembre, 2016, 01:27 am »
Disculpa, tengo una duda, pues  no comprendo por qué \( [HN:H] \)es un divisor de \( |N| \). Me podrías aclarar esa parte por favor?

Luego de lo que me indicas sí veo cómo concluir.
Muchas gracias!

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Agradezco sus respuestas!
Ya noté que Tanius tiene razón sobre que lo que mencioné en un principio es falso.

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Estructuras algebraicas / Subgrupos normales
« en: 01 Noviembre, 2016, 06:33 pm »
¡Buen día!

Tengo el siguiente ejercicio: Sean H y N subgrupos de un grupo G tales que N es normal en G, \( \left |{N}\right | <\infty \),  \( [G:H]<\infty \) y  \( ([G:H], \left |{N}\right |)=1 \). Probar que N es subgrupo de H.

Observo que como N y H ya son subgrupos de G entonces para demostrar que N es subgrupo de H, bastaría probar que \( N\subseteq{H} \).

¿Alguna sugerencia que me puedan dar para comenzar la prueba?

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¡Buen día!
Debo demostrar que si el conjunto \( (a,\infty) \) es la unión de una familia numerable de intervalos \( (a_n, b_n) \) entonces \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\ell ((a_n, b_n])}=+\infty \).

Lo único que se me ocurrió fue que debería haber un intervalo de la forma \( (a_k, \infty) \) (o sea con longitud infinita) y por ello entonces la suma de las longitudes será infinita; pero no me parece que esto realmente sea un avance.  :-\  No sé cómo debería probarlo de manera formal ¿Me podrían ayudar por favor?

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Análisis Matemático / Re: Álgebra de subconjuntos
« en: 31 Octubre, 2016, 06:50 am »
De acuerdo Enrique, lo revisaré con calma. Gracias!

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Análisis Matemático / Álgebra de subconjuntos
« en: 29 Octubre, 2016, 09:21 pm »
Hola!
Me podrían ayudar con el siguiente ejercicio por favor?
Sea X conjunto arbitrario (no vacío) y \( m : P (X)\rightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( 0\leq{m(E)}\leq{m(E\cup{F)}}\leq{m(E)+m(F)} \)

\( \forall{E,F}\in{P((X)} \)

Sea S la colección de todos los subconjuntos de E tales que \( m(A)=m(A\cap{E})+m(A\E) \) para \( \forall{A\subset{X}} \). Si S es no vacío,  entonces S es un álgebra y m es aditiva en S.

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Análisis Matemático / Re: Medida con signo.
« en: 19 Octubre, 2016, 01:56 am »
Hola mapa.

 No tengo claro con qué tipo de medidas estas trabajando, pues indicas que \( \lambda^{+} \) y \( \lambda^{-} \) son medidas finitas (ambas). Pero esto en general no es verdad. Dada una medida con signo \( \lambda:X\to\bar{\mathbb{R}} \) es usual definirla de modo que no asuma los valores \( +\infty \) y \( -\infty \) a la vez. Entonces si por ejemplo asumimos que \( \lambda(E)>-\infty \) para todo \( E\in S \) lo que se deduce es que la medida \( \lambda^{-} \) es finita, pero no necesariamente \( \lambda^{+} \) va a ser finita. Y en general, dada cualquier medida con signo \( \lambda \) sólo podemos asegurar que una de las medidas \( \lambda^{+} \) o \( \lambda^{-} \) es finita. Puedes das una mirada a las páginas \( 135-136 \) de este libro para ver más detalles.

 Entonces respecto a tus preguntas

\( a) \) No se bien qué quieres decir con que \( \lambda \) sea acotada. De la descomposición de Jordan de \( \lambda \) se deduce que si \( |\lambda|=\lambda^{+}+\lambda^{-}, \) entonces \( |\lambda(E)|=|\lambda^{+}(E)-\lambda^{-}(E)|\leq\lambda^{+}(E)+\lambda^{-}(E)=|\lambda|(E), \) para cualquier \( E\in S. \) Tal vez sea esto lo que buscas.

