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Teoría de la Medida - Fractales / Conjuntos positivos y negativos.
« en: 05 Octubre, 2016, 03:06 am »
¡Hola!

Necesito demostrar la equivalencia entre las siguientes proposiciones:
Si (X,F) es un espacio medible y \( \lambda \) una medida, entonces
a)Se dice que un conjunto \( P\in{F} \) es positivo (negativo) respecto a \( \lambda \) si \( \lambda (E\cap{P})\geq{0} \, \forall{E\in{F}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\lambda (E\cap{P}))\leq{0} \forall{E\in{F}}) \)

b)Se dice que un conjunto \( P\in{F} \) es positivo (negativo) respecto a \( \lambda \) si \( \forall{A\in{F}} \) con \( A\subset{P} \) se tiene \( \lambda (A) \geq{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\lambda (A))\leq{0})  \)

Spoiler
Observo que \( A=A\cap{P} \) sí y sólo si \( A\subset{P} \)
Y, por ejemplo para P positivo
b) implica a): Supongo \( \forall{A\in{F}} \) con \( A\subset{P} \) se tiene \( \lambda (A) \geq{0} \) pero como \( A\subset{P} \) esto implica que  \( \forall{A\in{F}} con  \) \( A\subset{P} \) se tiene \( \lambda (A\cap{P}) \geq{0} \) de donde \( \forall{A\in{F}} \) sucede que \( \lambda (A\cap{P}) \geq{0} \)

a) implica b) Supongo \( \lambda (E\cap{P})\geq{0} \, \forall{E\in{F}} \) llamo \( A=E\cap{P}\subset{P} \) así que \( \forall{A\in{F}} \) con \( A\subset{P} \) se tiene \( \lambda (A) \geq{0} \).

Análogamente para P negativo.

Les agradeceré si por favor pueden revisar lo que he escrito anteriormente es correcto, o también si me sugieren alguna forma de redactar de una mejor forma mi prueba, es que tengo una extraña sensación de que debería hacer algo más  :-\
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Análisis Matemático / Demostrar que f=g casi dondequiera
« en: 30 Septiembre, 2016, 05:46 pm »
¡Buen día!

Tengo el siguiente ejercicio:
Sea \( f_n \) convergente en Lp a una \( f\in{Lp} \) y \( f_{n_k} \) sea una subsucesión de \( f_n \)  que converge en Lp a g. Demostrar que f=g casi dondequiera.

Spoiler
Pensaba que si tenía cualquier subsucesión de \( f_n \)  entonces debería de converger a la misma \( f\in{Lp} \) sin embargo no sabría cómo demostrar esta afirmación y estoy dudando de que sea cierta por la parte del ejercicio que dice que f=g casi dondequiera.  ???
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23
Análisis Matemático / Función medible acotada casi dondequiera
« en: 28 Septiembre, 2016, 06:25 am »
¡Hola!

Tengo que si \( (X,F, \mu) \) es un espacio de medida fijo, se tiene \(  \left\|{f}\right\|_\infty=ínf\{a>0: \mu(\{ x\in{X :\left |{f}\right |>a\})=0\}} \) y que si \( f\in{}L_\infty \) fija, entonces se cumple que:
a)\( I_f=\{a>0: \mu(\{ x\in{X :\left |{f}\right |>a\})=0\}} \) es igual al intervalo [\(  \left\|{f}\right\|_\infty , + \infty \)), si \(  \left\|{f}\right\|_\infty >0.  \)

b) \( \left |{f(x)}\right |\leq{ \left\|{f}\right\|_\infty} \) casi dondequiera. Mas aún, si \( A<  \left\|{f}\right\|_\infty \) entonces existe \( E\in{F} \) con \( \mu (E)>0 \) tal que \( \left |{f(x)}\right |\geq{A} \) para \( \forall{x\in{E}} \)

La parte a) la he demostrado; pero la parte b) no se me ha ocurrido,   como sugerencia para probar b) debo aplicar a); pero yo no logro ver como es que b) se sigue de a) o algún otro camino para probar b) ¿Me podrían ayudar con esto por favor?

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Análisis Matemático / Función integrable y conjuntos de medida finita
« en: 26 Septiembre, 2016, 09:20 pm »
¡Buen día!

