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Análisis Matemático / Espacio de Banach
« en: 10 Mayo, 2016, 01:57 am »
¡Hola!
Debo demostrar lo siguiente:

Sean X,Y espacios vectoriales normados no triviales tal que L(X,Y) es de Banach (o sea, que la familia de todas las transformaciones lineales es de Banach). Entonces Y es de Banach.

Sé que como ya se tiene que Y es espacio vectorial normado, para ver que Y es de Banach, bastaría probar que Y es completo (que toda sucesión de Cauchy en Y converge en Y). Ojalá puedan ayudarme.

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¡Hola!
Tengo el siguiente ejercicio:
Sean X,Y espacios vectoriales normados. Sea \( T:X\longrightarrow{Y} \) transformación lineal acotada. Demostrar:

a) Si \( T^{-1} \) existe, no necesariamente es acotada.

b)Si existe b>0 tal que \(  \left\|{Tx}\right\|\geq{b \left\|{x}\right\|} \) para todo \( x\in{X} \), entonces \( T^{-1}:Y\rightarrow{X} \) existe y es acotada.

Cualquier pista, se los agradecería.

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Análisis Matemático / Subespacio que no es cerrado
« en: 25 Abril, 2016, 05:09 am »
¡Hola!
Tengo este ejercicio:
Sea \(  V:= \{(x_n)\in{\ell ^2}  \) tal que tiene sólo un número finito de vectores distintos de cero }
Demuestre que V es subespacio de \( \ell ^2 \) pero no es cerrado.

Aquí denoto con \( \ell^2 \) al espacio de sucesiones de números en \( \mathbb{C} \) tales que si \( x=(x_1,x_2, \ldots ) \) entonces \( \displaystyle\sum_{j=1}^\infty{(x_j)^2}<L \) con \(  \left\|{x}\right\|:=\sqrt[ ]{L} \).
 
Para la parte en la que tengo problemas para demostrar es la de demostrar que no es cerrado. ¿Alguna pista?

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Análisis Matemático / Subespacio de espacio vectorial normado
« en: 24 Abril, 2016, 07:33 am »
¡Hola!
Tengo este ejercicio:
Sea \( V \) un espacio vectorial normado sobre un campo \( \mathbb{K} \) y sea \( V' \) subespacio de \( V \). Sea \( x\in{V} \backslash \{0 \} \). Demuestre:
a) Si existe \( \lambda >0  \) tal que \( \{ y\in{V}:  \left\|{Y}\right\| < \lambda \} \subseteq{V'} \) entonces \( \lambda \frac{x}{ \left\|{x}\right\|}\in{V} \).

b) Si \( V' \) es abierto, entonces \( V'=V \)

Según yo el a) es falso pues si \( y= \displaystyle\frac{\lambda x}{x}= \lambda \) a menos que me haya equivocado al copiar el ejercicio y en lugar de \( \{ y\in{V}:  \left\|{Y}\right\| < \lambda \} \subseteq{V'} \) tuviera \( \{ y\in{V}:  \left\|{Y}\right\| \leq{} \lambda \} \subseteq{V'} \).

La parte b) no  logro ver por qué debiera ser cierta ni cómo probarla, ¿Pueden ayudarme con esto por favor?

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Análisis Matemático / Conjunto relativamente compacto
« en: 17 Abril, 2016, 03:15 am »
¡Qué tal!
Tengo el siguiente ejercicio:
Sean \( E=(E, d_1) \) y \( F=(F, d_2) \)  espacios métricos
Debo demostrar que A es relativamente compacto en \( E \times F \)  sí y sólo si \( \pi_1(A) \) es relativamente compacto en E y \( \pi_1(B) \) es relativamente compacto en F. Donde \( \pi_1, \pi_2 \) son las proyecciones sobre E y F respectivamente.

Tengo como definición de relativamente compacto, lo siguiente: Sea M espacio métrico y \( G \subseteq{M} \) abierto. Se dice que un subconjunto \( G*\subseteq{G} \) es relativamente compacto en G y se escribe \( G*\subset{\subset{}}G \) cuando \( \bar{G*} \) es compacta y \( \bar{G*}\subseteq{G} \).

Además cuento con un teorema (que realmente no si sirva de algo para probar este ejecircio o no) y dice: Sea \( K\subseteq{G} \subseteq{M} \) con K compacto y G abierto, entonces existe un conjunto abierto \( G* \) tal que \( K\subset{\subset{}}G \).