Sí, ¡muchas gracias! revisaré el libro que me compartes.

\( b) \) Observa que si \( F\subset E, \) entonces \( F\cap P\subset E\cap P. \) Luego \( \lambda^{+}(F)\leq\lambda^{+}(E). \) Entonces, como siempre \( \lambda(F)\leq\lambda^{+}(F), \) concluimos que \( \lambda(F)\leq\lambda^{+}(E). \) Por otro lado, considerando \( F:=E\cap P\subset E \) se tiene \( \lambda(F)=\lambda(E\cap P)=\lambda^{+}(E). \)

\( c) \) Es análogo a lo anterior.

Si tienes alguna duda, pregunta.

De acuerdo, y de nuevo ¡muchas gracias!

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Análisis Matemático / Re: Variación total
« en: 19 Octubre, 2016, 01:39 am »
¡Gracias Enrique! Ya lo veo claro.

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Análisis Matemático / Medida con signo.
« en: 17 Octubre, 2016, 01:04 am »
¡Hola!

Si \( \lambda \) es una medida signada en (X,S) debo demostrar que:
a) \( \lambda \) es acotada
b) \( \lambda ^+(E)=sup\{\lambda(F): \, \, F\subset{E}, \, \, F\in{S}\} \)
c) \( \lambda ^-(E)=ínf\{\lambda(F): \, \, F\subset{E}, \, \, F\in{S}\} \)

¿Me podrían ayudar con esto por favor?

Tengo que por definición, que si \( \lambda \)  es una medida signada en (X,S) con (P,N) una descomposición de Hahn, la variación positiva de \( \lambda \) definida por E en S es la medida finita \( \lambda ^+(E):= \lambda (E\cap{P}) \) y la variación negativa de \( \lambda \) definida por E en S es la medida finita \( \lambda ^-(E):=-\lambda (E\cap{N}) \)

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Análisis Matemático / Variación total
« en: 17 Octubre, 2016, 12:52 am »
¡Hola!
Hay un ejercicio que necesito probar y dice que si (X,S) es un espacio de medida y \( \lambda \) es una medida con signo. Sucede que la variación total de un conjunto M es igual a cero sí y sólo si el conjunto M es nulo.

Ya probé una implicación; pero la otra no logro completarla. Lo que me falta es suponiendo la variación total de un conjunto M es igual a cero demostrar que el conjunto M es nulo.

Spoiler
Sea (P,N) una descomposición de Hahn para \( \lambda \)
Supongo que a variación total de un conjunto M es igual a cero, entonces usando la definición he llegado a que la variación positiva es igual al negativo de la variación negativa, esto es, \( \lambda(M\cap{P})=\lambda(M\cap{N}) \) y usando que P es positivo y N es negativo obtengo \( \lambda(M\cap{P})=0=\lambda(M\cap{N}) \) pero no logro probar que esto implique que M es un conjunto nulo pues para ver que un conjunto es nulo tengo lo que muestro a continuación:

cuento con una equivalencia entre las siguientes proposiciones:
Si (X,S) es un espacio medible y \( \lambda \) una medida, entonces
a)Se dice que un conjunto \( M \in{S} \) es nulo respecto a \( \lambda \) si \( \lambda (E\cap{M})={0} \, \forall{E\in{S}} \)

b)Se dice que un conjunto \( M\in{S} \) es nulo respecto a \( \lambda \) si \( \forall{C\in{S}} \) con \( C\subset{M} \) se tiene \( \lambda (C)={0} \)

¿Cómo debería concluir?
[cerrar]

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Estructuras algebraicas / Re: Grupo cíclico
« en: 17 Octubre, 2016, 12:19 am »
¡Agradezco sus respuestas!  :)

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