Estoy tratando de demostrar lo siguiente: Si \( f \in{L}=L(X,F, \mu) \) (esto es, f es integrable) y \( \alpha>0 \) entonces
a) \( \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |\geq{\alpha}}\} \) tiene medida finita.
b)  \( \{x\in{X: {f(x)}\neq{0}{}}\} \) es unión numerable de conjuntos con medida finita.

He intentado probar dichas afirmaciones de la manera siguiente:

Spoiler

a) Por hipótesis f es integrable, entonces su valor absoluto también lo es y al ser integrable entonces es medible, lo cual es equivalente a que para cualquier \( \alpha \in{\mathbb{}} \) se cumpla que \( \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |\geq{\alpha}}\}\in{F} \), en particular para los \( \alpha>0 \) se tiene que  \( \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |\geq{\alpha}}\}\in{F} \)
b)Por hipótesis f es integrable, luego medible y por ello sucede que para cualquier \( \alpha \in{\mathbb{}} \) se cumple que \( \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |<{\alpha}}\}\in{F} \) y para cualquier \( \alpha \in{\mathbb{}} \) se cumple que \( \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |>{\alpha}}\}\in{F} \). En particular para \( \alpha=0 \) se tiene que
\( \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |<{0}}\}\in{F} \) y \( \{x\in{X: \left |{f(x)}\right |>{0}}\}\in{F} \) luego la unión de estos dos conjuntos también pertenecerá a F.

No estoy segura de que esto sea suficiente para concluir  ¿Tengo que corregir o agregar algo?

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.


25
Análisis Matemático / Espacios Lp
« en: 25 Septiembre, 2016, 02:20 am »
¡Hola!
¿Me pueden orientar con este ejercicio por favor?
Si \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 3]{x}} \) debo demostrar que
\( f\in{Lp([0,8])} \) si \( 1\leq{p}<3 \) pero
\( f\not\in{}{Lp([0,8])} \) si \(  p\geq{3} \).


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Análisis Matemático / Función integrable
« en: 25 Septiembre, 2016, 02:15 am »
¡Hola!
Espero que me puedan ayudar a demostrar el siguiente resultado por favor:

Si \( f_n \in{L}=L(X,F, \mu) \) (esto es, \( f_n \) es integrable), converge uniformemente a una \( f:X\rightarrow{\mathbb{R}} \) y \( \mu({\color{red}X})<\infty \) entonces:
a)\( f\in{L} \) y \( \displaystyle\int_{}^{}fd\mu=\displaystyle\lim_{\displaystyle\int_{}^{}f_nd\mu}{} \)
b)Si no se supone \( \mu({\color{red}X})<\infty \) entonces a) no siempre es cierto.

Spoiler
Para el a) Estaba pensando en usar el Teorema de la convergencia dominada o de Lebesgue; pero no estoy muy segura sobre ello.
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¡Buenas noches!
Realmente ya llevo un buen tiempo pensándolo y aún no encuentro algún ejemplo de una función f integrable tal que \( f^2 \) no sea integrable. ¿Podrían proporcionarme algún ejemplo por favor?

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Análisis Matemático / Lema de Fatou
« en: 21 Septiembre, 2016, 03:03 am »
¡Hola!
En unas notas que estaba revisando enuncia:
Lema de Fatou: Si \( f_n \) es una sucesión de funciones medibles no negativas entonces \( \displaystyle\int_{}^{}\liminf \, f_n d\mu \leq{ \liminf  \, \displaystyle\int_{}^{}f_n d \mu} \)


Luego, dice como una observación que el Lema de Fatou no es cierto si las \( f_n \) no son no negativas, por ejemplo, tomando \( f_n=-\displaystyle\frac{1}{n} \chi_{\left [0,n  \right ]} \) no es monótona en \( [0,+ \infty) \) pero \( f_n \) converge uniformemente a cero; pero \( \displaystyle\int_{}^{}f_n d \lambda=-1=\displaystyle\int f d \lambda=0 \)

Y no comprendo bien dicho ejemplo mencionado en la observación.

