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Mensajes - malboro

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61
Hola.

El  ejemplo màs conocido de un espacio localmente anillado es \( (Spec(A),O_{Spec(A)}) \).

Otros ejemplos de espacios localmente anillados en geometrìa algebraica clàsica y en anàlisis complejo?

Gracias

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Teoría de Conjuntos / Re: La paradoja de Bertrand Russell
« en: 09 Junio, 2019, 08:25 pm »
Muchas gracias a todos, disculpen la demora de darles las gracias. Bueno es por eso que publicar aquì en el rincòn matemàtico me encanta
porque siempre hay varias opiniones del punto de vista de cada uno y por lo general como en este caso dan màs informaciòn de las preguntas que uno hace.

Saludos

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Teoría de Conjuntos / La paradoja de Bertrand Russell
« en: 27 Mayo, 2019, 04:58 pm »
Hola.

Alguien puede recomendarme algunos textos donde se comente y se explique que el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto (  la paradoja de Bertrand Russell o  paradoja del Barbero).

Muchas gracias.

Saludos


64
Categorías / Definición de subobjeto
« en: 25 Marzo, 2019, 07:16 am »
Hola.

 Definición 1:

Sea \( C \) una categoría y monomorfismos \( r: X_1\to X, s: X_2\to X \). Decimos que los
monomorfismos \( r, s \) son equivalentes si existe un isomorfismo \(  f:X_1\to  X_2 \) que hace que
el diagrama

\( \xymatrix{
& {X_1} \ar[ld] \ar[rd]^{r} & \\
{X_2} \ar[rr]_{s}& & {X}} \)





sea conmutativo. Un subobjeto de \( X \) es una clase de equivalencia de monomorfismos a \( X \).
Si \( X, Y  \) son dos objetos, denotaremos \( X\subseteq Y \) si \( X \) es un subobjeto de \( Y \).

Definición 2:

Sea \( A \) una un objeto de una categoría \( C \).  Se llama subobjeto de \( A \) a un par \( (X,l)  \) donde \( X \) es un objeto de \( C \) y \( l:X\to A  \) es un monomorfismo.


Encuentro estás definiciones en algunos textos.

Acaso son equivalentes?

Gracias


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Categorías / Re: El teorema de Cayley
« en: 16 Febrero, 2019, 12:36 pm »
Hola.

Estuve haciendo las cuentas y no se consigue que T sea homomorfismo  :'( , tengo que considrear el funtor representable covariante, ya con eso consigo la prueba. Escribiré de nuevo todo.

Gracias

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Categorías / Re: El teorema de Cayley
« en: 15 Febrero, 2019, 02:55 pm »
Hola.

Cuando dices: El hecho de que H es fiel implica que esta acción es efectiva, es decir, que hay un embedding de G en el grupo de las biyecciones de X. Esto prueba el teorema de Cayley.

Pero H es plenamente fiel, entonces hay una biyección entre G y las biyecciones de X, Lo que necesitamos nó sería una aplicación de G a las biyecciones de X pero que sea solo inyectiva? (Así obtengo un isomorfismo de G a un subgrupo de permutaciones)

La aplicación T que defino no puede ser esa inyección??

GRacias

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Categorías / Re: El teorema de Cayley
« en: 09 Febrero, 2019, 04:41 pm »
Hola Geómetracat.

\( <G,*> \) un grupo y \( G  \) es visto  como  categoría denotada por \( C_G  \) que tiene un solo objeto, digamos "@".

\( H:C_G\to [C_G,Sets] \) es definido como:

En objetos:  \( @\in{C_G} \) definimos un objeto   \( h_@ \) de \( [C_G,Sets] \) de la siguiente manera: \( H_@:C_G\longrightarrow{Sets} \)

\(   @  -------->H_@@=Mor_{C_G}(@,@) \)

\( @\xrightarrow[s{}]\,{@} ------> h_@@\xrightarrow[H_@s]\,{h_@@} \)       tal que     \( H_@s(t)=t*s   \)     con \( t:@\longrightarrow{@} \), definido
 
así \( H_@ \) es un funtor contravariante.

En flechas: Para cada \( f:@\longrightarrow{@} \)    definimos una transformación natural \(  H_f:H_@\longrightarrow{H_@}    \).

Así definido \( H \) es funtor covariante.

El embedding de Yoneda nos dice que H es plenamente fiel e inyectivo en objetos.

Denotemos por \( F \) a la imagen del funtor \( H \), entonces \(  F=Im(H) \).
Afirmación 1:
\( F:C_G\to Sets \) es un funtor contravariante fiel.

\( F \) es  fiel sí y solo si \( T \) es inyectiva.
\( T \) está definida como sigue:
la aplicación \( T:Mor_{C_G}(@,@)\to Mor_{Sets}(F_@,F_@) \) definida como \( T(g):F_@\to F_@ \) tal que \( T(g)_@:F_@@\to F_@@ \) con \( T(g)_@(h)=h*g \). (Está definición de \( T  \) es por causa de como está definido \( H \))

MI PREGUNTA ES LA SIGUIENTE:

Porqué cuando \( F \) es la imagen de \( H \) se tiene que \( F_@@=Mor_{C_G}(@,@) \) ?

