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¡Hola!
¿Podrían ayudarme este problema por favor?A
Sea A\( \subseteq{\mathbb{R}^n} \)
Demostrar que si para todo épsilon>0  existe una cubierta {V_i \}_{i=1}^{\infty} de A por conjuntos Jordan-medibles tales que lasuma de los volúmenes de los V_i<épsilon
entonces A es de medida cero.

Me han definido lo siguiente:
Conjunto Jordan-medible es un conjunto acotado cuya frontera tiene medida cero.
Un conjunto se dice de medida cero si para todo épsilon>0 existen a lo más una cantidad numerable de rectángulos (abiertos o cerrados) tales que cubren a A y la suma de los volúmenes de dichos subrectángulos es menor que épsilon.


Algunos resultados que ya puedo usar:

1. Un conjunto B es de medida cero si: B es a lo más numerable
2. Un conjunto B es de medida cero si: vol(B)=0=la integral Riemann de la función característica  de B sobre un rectángulo S, donde B está contenido en el interior de S y B es Jordan-medible.
3. Todo subconjunto de un conjunto de medida cero es de medida cero.
4. Si B,C son Jordan-medibles con B subconjunto de C, entonces vol(A)<=vol(B)


Hice algunos intentos; pero no llegué a concluir pues como lo abordé note que usando los resultados 2 y 4 se concluye lo deseado pero para poder aplicarlos necesitaría ver que A es Jordan-medible, pude ver que A es acotado; pero no puedo probar que la frontera de A es de medida cero.
¿Qué me sugieren? ¿Hay que tomar otro camino?

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¡Hola!
¿Podrían orientarme sobre este ejercicio por favor?
Sea T: R^3 -> R^3 el operador lineal cuya matriz asociada, respecto a la base canónica, es la matriz:

      1 b 1
A = 0 1 0
      a 0 a
i) ¿Bajo qué condiciones de a y b es diagonalizable T?
ii) ¿Bajo qué condiciones de a y b es el subespacio W={(x,y,z) en R^3: x+z=0} es T-invariante?

Para i) intenté hallar el polinomio característico, para después encontrar los espacios propios; pero no creo que sea el camino correcto porque de polinomio característico obtuve:

c(x)=2a-(3a+1)x-(2+a)x^2-x^3

y no veo cómo factorizarlo. No comprendo cómo hallar todos los subespacios T-invariantes y su relación con la diagonalización.

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¡Hola!

¿Podrían ayudarme con esta demostración por favor?

Sea [tex]V[/tex] un espacio vectorial de dimensión [tex]n[/tex]. Demuestre que [tex]T: V \rightarrow V[/tex] tiene una representación matricial triangular si y sólo si existen subespacios [tex]T[/tex]-invariantes, [tex]W_1\subseteq W_2 \subseteq\ldots \subseteq W_n=V[/tex] tales que [tex]\dim(W_k)=k[/tex] para [tex]k=1,\dots, n[/tex].

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Cálculo de Varias Variables / Oscilación de función
« en: 08 Noviembre, 2015, 10:39 pm »
¡Hola!
Sean \(  A,B \subseteq{\mathbb{R}^n} \) y sea \( f:A\cup{B\rightarrow{\mathbb{R}}} \) debo probar que:

{\( \vec{x}\in{A\cup{B}} : o(f,\vec{x})>0 \)}\( \subseteq{} \) {\( \vec{x}\in{A} : o(f,\vec{x} \))>0}\( \cup{} \){\( \vec{x}\in{B} : o(f,\vec{x} \))>0}\( \cup{}\partial A \cup{}\partial B \).


65
¡Hola!
Debo demostrar que todo subespacio propio de \( \mathbb{R}^n  \)  de dimensión k es la gráfica de una transformación lineal \( T:\mathbb{R}^k \rightarrow{\mathbb{R}} \).

66
¡Hola!
Tengo dificultad para resolver esto:

a) verificar que para una matriz A de tamaño 2x2 se cumple que el polinomio característico se puede escribir como:
\( c(k)=k^2-Tr(A) k+det(A) \) donde Tr(A)= Traza de A y det(A)= Determinante de A.

b) generalizar este hecho para una matriz de tamaño nxn.
c) Probar que si \(  \lambda _1 , \ldots , \lambda _n  \) es un conjunto de valores propios (incluyendo repeticiones) de la matriz A  de tamaño nxn entonces \( det(A)=\prod_{k=1}^{k=n}{ \lambda _k} \) y \( Tr(A)=\sum_{i=1}^n{ \lambda _i} \).

El inciso a) ya lo he verificado,
el inciso b) no logro hacer la generalización aunque noto que el término independiente debe ser el det(A)

c) He hecho las cuentas para n=2

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Matrices semejantes
« en: 25 Septiembre, 2015, 02:31 am »
¡Hola!