Spoiler
Hasta donde creo comprender:
Dado \( \displaystyle\frac{1}{\epsilon}>0 \) existe \( n_0\in{\mathbb{N}} \) tal que  \( \displaystyle\frac{1}{\epsilon}<n_0 \) luego \( \forall{n\geq{n_0}} \)

\(  \left |{\displaystyle\frac{-1}{n}-0}\right |<\epsilon \) de donde \( f_n \) converge uniformemente a 0
\( \displaystyle\int_{}^{}f_n d \lambda=- \frac{1}{n} \chi_{\left [0,n  \right ]}=\frac{1}{n} n=-1 \)
f=0 el límite al cual converge la sucesión \( f_n \) y por ello \( \displaystyle\int f d \lambda=\displaystyle\int 0 d \lambda=0 \)

Según yo sí es monótona decreciente en \( (0, +\infty) \)
Y no veo claramente cómo relacionarlo con el Lema de Fatou. ¿Me podrían explicar esto último por favor?
 
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Análisis Matemático / Función compleja medible
« en: 14 Septiembre, 2016, 05:32 am »
¡Hola de nuevo!
Estoy tratando de demostrar lo siguiente:
Si (X,F) es un espacio medible y \( f:X\rightarrow{\mathbb{C}} \) entonces:
a) f es medible \( \Leftrightarrow{\{x\in{X: \, a<Re(f)<b, \, c<Im(f)<d \}\in{F}}} \) para todo \( a,b,c,d\in{\mathbb{R}} \)
b) f medible \( \Leftrightarrow{f^{-1}(G)\in{F}} \) para todo \( G\in{\mathbb{C}} \) abierto.

Spoiler
Muestro lo que he comenzado a notar:Primeramente, como usualmente me encuentro con funciones que van a los reales me causa conflicto cuando menciona en b) un conjunto abierto en \( \mathbb{C} \) ; pero como los complejos son isomorfos a \( \mathbb{R}^2 \) entonces coincidirán como espacio topológico y supongo que es como debería trabajarlo. Expreso f=h+gi donde \( h,g:X\rightarrow{\mathbb{R}} \). Tendría entonces que h=Re(f) y g=Im(f)

Para a) por definición \( f:X\rightarrow{\mathbb{C}} \) es medible sí y sólo si su arte real y su parte imaginaria son medibles. Un lema dice que si \( T:X\rightarrow{\mathbb{R}} \) es una función, entonces las siguientes propiedades son equivalentes:
i)\( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, A_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)> \alpha\}\in{F}} \)
ii) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, B_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)\leq{} \alpha\}\in{F}} \)
iii) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, c_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)\geq{} \alpha\}\in{F}} \)
iv) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, A_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)< \alpha\}\in{F}} \)

Para b) Tengo un resultado que se parece mucho a lo que debo probar, dice: si (X,F) y (Y,I) son espacios medibles, una transformación \( f:X\rightarrow{Y} \)es medible sí y sólo si \( f^{-1}(E):=\{x\in{X : \, f(x)=E\}\in{F}} \) Así que tomaría \( Y=\mathbb{C} \) y E cualquier abierto en \( \mathbb{C} \)

Los resultados que enuncié se ven muy similares a lo que debo demostrar; pero aún no veo cómo aplicarlos a lo que me piden :(
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Análisis Matemático / n-translación medible
« en: 14 Septiembre, 2016, 04:29 am »
¡Hola!
¿Podrían ayudarme con este ejercicio por favor?
Dice: Sea \( M(X,F)=:M \) (X es un conjunto arbitrario no vacío y F una sigma álgebra, f función medible). Definimos la translación de f para cada \( N\in{\mathbb{N}} \) mediante:

\( f_n(x)=\begin{cases}{ f(x)}&\text{si}& \left |{f(x)}\right |\leq{n}\\n & \text{si}& f(x)>n\\-n & \text{si}& f(x)<n\end{cases} \). Entonces \( f_n\in{M},  \forall{n\in{\mathbb{N}}} \).

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Probabilidad / Probabilidad de dados usando serie geométrica
« en: 11 Septiembre, 2016, 03:33 am »
¡Buen día!
Quisiera que por favor me ayudaran a escribir formalmente la solución al problema siguiente:

Suponga que dos dados balanceados se lanzan repetidamente y la suma de las caras superiores se determina en cada tiro. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 3 antes de obtener una suma de 7?

