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¡Hola!
Tengo un problema tomado del libro Bartle, que es el siguiente:

Suponer que \( f:\mathbb{R\longrightarrow{\mathbb{R}}} \) es continua en \( \mathbb{R} \) y que \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f=0} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f=0} \) Demostrar que f está acotada en \( \mathbb{R} \) y que alcanza un máximo o un mínimo en \( \mathbb{R} \)
Dar un ejemplo para demostrar que no necesariamente alcanza un máximo y un mínimo.

Para mostrar la parte de que f es acotada. Hice lo siguiente:
Usando la hipótesis de que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f=0}  \)

\( \forall{\epsilon>0}\exists{N}  \) tal que si N<x entonces |f(x)-L|<\( \epsilon \)
Pero L=0 entonces |f(x)|<\( \epsilon \) y así está cotada.

 :-\ Es la única parte que llevo  :( no sé cómo continuar ni encuentro el ejemplo.

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Cálculo 1 variable / Función uniformemente continua.
« en: 19 Noviembre, 2012, 08:14 am »
¡Hola!
¿Me ayudarían por favor demostrar que la función
\( f(x)=1/(1+x^2) \) con \( x\in{\mathbb{R}} \)es uniformemente continua en \( \mathbb{R} \)?

Tengo entendido que debo encontrar \( \delta \) sólo en términos de \( \epsilon \)
He buscado ejemplos donde una función es uniformemente continua en un intervalo cerrado; pero me causa confusión lo de uniformemente continua en \( \mathbb{R} \) Intentaba hacer algo análogo; pero no encuentro cómo  :banghead:

203
Aquí va un ejercicio que tomé del libro Bartle dice:
Sea a<b<c suponer que f es continua en [a,b] que g es continua en [b,c] y que f(b)=g(b). Definir h en [a,c] por h(x):=f(x) para \( x\in{[a,b]} \) y h(x):=g(x) para \( x\in{(b,c]} \). Demostrar que h es continua en [a,c]

Es intuitivo que h será continua pues se define a parir de dos funciones continuas; mi idea para comenzar es probar lo siguiente:
1.-  h es continua en a por la derecha (se obtiene de la hipótesis de que f es continua en [a,b] en particular es continua en b)
2.-  h es continua en c por la izquierda (se obtiene de la hipótesis de que g es continua en [b,c] en particular es continua en c)
3.-   h es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,c)  ???

¿Cómo puedo probar esto últimoformalemente?
¿Si pruebo lo anteriormente mencionado ya puedo concluir la demostración?

204
Geometría y Topología / Demostrar que es un plano
« en: 16 Noviembre, 2012, 06:36 am »
¡Hola! ¿Podrían orientarme sobre la siguiente demostración por favor?

Sean a,b \( \in{\mathbb{R}^3} \) con \( a\neq{b} \). Demostrar que el conjunto:
A={\( q\in{\mathbb{R}^3} | d(a,q)= db,q) \)} es un plano expresándolo en forma vectorial A={\( p+tu+rv | t,r \in{\mathbb{R}  p,u,v \in{\mathbb{R}^3}} \)}.

donde p=(1/2)(a+b) es elemento de A.

205
Cálculo 1 variable / Demostración límites de funciones
« en: 10 Noviembre, 2012, 10:20 pm »
¡Hola!
Aquí voy de nuevo a molestarlos con otro problema:

Sea f:\( \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) tal que f(x+y)=f(x)+f(y) \( \forall{x,y\in{\mathbb{R}}} \)
Si \( \displaystyle\lim_{x \to{0} \)f=L
Demostrar que L=0 y por lo tanto f tiene límite en todo punto \( c\in{\mathbb{R}} \)

 :-\ ¿Podrían darme sugerencias por favor?....

206
Cálculo 1 variable / ¿Sucesión de Cauchy?
« en: 10 Noviembre, 2012, 07:21 pm »
¡Hola!

Tengo una duda en un ejercicio, tal vez es más por el concepto que el procedimiento. Es el siguiente:

Si \( 0<r<1 \) y \( |X_{n+1} - X_n|<r^n\ \forall n\in \mathbb{N} \), mostrar que \( (X_n) \) es una sucesión de Cauchy.

Puedo probar que \( r^n \) converge a 0, para conseguir:
\( |X_n_+_1 - X_n| <\epsilon \) \( \forall n\geq n_0 \)

¿Esto ya implica que \( (X_n) \) es de Cauchy?

Para poner \( \red X_{n+1} \) no es necesario X_n_+_1 sino que lo puedes conseguir con X_{n+1} (encierrando el subíndice entre llaves).

207
¡Hola!
Espero que puedan darme alguna sugerencia sobre el siguiente problema, dice:
Demuestra que si \( (X_n) \) es acotada, entonces existe una subsucesión \( (X_n_k) \) tal que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(1/X_n_k)}=0 \)
Pues no me queda claro por qué esto se cumple, así que no he comenzado a hacer la demostración.