Tengo el siguiente ejercicio: Si A y B son matrices invertibles, demuestre que AB y BA  son semejantes. No hallo cómo resolverlo y además está dentro de la unidad de valores y vectores propios con lo cual no encuentro la relación.

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 ¡Hola!
¿cómo puedo demostrar la desigualdad del triángulo para \( d_p \) ?

El ejercicio dice así: Sean \( X=(X,d_X) \) y \( Y=(Y,d_Y) \) espacios métricos. Considere el producto cartesiano \( X\times{Y} \) y sea \( p\in{[1,\infty )} \). Dados \( (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in{X\times{Y}} \), definimos

\( d_p((x_1,y_1),(x_2,y_2))=(d_x(x_1,x_2)^p+d_y(y_1,y_2)^p)^{\frac{1}{p}} \).

Espero puedan ayudarme, ¡Gracias!

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¡Qué tal!
Necesito ayuda con este ejercicio:
Sea \( \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} a_n \) una serie convergente de números reales positivos. En el conjunto E de todas las sucesiones de números reales \( x=(x_n)_{n\in{\mathbb{N}}} \) definimos:
\( d(x,y)= \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} a_n \displaystyle\frac{\left |{x_n-y_n}\right |}{1+\left |{x_n-y_n}\right |} \).

Demostrar que d es una métrica en E.

La parte que me falta por demostrar es sólo la desigualdad triangular.

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¡Hola!
Disculpen, necesito resolver lo siguiente:

Sea \( T:\mathbb{R}^3\longrightarrow{}\mathbb{R}^3 \) una transformación lineal tal que:
\( T \) es diagonalizable y sólo tienen dos valores propios distintos.
\( T(U)=V \) donde \( U=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}: x-2y-z=0\} \) y \( V=<(1,0,1),(-1,1,1)> \)

\( a=-1 \) es uno de los valores propios de \( T \) y uno de sus vectores propios pertenece a \( U \).
\( (1,0,-1) \) es un vector propio de \( T \) y está asociado a un valor propio simple.

a) Hallar la matriz \( A \) de \( T \) en la base canónica, en función de cuantos parámetros sea necesario.
b) Si en \( \mathbb{R}^3 \) se cnsidera el producto escalar canónico, determinar \( T \) para que sea ortogonalmente diagonalizable.


A continuación lo que pensé es: Como la dimensión del espacio \( V=\mathbb{R}^3 \) es 3 y T tiene sólo dos valor propios distintos alguno de ellos debe tener asociado a un único vector propio y el otro a dos vectores propios linealmente independientes, pues de lo contrario T no sería diagonalizable.

Como \( a=-1 \) es valor propio y tiene asociado un vector propio que pertenece a \( U \) tomaría un \( u\in U \) y debería hallar otro vector propio asociado a -1 que sea linealmente independiente con \( u \). ¿Pero cómo logro esto?
La verdad no noto si eso serviría pero es lo que se me vino a la cabeza, ¿Sugerencias...?

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Espacio dual y base
« en: 11 Julio, 2015, 10:08 pm »
¡Buen día!
Necesito demostrar que si {\( u_1, u_2, ..., u_n \)} es cualquier base de un espacio vectorial V, entonces {\( u_1^*, u_2^*, ... , u_n^* \)} es base de \( V^* \).

Me han definido que dado un espacio vectorial V (real o complejo), se denomina espacio dual de V, al espacio vectorial \( V^* \) cuyos elementos son las formas lineales (funciones que van de V al campo del espacio vectorial). Y tengo un teorema que dice que si V es un espacio vectorial euclidiano con producto interno < , > entonces la aplicación\(  v^*(u):=<u,v> \) \( \forall{u}\in{V} \) es un isomorfismo canónico entre V y \( V^* \). Es toda la teoría con la que cuento sobre espacios duales.

Estaba pensando que como V es de dimensión finita se puede hallar una base ortonormal de V, digamos: B={\( v_1, v_2, ... , v_n \)} y luego en evaluar a cada uno de los elementos de {\( u_1^*, u_2^*, ... , u_n^* \)} en los elementos de B; pero no llegué a nada concreto. Así que solicito su apoyo.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Formas canónicas.
« en: 24 Junio, 2015, 07:31 am »
¡Hola!
Necesito decidir a cuáles de las formas canónicas (triangular, nilpotente, diagonal o de Jordan) se puede llevar el endomorfismo T y encontrarlas especificando la matriz cambio d base.
Tengo definido el endomorfismo como \( T:\mathbb{R}^9\longrightarrow{\mathbb{R}^9} \) dado por:
\( T(e_1)=3e_1+e_2 \)
\( T(e_2)=e_1+4e_2+e_3 \)
\( T(e_3)=e_1+e_2+4e_3+e_4 \)
\( T(e_4)=e_1+e_2+e_3+4e_4+e_5 \)
\( T(e_5)=-17e_1-23e_2-17e_3-9e_4 \)
\( T(e_6)=-4e_6+e_7 \)
\( T(e_7)=-4e_7+e_8 \)
\( T(e_8)=-4e_8+e_9 \)
\( T(e_9)=-e_6-4e_7-6e_8-8e_9 \)