Veamos que \( T \) es inyectiva:

Sean \( f,g\in Mor_{C_G}(@,@) \) tal que \( T(g)=T(f) \) (estoy igualando transformaciones naturales, esto tiene sentido?)

pienso que esa igualdad significa \( T(g)_@=T(f)_@ \), luego \( T(g)_@(h)=T(f)_@(h) \) y esto es h*g=h*f y como estos son elementos del grupo entonces tomamos inversa de \( h \), luego \( g=f \). Por lo tanto \( T  \) es inyectiva.

Ahora observemos los siguiente:

\( G=Mor_{C_G}(@,@)  \)  y \( Mor_{Sets}(F_@,F_@)=\left\{{G\to G}\right\} \) es un grupo con la operación composición,  luego \( T:G\to \left\{{G\to G}\right\} \).
 Falta ver que \( T \) sea un homomorfismo (esto lo conseguí) y luego ya tengo un monomorfismo osea \( G \) sería un subgrupo de \( \left\{{G\to G}\right\} \).

Falta ver que  la colección de aplicaciones \( {G\to G} \) son biyectivas , para esto último cúal es la idea?

Gracias
















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Categorías / El teorema de Cayley
« en: 23 Enero, 2019, 03:30 am »
Hola.

Vamos a definir el funtor  \( h:C\longrightarrow{[C,Sets]} \) de la siguiente manera:

En objetos: Para cada \( X\in{C} \) definimos un objeto   \( h_X \) de \( [C,Sets] \) de la siguiente manera: \( h_X:C\longrightarrow{Sets} \)

\(   U  -------->h_X(U)=Mor_C(U,X) \)

\( U\xrightarrow[s{}]\,{V} ------> h_XV\xrightarrow[h_Xs]\,{h_XU} \)       tal que     \( h_Xs(t)=t\circ{s}   \)     con \( t:V\longrightarrow{X} \), definido
 
así \( h_X \) es un funtor contravariante.

En flechas: Para cada \( f:X\longrightarrow{Y} \)    definimos una transformación natural \(  h_f:h_X\longrightarrow{h_Y}    \).

Sea \( F:C\longrightarrow{Sets}   \)  un funtor contravariante, denotamos por \( Mor(h_X,F)  \)  el conjunto de transformaciones naturales

\( T:h_X\longrightarrow{F}  \).

Definimos  la aplicación \( L:FX\longrightarrow{Mor(h_X,F)} \)     como:

Dado un \( A\in{FX}  \)   podemos definir \( T^A:h_X\longrightarrow{F} \)  como sigue:

Dado  \( U\in{C} \), un elemento de \( h_XU=Mor(U,X)   \)    es una flecha    \( f:U\longrightarrow{X} \), esta flecha induce la aplicación

\( Ff:FX\longrightarrow{FU}  \). Definimos una aplicación \( T^A_U:h_XU\longrightarrow{FU} \)  por   \( T^A_U(f)=FfA  \).

Así definido \( T^A \)  es una transformación natural. 

\( Lema \) \( de \) \( Yoneda \)._  Sea \( C \) una categoría, \( F:C\longrightarrow{Sets} \) un funtor contravariante y \( X\in{C} \).

Entonces la aplicación     \( L:FX\longrightarrow{Mor(h_X,F)} \) definida arriba es biyectiva. 



Estoy queriendo probar el teorema de Cayley que dice lo siguiente:

Todo grupo \( <G,+> \) es isomorfo a un grupo de permutaciones.

Quiero demostrarlo pero considerando a \( G \) como una categoría.

Sabemos que podemos ver a un grupo como una categoría  tal que tiene un solo objeto digamos \( * \), las flechas son los elementos del grupo y la composición es la operación del grupo.

Quiero usar el lema de Yoneda, pero no tengo claro como deduzco que sea isomorfo  a un grupo de permutaciones.

Gracias.




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Hola.

Mi pregunta es la siguiente:

Podemos definir funtores contravariantes  fieles, plenos, plenamente fieles y densos?

Lo que pasa es que en los libros definen eso para funtores covariantes.

Gracias

70
Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único
« en: 12 Enero, 2019, 07:50 pm »
Espero se pueda descargar.

Gracias

71
Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único
« en: 12 Enero, 2019, 05:52 pm »
Falta una más.

72
Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único
« en: 12 Enero, 2019, 05:51 pm »
Hola.
Adjuntaré la prueba.

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Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único
« en: 12 Enero, 2019, 01:14 pm »
Gracias.
No está en esas notas pero yo escribí la prueba, justamente es una caracterización de cuando un funtor es representable.
No usé el Lema de Yoneda.   ???

Puedo colocar la demostración que escribí?

Saludos

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Categorías / Re: Objeto universal de un funtor es único
« en: 10 Enero, 2019, 11:21 pm »
Muchas gracias.
Tienes razón yo leí mal  :-[.
En unas notas que encontré, llaman a X de objeto representante donde (X,a) es objeto universal de un funtor F.
Y afirma que los objetos representantes son únicos, y usa el corolario que escribí.

