Observo que \( A=A\cap{P} \) sí y sólo si \( A\subset{P} \)
Y, por ejemplo para P positivo
b) implica a): Supongo \( \forall{A\in{F}} \) con \( A\subset{P} \) se tiene \( \lambda (A) \geq{0} \) pero como \( A\subset{P} \) esto implica que  \( \forall{A\in{F}} con  \) \( A\subset{P} \) se tiene \( \lambda (A\cap{P}) \geq{0} \) de donde \( \forall{A\in{F}} \) sucede que \( \lambda (A\cap{P}) \geq{0} \)

a) implica b) Supongo \( \lambda (E\cap{P})\geq{0} \, \forall{E\in{F}} \) llamo \( A=E\cap{P}\subset{P} \) así que \( \forall{A\in{F}} \) con \( A\subset{P} \) se tiene \( \lambda (A) \geq{0} \).

Análogamente para P negativo.

Les agradeceré si por favor pueden revisar lo que he escrito anteriormente es correcto, o también si me sugieren alguna forma de redactar de una mejor forma mi prueba, es que tengo una extraña sensación de que debería hacer algo más 

Muestro lo que he comenzado a notar:Primeramente, como usualmente me encuentro con funciones que van a los reales me causa conflicto cuando menciona en b) un conjunto abierto en \( \mathbb{C} \) ; pero como los complejos son isomorfos a \( \mathbb{R}^2 \) entonces coincidirán como espacio topológico y supongo que es como debería trabajarlo. Expreso f=h+gi donde \( h,g:X\rightarrow{\mathbb{R}} \). Tendría entonces que h=Re(f) y g=Im(f)

Para a) por definición \( f:X\rightarrow{\mathbb{C}} \) es medible sí y sólo si su arte real y su parte imaginaria son medibles. Un lema dice que si \( T:X\rightarrow{\mathbb{R}} \) es una función, entonces las siguientes propiedades son equivalentes:
i)\( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, A_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)> \alpha\}\in{F}} \)
ii) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, B_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)\leq{} \alpha\}\in{F}} \)
iii) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, c_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)\geq{} \alpha\}\in{F}} \)
iv) \( \forall{\alpha\in{\mathbb{R}}} \, \, A_{\alpha}:=\{x\in{X:T(x)< \alpha\}\in{F}} \)

Para b) Tengo un resultado que se parece mucho a lo que debo probar, dice: si (X,F) y (Y,I) son espacios medibles, una transformación \( f:X\rightarrow{Y} \)es medible sí y sólo si \( f^{-1}(E):=\{x\in{X : \, f(x)=E\}\in{F}} \) Así que tomaría \( Y=\mathbb{C} \) y E cualquier abierto en \( \mathbb{C} \)

Los resultados que enuncié se ven muy similares a lo que debo demostrar; pero aún no veo cómo aplicarlos a lo que me piden

Lo que hice fue un diagrama de árbol con 3 ramas iniciales una de ellas que me lleva a obtener un 3 (con probabilidad 2/36), otra a obtener un 7 (con probabilidad 6/36) y otra para el resto de las posibilidades (con probabilidad 28/36) lo que me lleva a hacer un lanzamiento mas con y de donde se desprenden nuevamente 3 ramas como antes mencioné y así sucesivamente. Me fijo en todos los caminos que me llevan a sacar un 3 y deduzco que la probabilidad buscada es de:
P[obtener 3 antes de 7] \( =\displaystyle\frac{2}{36} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{28^î}{36^î} \) Sé calcular el valor de esta serie geométrica, lo que no me queda claro es cómo escribir formalmente el procedimiento para llegar a esto sin usar la técnica del diagrama de árbol.

Una disculpa; pero no sé cómo hacer el diagrama de árbol con el código LaTex y por eso preferí describirlo.