donde los \( e_i \) son los vectores canónicos de \( \mathbb{R}^9 \)
Lo que he visto en teoría es el polinomio mínimo, polinomio característico, espacios T-invariantes, espacio cociente de un espacio vectorial y algunos resultados relacionados con los temas anteriores.

Así que intenté primeramente hallar el polinomio mínimo de T, de la forma siguiente: Busqué un polinomio que anulara a cada elemento de la base
 
\( T(e_1)-3e_1=e_2 \)
\( T(e_2)-4e_2=e_1+e_3 =T(T(e_1)-3e_1) \)

etc. haciendo varias sutituciones entre las igualdades para que todo quedara en términos de un sólo vector para dspués encontrar un polinomio que anulara a cada elemento encontré que \( m_1(x)=x^5-12x^4+43x^3-70x^2-20x+46 \) anularía a los vectores \( e_1,\ldots  ,e_5 \) y que \( m_2(x)=x^4+20x^3+70x^2+380x+817 \) anularía a los vectores \( e_6,\ldots  ,e_9 \).  Pero vi muy complicado continuar ya no supe qué hacer, entonces busqué otra forma de comenzar, haciendo la representación matricial de T con respecto a la base canónica de \( \mathbb{R}^9 \) para obtener el polinomio característico pero calcular el determinante de la matriz es también un poco espantoso. ¿Siempre debo hallar primero los valores y vectores propios para llevar a una matriz a su forma canónica (triangular, nilpotente, diagonal o de Jordan)?

¿Para hallar la forma triangular siempre se tiene que trabajar con espacios cociente es que no veo qué hacer en este caso?  ???

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Regreso a molestar, ahora con esto:
Me piden que para cada \( n\in{N} \) construya dos subconjuntos A y B de \( \mathbb{R}^n \) no acotados e infinitos tal que cumplan \( A^d=\emptyset \) ó  \( B^d\neq{}\emptyset \)

¿Me ayudarían a proponer los conjuntos por favor?
Lo único que se ocurrió fue tomar \( B=\mathbb{R} \) es infinito y no acotado su conjunto derivado es no vacío; pero como dice construya para cada n en los naturales, creo que estoy mal. Del conjunto A no tengo ni idea.  :(

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Análisis Matemático / Conjunto abierto
« en: 04 Junio, 2015, 05:17 pm »
¡Qué tal!
Se me dificultan los ejercicios sobre demostrar que un conjunto es abierto, en particular uno de ellos es el siguiente:

A={\( (x,y)\in{\mathbb{R}^2} | 3x^2+5y^2> \pi \)}

Observo que este es el exterior de una elipse. Entonces para que sea abierto \( \forall{(x,y)\in{A}} \) debe existir r>0 talque \( B((x,y),r)\subseteq{A} \) ¿Pero cómo encuentro el r que me sirve?

Pensé en tomar un \( (x,y)\in{A} \) y sacar su distancia a la elipse \( 3x^2+5y^2= \pi \) para tomarla como r; pero ya no supe cómo calcular dicha distancia. Es que tengo otros ejercicios donde me encuentro con otros problemas similares (pensando en calcular distancias de puntos a elipses, hipérbolas, etc. para ver que son conjuntos abiertos y no lo he logrado) así que tal vez no sea el camino adecuado.

¿Saben alguna otra forma de demostrarlo o cómo obtengo dicha distancia?

75
¡Hola!
Necesito demostrar la propiedad arquimediana:(Para \( a \in{\mathbb{R}} \exists{N}\in{\mathbb{N}} \) tal que N>a) aplicando el Teorema de Bolzano-Weierstrass (Todo conjunto infinito y acotado  tiene un punto de acumulación.) ¿Podrían ayudarme por favor?

