Consideramos el conjunto de todas las n-tuplas \( p=(p_1,\ldots , p_n) \) con \( p_j\in{\{0,1\}}\;\;j=1,\ldots , n \) el cual tiene \( 2^n \) elementos. Luego escribimos:
\( A^{(p)}:=\cap_{p_j=1}{A_j  \setminus \cup_{p_j=0}{A_j}} \)

*Se tiene que: \( A^{(p)}\cap{A^{(p')}}=\emptyset\;si \; p\neq{p'} \) *
Luego \( A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{A^{(p')}\times B^{(q')}}=\emptyset si \; p\neq{p'}\; o  \; q\neq{q'} \).

Para cualquier \( x\in{X} \) se define \( p_j(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }& x\in{A_j}\\0 & \text{si}& x\not\in{{A_j}}\end{cases} \) para \( p=1, \ldots, n \) y \( p(x):=(p_1(x),\ldots , p_n(x)) \) entonces por definición de \( A^{(p)} \), \( x\in{A^{(p(x))}} \) y similarmente \( y\in{B^{(q(y))}} \) para \( y\in{Y} \) con \( p_j(x)=\begin{cases} 1 & \text{si }& y\in{B_k}\\0 & \text{si}& y\not\in{{B_k}}\end{cases} \) para \( k=1, \ldots, n \)

*Por ello \( \cup_{(p,q)}{A^{(p)} \times B^{(q)}}=X\times Y\; \) *
y es  unión ajena porque si \( (x,y)\in{A^{(p)} \times B^{(q)}} \) y \( (x,y)\in{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}} \), se tiene  que existe \( j_0 \) tal que \( p_{j_0}(x)=1=q_{j_0}(y) \) y entonces

*cuando \( (x',y')\in{X\times Y} \; sucede \;que (x',y')\in{A^{(p)} \times B^{(q)}}\Leftrightarrow{p(x')=p \;\;y \;\; p(y')=q}\Rightarrow{(x',y')\in {\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}\; \) *

Luego, para todos los (p,q) se tiene:

*  \( A^{(p)} \times B^{(q)}\subset{\cup_1^n{(A_j \times B_j)}}\; \) ó
\( A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}=\emptyset\; \)  *

Escribimos \( S:=\{(p,q):A^{(p)} \times B^{(q)}\subset{\cup_1^n{(A_j \times B_j)}}\}  \) y \( S':=\{(p,q):A^{(p)} \times B^{(q)}\cap{{\cup}_{j=1}^{n}{(A_j \times B_j)}}=\emptyset\;\}  \)

*Entonces \( \cup_1^n{(A_j \times B_j)}=\cup_{(p,q)\in{S}}{A^{(p)} \times B^{(q)}} \)  *