¿Me pueden orientar sobre cómo demostrarlo por favor?

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Análisis Matemático / Convergencia uniforme de serie de Taylor
« en: 16 Abril, 2016, 06:24 pm »
¡Hola!
¡Buen día!

Estoy intentando resolver el ejercicio siguiente:
Demostrar que \( \left |{x}\right | \) puede ser aproximada uniformemente en [-1, 1] por polinomios reales en la variable x. 


Indicación: Desarrolle en serie de Taylor alrededor del cero a la función \( f(t)=+\sqrt[ ]{1-t} \) con \( t\in{[-1,1]} \). Demostrar que \( f\in{\mathscr{C}^{\infty}} \) en [-1,1) y que su serie de Taylor es uniformemente convergente en compactos de [1,1) luego uniformemente continua en [-1,t].


He tratado de seguir las indicaciones que me dan en el enunciado:
Derivé y derivé  a la función \( f(t)=+\sqrt[ ]{1-t} \) para obtener su serie de Taylor, llegué a que dicha serie es \( \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n{\binom{1/2}{n}t^n} \) para \( t\in{[-1,1)} \) y esto  implica que f es infinitamente derivable  y por tanto todas sus derivadas son continuas. Así \( f\in{\mathscr{C}^{\infty}} \) en [-1,1)

De aquí ya no sé cómo demostrar que es uniformemente continua y que es uniformente convergente en compactos de [-1,1). Espero

puedan ayudarme a continuar.

47
¡Hola!
Sean E, F espacios méstricos y \( A\subseteq{E} \), \( B\subseteq{F} \) Debo demostrar que \( \delta (A \times B )= \delta A \times \bar{B} \cup{} \bar{A} \times \delta B \).


Sé que la frontera es igual a cerradura menos el interior del conjunto; pero no logro probar el resultado, cualquier sugerencia es bienvenida.

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Álgebra / Equivalencia función suprayectiva
« en: 13 Abril, 2016, 06:38 am »
¡Hola!
Estoy tratando de probar lo siguiente:
Si \( f:A\rightarrow{B} \) es función, entonces son equivalentes:
a) f es suprayectiva
b) Para toda función \( h:C \rightarrow{B} \) existe \( g:C\rightarrow{A} \) tal que  \( f\circ{g}=h \).

Ya he probado que b) implica a).

Para ver que \( a)\Rightarrow{b} \) hice:
Supongo \( f:A\rightarrow{B} \) es suprayectiva y sea \( h:C \rightarrow{B} \) defino:
\( g:C\rightarrow{A} \) dada por: \( g(c)=\begin{cases} f^{-1}(b) & \text{si}& b=h(c)\\ \end{cases} \) g estaría bien definida, pues \( f^{-1}:B\rightarrow{A} \) es inyectiva porque f  es suprayectiva; pero no estoy muy segura si con esto bastaría pues al hacer la composición \( f\circ{g}(c)=f(f^{-1}(h(c))=h(c) \) ¿pero cómo se realmente si el dominio de g es ya todo C? ¿Me falta algo o tengo que corregir alguna parte?

49
¡Hola!
Tengo el siguiente ejercicio:
Sea \( (M,d) \) espacio métrico y \( (\tilde{M},\tilde{d}) \) una completación de \( (M,d) \). Mostrar que \( (M,d) \) es separable sí y sólo si \( (\tilde{M},\tilde{d}) \).

¿Me podrían ayudar con la prueba por favor?

Primeramente sé que al ser \( (\tilde{M},\tilde{d}) \)  completación de \( (M,d) \) entonces \( (\tilde{M}, \tilde{d}) \) es un espacio métrico completo y existe una isometría \( \phi : M \longrightarrow{\tilde{M}} \) tal que \( \phi (M)  \)es densa en \( \tilde{M} \).

Y la definición dice que un espacio métrico  \( (M,d) \) es separable si contiene un subconjunto numerable denso entonces existe \( E\subseteq{M} \) tal que \( \bar{E}=M \).

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¡Hola!

Disculpen, no acabo de entender la definición que me han dado sobre métricas equivalentes. Sé que por definición \( d_1 \) es equivalente a \( d_2 \) si la identidad \( x\rightarrow{x} \) de \( M_1 \) sobre \( M_2 \) es un homeomorfismo. Me queda claro que el que sea un homeomorfismo significa que es una función continua con inversa continua; pero eso de la identidad entre espacios métricos no logro "aterrizarlo" a un caso concreto.