76
¡Hola!
Me ayudarían a encontrar los de adherencia y acumulación de los siguientes conjuntos por favor:
A={\( (x,y,z)\in{\mathbb{R}^3}: (y^2-x^2)<1 \) & z=-6}
B={\( (x,y,z)\in{\mathbb{R}^3}: (y^2-x^2)<1 \) & \( z\in{[0,1]\cap{\mathbb{Q}}} \)}
C={\( (x,y)\in{\mathbb{R}^2}:  x\in{}\mathbb{Q}  \) & \( y=x^2 \)}

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Análisis Matemático / Clausura del producto cartesiano
« en: 17 Mayo, 2015, 11:39 pm »
¡Buen día!
Necesito demostrar la siguiente igualdad sobre la cerradura de conjuntos: \( \bar{A} \times \bar{B}=\overline{A\times B} \). ¿Alguna pista?
Es que ya me confundí, muestro lo que intentaba:
Para probar:
\( \bar{A} \times \bar{B}\supseteq{}\overline{A\times B} \)
Tomo \( \vec{x}=(a,b) \in{ \overline{A\times B}} \)  \(  \Rightarrow{}\vec{x} \) es punto adherente a \( A \times B \)  \( \Rightarrow{} \forall{r>0} B(\vec{x};r)\cap{A \times B}\neq{\emptyset} \) ¿Pero de aquí como continuo?
Para la otra contención hice algo similar: Tomo \( \vec{x}=(a,b) \in{\bar{A} \times \bar{B}} \Rightarrow{}a\in{\bar{A}} \) y \( b\in{\bar{B}} \) aplico la definición y obtengo \( \forall{r>0} B(a;r)\cap{A}\neq{\emptyset} \) y \( \forall{r>0} B(b;r)\cap{B}\neq{\emptyset} \) pero no sé cómo continuar.  :(

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Cálculo de Varias Variables / Conjunto abierto
« en: 26 Abril, 2015, 04:59 pm »
¡Buen día!

Estoy algo perdida en un ejercicio que dice así:

Sea \( S=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2} | xy>1\} \). Muéstrese que \( S \) es abierto.
Lo que hice fue primeramente observar que la gráfica de \( y=\displaystyle\frac{1}{x} \) es una hipérbola para darme cuenta que S es el conjunto formado por todos los puntos que están por debajo de la gráfica  \( y=\displaystyle\frac{1}{x} \) cuando \( x<0 \) y por los puntos que están arriba de la gráfica de \( y=\displaystyle\frac{1}{x} \) cuando \( x>0 \).

Y lo que quiero demostrar es que \( \forall{\vec{z}} \in{S} \), \( B( \vec{z},r)\subseteq{S} \).

Estaba pensando en proponer \( r=\min\{\left\|\vec{z}-(1,1)\right\|,  \left\|{\vec{z}}+(1,1)\right\|\} \) y de ahí debo ver que si \( \vec{w}=(x,y)\in B(\vec{z},r)\subseteq{S} \), entonces \( xy>1 \) pero no he logrado hacerlo. ¿Tienen alguna sugerencia? ¿O acaso el radio \( r \) que propongo no es el indicado?

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Cálculo de Varias Variables / Vectores ortogonales.
« en: 23 Abril, 2015, 03:27 am »
¡Qué tal!
Tengo el siguiente ejercicio:
Si \( \vec{x},\vec{y}\in{\mathbb{R}^n} \) \ \( {\vec{0}} \) entonces \( \vec{x} \) e \( \vec{y} \) son ortogonales si, y sólo si \(   \left\|{\vec{x}}\right\| \leq{} \left\|{\vec{x}+ \alpha \vec{y}}\right\| \). para cada \(  \alpha \in{\mathbb{R}} \).

La implicación que me falta por demostrar es suponiendo  \(   \left\|{\vec{x}}\right\| \leq{} \left\|{\vec{x}+ \alpha \vec{y}}\right\| \) para concluir que \( \vec{x} \) e \( \vec{y} \) son ortogonales.

Lo que intenté fue desarrollar pero en realidad no llegué a nada. Espero me puedan dar alguna pista.

80
¡Qué tal!

Necesito hallar las funciones F definidas a través de integrales.

a) \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^2} ( \displaystyle\frac{1}{2}+cost)dt \)

b) \( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} ( \sqrt[ ]{t}+1) dt \) con x>0

Hice lo siguiente:

a) Sea \( G(x)=2x \frac{1}{2}x+2x senx^2=x^3+2x senx^2  \) es una primitiva por el primer teorema fundamental del cálculo luego \( F(x)=G(x)+C \)  y por el segundo teorema fundamental del cálculo,como el integrando es continuo\(  F(x)=G(x^2)-G(0)=G(x^2)-0=\frac{{x^2}^2}{2}+2(x^2) sen{x^2}^2 \)

b)Sea \( H(t)=\displaystyle\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} +t  \) es una primitiva del integrando. Aplico el segundo TFC para obtener  \( F(x)=H(x)-H(1)=\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} +x -(\frac{2}{3}+1)=\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} +x -\frac{5}{3} \)

Espero me puedan ayudar a revisar si está bien, es que tengo montones de ejercicios similares.
¡Gracias!

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