Spoiler
Lo que hice fue un diagrama de árbol con 3 ramas iniciales una de ellas que me lleva a obtener un 3 (con probabilidad 2/36), otra a obtener un 7 (con probabilidad 6/36) y otra para el resto de las posibilidades (con probabilidad 28/36) lo que me lleva a hacer un lanzamiento mas con y de donde se desprenden nuevamente 3 ramas como antes mencioné y así sucesivamente. Me fijo en todos los caminos que me llevan a sacar un 3 y deduzco que la probabilidad buscada es de:
P[obtener 3 antes de 7] \( =\displaystyle\frac{2}{36} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{28^î}{36^î} \) Sé calcular el valor de esta serie geométrica, lo que no me queda claro es cómo escribir formalmente el procedimiento para llegar a esto sin usar la técnica del diagrama de árbol.

Una disculpa; pero no sé cómo hacer el diagrama de árbol con el código LaTex y por eso preferí describirlo.
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Para resolver sin usar el diagrama de árbol, inicié definiendo los eventos: \( A_k \)= obtener 3 en el lanzamiento k-ésimo,
 \( B_k \)= obtener 7 en el lanzamiento k-ésimo,
\( C_k \)= No obtener un 3 ni un 7 n el lanzamiento k-ésimo.

Y luego obtengo: P[obtener 3 antes de 7]\( =P[ \cup_{i=1}^{\infty}{(A_i\cap_{j=1}^{i-1}{C_k})}] \) Puesto que el resultado en cada lanzamiento anterior no afecta al resultado que se obtendrá en el siguiente lanzamiento puedo expresar P[obtener 3 antes de 7]\( = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P[A_i\cap_{j=1}^{i-1}{C_k}]} \). A partir de aquí ya no hallo cómo concluir que P[obtener 3 antes de 7] \( =\displaystyle\frac{2}{36} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{28^î}{36^î} \)

Ojalá puedan ayudarme a completar esa parte por favor.

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Álgebra / Diagrama conmutativo
« en: 15 Junio, 2016, 03:37 am »
¡Hola! Espero me puedan ayudar con este problema que me ha entretenido un buen rato y no logro concluir:
Sean A y B conjuntos. Definimos funciones \( p_A:A \times B \longrightarrow{{A}} \) por
\( p_A(a,b) \rightarrow{A} \) y \( p_B:A \times B \longrightarrow{{B}} \) por
\( p_B(a,b) \rightarrow{B} \). Sea C un conjunto y funciones \( f:C\longrightarrow{A} \) y \( g:C\longrightarrow{B} \). Mostrar que existe una función \( h:C\longrightarrow{A \times B} \) tal que el siguiente diagrama conmuta:

\(
\xymatrix{  & A  \\ C \ar[ru]^f \ar[rr]^h \ar[rd]_g && A \times B \ar[lu]_{p_A} \ar[ld]^{p_B} \\ & B }
 \)

Lo que intenté hacer es lo siguiente: Por un teorema llamado de Factorización se sabe que son equivalentes los siguientes enunciados: Dadas las funciones \( f:C\longrightarrow{A} \) y \( p_A:A \times B \longrightarrow{{A}} \)
i) Existe \( h_1:C\longrightarrow{A \times B} \) tal que \( h_1\circ{p_A}=f \)
ii) \( Imagen(f)\subseteq{Imagen(p_A)} \)

Así por el mismo teorema; pero ahora aplicado a las funciones \( g:C\longrightarrow{B} \) y  \( p_B:A \times B \longrightarrow{{B}} \) tendría que son equivalentes:
i) Existe \( h_2:C\longrightarrow{A \times B} \) tal que tal que \( h_2\circ{p_B}=g \)
ii) \( Imagen(g)\subseteq{Imagen(p_B)} \)

He comprobado que en ambos casos se cumple la condición ii) de manera que puedo afirmar i) lo que me daría dos diagramas conmutativos ¿pero cómo los uno?  ¿o hay que tomar otro camino para probarlo?
¿la h debe ser única?