Digamos que si \( M_1=(\mathbb{R},d_1) \) y \( M_2=(\mathbb{R},d_2) \) con \( d_1(x,y)=\left |{x-y}\right | \) y \( d_2(x,y)=\left |{x^3-y^3}\right | \).

¿Debo probar que para todo \( x,y\in{\mathbb{R}} \) si defino la función que manda \( \left |{x-y}\right | a \left |{x^3-y^3}\right | \) es homeomorfismo? ¿O ya estoy revolviendo cosas?  No lo entiendo ¿qué viene siendo la identidad entre los espacios métricos?

51
¡Hola!
¡Qué tal!

Disculpen, me piden mostrar si es que se satisface las condiciones de Lipschitz para el ejemplo en 1) y 2).

Ejemplo: Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden  con coeficientes constantes.

1) \( y''+2ay'+by=0 \)

El sistema de 2 ecuaciones diferenciales ordinarias explícita de primer orden correspondiente es:
\( y'_0=y_1 \)
\( y'_1=-by_0-2ay_1 \)
Este sistema es lineal y puede escribirse como

2) \( Y'=AY \) donde \( Y=\displaystyle\binom{y_0}{y_1} \) , \( Y'=\displaystyle\binom{y'_0}{y'_1} \) y \( A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-b}&{-2a}\end{bmatrix} \)

Me han dado la siguiente definición:
Sea \( G\subseteq{\mathbb{R}^{n+1}} \) arbitrario. Sea \( f(x,Y) \) una función real definida en \( Y=(y_0, \ldots , y_{n-1})\in{G} \), esto es, \( f:G\rightarrow{\mathbb{R}} \) .Se dice que f satisface la condición de Lipschitz  si existe una constante real \( L\geq{0} \) tal que \( \left |{f(x,Y)-f(x,Y*)}\right |\leq{L} \left |{Y-Y*}\right | \)

Similarmente se define la condición de Lipschitz localmente.


Pero no comprendo, no logro "traducir" el ejemplo a la definición que me han proporcionado
¿quién sería G en el ejemplo?





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- Otros - / Demostración de igualdad con factorial
« en: 21 Marzo, 2016, 06:24 pm »
¡Hola!
¡Buen día!
Tengo un ejercicio donde me piden demostrar la igualdad:

\( \displaystyle\frac{(s-n)!}{(2s-2n)!}=\displaystyle\frac{(-1)^{n-s} (2n-2s)!}{(n-s)!} \) donde s y n son enteros con s<n.

Ya conozco la función gamma y me han definido el doble factorial; pero no logro ver cómo probar esta igualdad. Espero puedan darme alguna sugerencia. ¡Gracias!

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Teoría de Conjuntos / Ejercicios con unión e intersección.
« en: 28 Febrero, 2016, 06:05 pm »
¡Hola!
¡Buen día!
Se me ha dificultado demostrar los siguientes ejercicios:
a) \( \cap{\cap{(a,b)}}=a \)
b) Si para todo \( X\in{A}\Rightarrow{X\subset{B}} \) entonces \( \cup{A\subset{B}} \)
c) Si para todo \( X\in{A}\Rightarrow{B\subset{X}} \) entonces \( B\cap{}{\subset{A}} \)

Me han definido \( \cap{C}=\{ w\in{z}: \forall{y}\in{C} \, w\in{y}\} \)
Si \( C=\{D,E\} \)
\( \cup{C}=D\cup{E} \)

¿Me podrían ayudar por favor?

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Análisis Matemático / Métrica en un espacio vectorial
« en: 23 Febrero, 2016, 05:59 am »
¡Hola!
Necesito demostrar que si V es un espacio vectorial real de cualquier dimensión y \( N_i:V\rightarrow{\mathbb{R}} \) es una sucesión de normas en V entonces
\( d(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{2^{-i}\displaystyle\frac{N_i(y-x)}{1+N_i(x)+N(y)}} \).
es una métrica en V.