208
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Base de una sucesión
« en: 03 Noviembre, 2012, 08:03 pm »
¡Hola!
Tengo una pregunta:

Me queda claro que el conjunto de las sucesiones satisface las condiciones necesarias para ser espacio vectorial y que además una base debe ser el conjunto máximo linealmente independiente y el mínimo de los generadores.

¿Pero cuáles pueden ser ejemplos de base de una sucesión?

209
Triángulos / Demostración triángulo circunscrito
« en: 03 Noviembre, 2012, 07:26 am »
¡Hola! Tengo un problema de geometría que no he podido resolver  :(
Es el siguiente:

Sea ABC un triángulo acutángulo. Sea D el pie de la perpendicular desde A a BC. Sea E el punto diametralmente opuesto a A en el circuncírculo del triángulo ABC y sea P el pie de la perpendicular desde E a BC. Entonces BD=CP.

Se me ocurrió poner un punto H sobre AD tal que DH=PE intenté crear un paralelogramo; creo que no me ayudó en mucho y lo que pretendo es simplemente ver que los triángulos DHB y PEC son congruentes; pero no logro hacerlo. Anexo la figura que es el probl04



Espero que me puedan dar alguna otra sugerencia se los agradecería demasiado.

210
Cálculo 1 variable / Límite (Spivak)
« en: 30 Octubre, 2012, 05:37 pm »
¡Hola! Nuevamente tengo problemas con un límite:
\( \displaystyle\lim_{y \to{x}}\dfrac{x^n- y^n}{x-y}= ny^{n-1} \)
(Aclaro que en el resultado del límite es exponente n-1 de y)

intenté sacar el factor (x-y) y obtuve que es equivalente a obtener el límite de (x+y)^n-1 pero no estoy segura de esto porque no encuentro la forma de llegar al resultado  :-\
¿Alguien puede sugerirme por dónde continuar (si es que es correcto) o alguna otra forma de resolverlo por favor?

211
Cálculo 1 variable / Límite de una función definida por partes
« en: 28 Octubre, 2012, 06:44 am »
¡Hola! Tengo un problema con esta función, en particular para trabajar sobre la parte entera. Espero me puedan dar alguna sugerencia.

Hallar \( a,b\in \mathbb{R} \) para que \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}f(x) \) exista.

\(  f(x)=\begin{Bmatrix} [x] + a & \mbox{ si }& x\leq{0}\\bx-3 & \mbox{si}& x>0\end{matrix} \)

212
¡Hola! Espero que me puedan ayudar con esta demostración:
Sean f, g funciones que van de los naturales a los naturales, dadas por
f(x)=2x y g(x)= max{x-3,0}.
Demuestre que f es inyectiva dando una infinidad de inversas izquierdas y que g es suprayectiva dando más de una inversa.

213
 ???
¡Hola a todos!
¿Podrían explicarme el siguiente ejercicio por favor? Estoy bastante desorientada  :-\ no sé por dónde iniciar. :(
Sea (\( x_{n} \)) una sucesión acotada, y para toda n \( \in{N} \)  sean \( s_{n} \):= sup{\( x_{k} : k\geq{n} \)} y S:=ínf{\( s_{n} \)}. Demostrar que existe una subsucesión de (\( x_{n} \)) que converge a S.

214
Cálculo 1 variable / Demostración (Sucesiones monótonas)
« en: 30 Abril, 2012, 10:25 pm »
¡Hola!

Tengo un par de ejercicios que no he podido resolver, espero que me puedan ayudar:

1) Sea a>0 y \( z_{1} > 0 \) Se define \( z_{n+1}:= \sqrt{a+z_n} \quad n\in \mathbb{N} \)
Demostrar que (\( z_{n} > 0 \) ) converge y encontrar su límite.

2) Sea A un subconjunto infinito de \( \mathbb{} \) que está acotado superiormente y se u:= sup A. Demostrar que existe una sucesión creciente ( \( x_{n} \)) con \( x_{n} \in{A} \quad\forall{n\in{N}} \) tal que u = lím(\( x_{n} \) )

215
Cálculo 1 variable / DEMOSTRACIÓN (Sucesiones y límites) Bartle
« en: 08 Abril, 2012, 07:31 am »
¡Hola!
Espero que me puedan ayudar en el siguiente problema:

Demostrar que si \( \lim x_n=x \) y si x > 0, entonces existe un número natural M
tal que  \( x_n>0 \)  para toda \( n\geq{M} \)

216
¡Hola!
Quiero proponer que hagamos discusiones sobre los ejercicios del libro Bartle Sherbert "Introducción al análisis matemático"   Desde los temas de supremos, ínfimos, sucesiones, series y hasta funciones. Sería interesante que hicieramos una especie de curso o un grupo de estudio ¿qué les parece?

217
Foro general / Supremo ínfimo con b<0
« en: 06 Abril, 2012, 06:59 pm »
Sea \( S \) un conjunto no vacío acotado en \( \mathbb{R} \).

Sea \( b<0 \) y sea \( bS:=\{bs:\,s\in S\} \). Demostrar que:

\( \inf(bS)=b\sup(S),\qquad \sup(bS)=b\inf S \)

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