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Ecuaciones diferenciales / Ecuación unidimensional del calor
« en: 03 Junio, 2016, 07:04 am »
¡Hola!
Tengo un problema que dice:
a)Para la ecuación unidimensional de calor \( h^2=u_{xx}=u_t \), encuentre una solución tal que u es independiente de t, u=A (A es una constante) para x=0 y u=0 para x=L.

b) Con el resultado obtenido en a) resuelva el problema de una loza de espesor L, con temperatura inicial cero en todas partes, y con sus caras x=0 y x=L mantenidas a temperaturas A y cero respectivamente para t>0.

La parte b) creo conocer el procedimiento para hacerlo; sin embargo realmente no lo he intentado porque no he sabido cómo hacer la parte a) y exactamente cómo se utilizaría en la parte b) ¿Me pueden orientar por favor? 

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¡Hola!
Estoy tratando de resolver la ecuación:

\( \frac{{\partial w}}{{\partial y}}=y \frac{{\partial w}}{{\partial x}} \) por el método de separación de variables, así que proponiendo \( w(x,y)=f(x)g(y)  \)como solución de esta, he llegado a plantear el sistema de ecuaciones siguiente:
\( f'(x)-af(x)=0 \)
\( g'(y)-ayg(y)=0
 \)
donde a sería mi constante de separación. Sé que ahora tengo que tomar tres casos para "a=0" obtengo w es constante, pero para el resto de los casos (a positivo y a negativo). Considerando por ejemplo a>0. El sistema a resolver resulta
 \( f'(x)=af(x) \)
\( g'(y)=ayg(y) \)

y tendría que obtener la f y la g; pero ahí es donde ya no sé continuar. ??? ¿Me pueden ayudar con esta parte por favor? Y de ser posible con una explicación "paso a paso" realmente no sé cómo hacer esto, se supone debo llegar a una cosa como esta: \( w=exp[k(2x+y^2)] \)

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Análisis Matemático / Norma en el espacio dual
« en: 31 Mayo, 2016, 03:21 am »
¡Hola!
Tengo una pregunta que tal vez sea algo simple; pero no estoy entendiendo bien esto de los espacios duales. Dado X el espacio de las n-tuplas ordenadas de elementos en un campo \( \mathbb{K} \) y \(  \left\|{x}\right\|:=\underbrace{máx}_{1\leq{j}\leq{n}}\left |{x_j}\right | \) donde \( x=(x_1, \ldots , x_n) \) ¿Cuál sería la norma correspondiente en el espacio dual de X?


Y si alguien me pudiera recomendar además alguna referencia o libro donde revisar acerca del tema de dualidad: espacio dual algebráico, topológico, espacio de Banach reflexivo se los agradeceré.

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- Otros - / Función generadora de polinomios de Laguerre
« en: 29 Mayo, 2016, 05:46 am »
¡Hola!
Se me ha dificultado el siguiente ejercicio:
Usando la función generadora de los polinomios de Laguerre \( e^t _0 F_1(-;1;-xt)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{L_n(x)}{n!}t^n} \)
a) Obtenga la fórmula explícita de los \( L_n(x) \)
b) Muestre que \( x^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{(-1)^k (n!)^2 L_k(x)}{k! (n-k)!}} \)

Todo lo que vi en clase sobre Laguerre es que si resuelvo la ecuación de Laguerre \( xy''+(1-x)y'+ny=0 \) entonces debería obtener  truncando una serie el llamado polinomio de Laguerre \( L_n(x)=1+\displaystyle\sum_{m=1}^n{\displaystyle\frac{(-n)_m}{n! (1)_m}x^m} \)

Así que de acuerdo a lo que estaba intentando, la expresión anterior la consideré como la fórmula explícita a la que debo llegar para a) escribí \( e^t _0 F_1(-;1;-xt)= e^t \displaystyle\frac{(-1)^{n+1}x^nt^n}{n!} \) hice algunas manipulaciones pero ya me he confundido, no logro que una expresión se parezca a la otra. Me parece que uno debe tener mucha experiencia para resolver problemas como de estos polinomios o saber de antemano un "truco". 
¿Pueden ayudarme con esto por favor?