Sólo me falta demostrar la desigualdad triangular, le he dado muchas vueltas; según mis intentos basta probar que \( \frac{N_i(y-x)}{1+N_i(x)+N(y)}\leq{\frac{N_i(z-x)}{1+N_i(z)+N(x)}+\frac{N_i(y-z)}{1+N_i(z)+N(y)}} \) pero no llegué a ningún lado  :(

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Análisis Matemático / Igualdad con Integrales de Riemann
« en: 20 Febrero, 2016, 10:44 pm »
¡Hola, Buen día!
Necesito demostrar la igualdad:
\( \left({\int_a^b f(t)g(t)dt}\right)^2=\left({\int_a^b f^2(t)dy}\right)\left({\int_a^b g^2(t)dy}\right)-\frac{1}{2}\int_a^b\int_a^b\left[{f(s)g(t)-g(s)f(t)}\right]^2dsdt \)

La verdad, no sé cómo empezar,traté de encontrar analogía con las desigualdades de Young,
Minkowski o Hölder las cuales ya he revisado en libros (y podría demostrar); sin embargo no  he logrado establecer exactamente alguna relación de ellas con la igualdad que me piden y tampoco las he visto en clase. Así que ojalá puedan orientarme ya sea por el camino que intento o cualquier otro.

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Análisis Matemático / Deducción de propiedades de una métrica
« en: 19 Febrero, 2016, 05:03 am »
¡Hola!
Espero puedan ayudarme en lo siguiente por favor:
Dado un conjunto C no vacío y \( m:E \times E \rightarrow{\mathbb{R}} \)
con las propiedades: \( \forall{x,y,z\in{C}} \)
a) \( m(x,y)=0\Leftrightarrow{x=y} \)
b) \( m(x,z)\leq{m(x,y)+m(y,z)} \)

Deducir que \( m(x,y)\geq{0} \) y \( m(x,y)=m(y,x) \)


La propiedad de que \( m(x,y)\geq{0} \) ya la he deducido de a) y b) pero usando además la propiedad  \( m(x,y)=m(y,x) \) la cual me falta probar. No veo cómo sería posible deducir propiedad simétrica sólo a partir de a) y b).

57
¡Hola!
Debo demostrar o dar un contra-ejemplo: n>m entonces hay una matriz A de mxn tal que \(   \left\|{Ax}\right\|= \left\|{x}\right\| \) para todo \( x\in{\mathbb{R}^n} \).

Estaba pensando en usar un resultado que dice: Si Q es matriz de tamaño nxn entonces son equivalentes los siguientes enunciados:
a) Q es ortogonal
b) \(   \left\|{Ax}\right\|= \left\|{x}\right\| \) para todo \( x\in{\mathbb{R}^n} \)
c) <Qx,Qy>=<x,y>

¿Podrían ayudarme con este problema por favor? Si tienen alguna otra idea o aportación es bienvenida.

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Álgebra / matriz simétrica y base ortonormal.
« en: 08 Enero, 2016, 02:24 am »
Si {\( v_1, v_2, \ldots , v_n \)} es una base ortonormal para \( \mathbb{R}^n \) y
\( A= c_1 v_1 v_1^T+c_2 v_2 v_2^T+\ldots +c_n v_n v_n^T  \). (donde T representa la matriz  transpuesta). Demostrar que A es una matriz simétrica con valores propios \( c_1, c_2, \ldots , c_n \) y correspondientes vectores propios \( v_1, v_2, \ldots , v_n \) .

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¡Hola!
¿Podrían ayudarme con este ejercicio por favor?
Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [a,b] y
S={\( f_1 , f_2, \ldots , f_n \)}\( \subseteq{V} \).
Para cada i=1,...,n y cada j=1, ... , n se define
\( a_{ij}=a_{ji}\color{red}=\color{black}\displaystyle\int_{a}^{b}f_{i}f_{j} \). Sea A la matriz que tiene por entradas a los elementos \( a_{ij} \). Demuestre que \( f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n} \) son linealmente dependientes sí y sólo si A es singular

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Álgebra / base ortonormal y producto interno
« en: 13 Diciembre, 2015, 04:34 am »
¡Hola! ¿Me pueden dar una pista para este ejercicio por favor?

Sea B={\( v_1, v_2, ... , v_n \)} una base ortonormal para \( \mathbb{R}^n \). Demuestre que para cualesquiera \( x,y\in{\mathbb{R}^n} \) se tiene:

\( <x,y>=<x,v_1><y,v_1>+\cdots +<x,v_n><y,v_n> \)

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