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¡Hola!
Necesito hacer la evaluación de polinomios de Legendre con la función generatriz en varios puntos. ¿Me pueden ayudar con un ejemplo por favor, digamos, evaluar los \( P_n(x) \) en x=0 usando la función generatriz \( G(x,t)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-2xt+t^2}} \)?

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Análisis Matemático / Intersección de conjuntos extremos
« en: 26 Mayo, 2016, 05:36 am »
¡Hola!
Estaba leyendo  un resultado llamado "Teorema de Krein Milman" se enuncia dicho teorema así: Sea X un espacio vectorial normado, \( K\subseteq{X}  \) compacto y convexo. Entonces K es la cerradura de la envoltura convexa de sus puntos extremos.

En una parte dice: Sea P la colección de todos los conjuntos extremos S contenidos en K, entonces es trivial  ??? que la intersección arbitraria de elementos S de P está en P o es vacía.

La definición de conjunto extremo dice: \( S\subseteq{K} \) es conjunto extremo si {\( tx+(1-t)y\in{S} \) para algún \( t\in{(0,1)} \) y para algún par de puntos \( x,y\in{K} \)} implica \( x,y\in{S} \)

Discúlpenme si en verdad es tan trivial; pero no lo veo inmediato  y la definición de conjunto extremo no la encuentro clara, mas bien, no la sé interpretar :( Ojalá me puedan explicar un poco de esto por favor.

39
Análisis Funcional - Operadores / Funcionales lineales acotados
« en: 21 Mayo, 2016, 10:42 pm »
¡Buen día!
Tengo este ejercicio:
Sea X un espacio vectorial normado sobre \( \mathbb{K} \), Y:=B(X,Y) el espacio vectorial de los funcionales lineales de X con la norma usual

\(  \left\|{f}\right\|:= sup_{ \left\|{x}\right\|=1_{x\in{X}}} \{ \left |{f(x)}\right |, f\in{Y}  \} \)
y \( F(X)=\{f\in Y: \left\|{f}\right\|= \left\|{x}\right\| \, y \, f(x) = \left\|{x}\right\|^2 \} \)
Debo demostrar:
a) \( F(x)\neq{\emptyset} \) \( \forall{x\in{X}} \) y que \( F(X)=\{f\in Y: \left\|{f}\right\| \leq{} \left\|{x}\right\| \, y \, f(x) = \left\|{x}\right\|^2 \} \)

b) \( F(X)=\{f\in Y: \displaystyle\frac{ \left\|{y}\right\|^2}{2}- \frac{ \left\|{x}\right\|^2}{2} \geq{f(y-x)} \, \forall{y\in{X}}\} \)

c) Demuestre que si Y es separable, entonces X también es separable (esto  es, tiene un subconjunto numerable denso).

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Análisis Funcional - Operadores / Conjuntos densos y normas
« en: 14 Mayo, 2016, 10:46 pm »
¡Hola!
Sea X un espacio de Banach, Y espacio vectorial normado,  sea \( \mathcal{F}\subseteq{B(XY)} \) (una familia de transformaciones lineales acotadas de X en Y) y \( V_n:=\{x\in{X}| \exists{T\in{\mathcal{F}}} :  \left\|{Tx}\right\| >n \} \) con \( n\in{\mathbb{N}} \).
Debo demostrar:
a) \( V_n \) es un subconjunto abierto de X.
b) Si \( V_n \) es un subconjunto denso para \( n\geq{1} \), entonces  existe un subconjunto denso \( E\subset{X} \) tal que \( \sup_{T\in{\mathcal{F}}}  \left\|{Tx}\right\|=\infty \) \( \forall{x\in{E}} \)
c) Si existe \( N\in{\mathbb{N}} \) tal que \( V_n \) no es denso entonces \( sup_{T\in{\mathcal{F}}} \left\|{T}\right\| <\infty \)


Para el a) creo que debería ser consecuencia  de esto: como \( T\in{\mathcal{F}} \) existe k>0 tal que \(  \left\|{Tx}\right\|\leq{k  \left\|{x}\right\|} \) para cualquier \( x\in{X} \); pero no logro concluirlo.

En cuanto a los otros incisos sé que si \( V_n \) fuera denso en X significaría que \( \bar{V_n}=X \) sin embargo tampoco he logrado probarlos  :(

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