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Categorías / Objeto universal de un funtor es único
« en: 10 Enero, 2019, 02:50 am »
Sea \( \mathfrak{C} \) una categoría.
Para cada \( X\in \mathfrak{C} \) definimos \( \mathcal{H}_X:\mathfrak{C}\to \textbf{Set} \) de la siguiente manera:

\( \textbf{En objetos} \): Para cada \( U\in \mathfrak{C} \) tenemos que  \( \mathcal{H}_XU:=Mor_{\mathfrak{C}}(U,X) \)

\( \textbf{En flechas} \): Para cada flecha \( f:U\to V \) en \( \mathfrak{C} \) tenemos que

$$
\begin{array}{rccl}
\mathcal{H}_Xf:\mathcal{H}_XV:=Mor_{\mathfrak{C}}(V,X)&\longrightarrow&\mathcal{H}_XU:=Mor(U,X)\\ g&\mapsto&\mathcal{H}_Xf(g):=g\circ f
\end{array}
$$ 

es una flecha en \( \textbf{Set} \).

Así definido \( \mathcal{H}_X \) es un funtor contravariante.







Definición:

 Un funtor \( \mathcal{F}:\mathfrak{C} \to \textbf{Set} \)  contravariante es dicho  \( \textbf{representable} \)
 si \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_X \)  para algún \( X\in \mathfrak{C} \).

Definición:

 Si  \( \mathcal{F}:\mathfrak{C} \to \textbf{Set} \) es un funtor  contravariante  entonces un par \( (X,a) \)
 donde  \( X\in \mathfrak{C} \) y \( a\in \mathcal{F}X  \) es un \( \textbf{objeto universal} \) si para
 cada \( U\in \mathfrak{C} \) y para cada \( b\in \mathcal{F}U \) existe una única flecha \( f:U\to X \)
 tal que \( \mathcal{F}f(a)=b \).


Corolario:
Para cada \( A, B\in \mathfrak{C} \) se tiene que \( f:A\to B \) es un
  isomorfismo en \( \mathfrak{C} \) sí y solo si \( \mathcal{H}_A\to \mathcal{H}_B \)
  es un isomorfismo  en
   \( [\mathfrak{C},\textbf{Set}] \).
   
    En otras palabras \( A\cong B \)  sí y solo si \( \mathcal{H}_A\cong \mathcal{H}_B \).


Los objetos universales de un funtor
\( \mathcal{F}:\mathfrak{C}\to \textbf{Set} \) son únicos salvo isomorfismos. En efecto: Supongamos que un funtor   \( \mathcal{F}:\mathfrak{C}\to \textbf{Set}  \) es representado por dos objetos universales digamos \( (X,a) \) y \( (Y,b) \) entonces \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_X \) y \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_Y \), luego \( \mathcal{H}_X \cong \mathcal{H}_Y \) entonces por el corolario obtenemos que \( X\cong Y \)

Cómo pruebo que \( a=b \) ?




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Categorías / Re: El lema de Yoneda
« en: 18 Diciembre, 2018, 02:13 am »
Muchas gracias profesor Carlos.

Tengo una pregunta con respecto a lo siguiente:

Cuando quiero ver que \( [C,Set] \) es una categoría yo necesito probar que la clase de las transformaciones naturales \( Mor_{[C,Set]}(F,G) \) es un conjunto. Usando el Lema e Yoneda no lo consigo verdad? pues dicho lema solo me funciona cuando \( F  \) es un funtor representable.

Muchas gracias.

Saludos

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Hola.

Consideremos un cuerpo \( \mathbb{K} \).

Vamos a definir una categoría \( \mathfrak{C} \) de la siguiente manera:

\( Ob(\mathfrak{C})=\mathbb{N} \) y para cada \( n,m\in \mathbb{N} \) tenemos \( Mor_{\mathfrak{C}}(n,m)=M_{m\times n}(\mathbb{K}) \) donde

\( M_{m\times n}(\mathbb{K}) \) es el conjunto de matrices de orden \( m\times n \) con entradas  en \( \mathbb{K} \).

La composición está dada por el producto de matrices y las identidades

son las matrices identidad.

 

Para cada \( V\in \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) fijamos una base \( \beta_{V} \) de V.

Si \( T:V\to W \) es una transformación lineal, definimos \( A_T \) como la

matriz asociada a \( T \) en las bases \(  \beta_{V}  \)y \( \beta_{W} \).

Definimos \( \mathcal{F}: \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin}\to \mathfrak{C} \) de la siguiente manera:

En objetos: Para cada objeto \( V\in \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) definimos \( \mathcal{F}V:=Dim(V) \)

en \( \mathfrak{C} \) donde \( Dim(V) \) es la dimensión del espacio vectorial \( V \).





En flechas: Dada la flecha \( T:V\to W  \) en \(  \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) definimos la flecha

 \( \mathcal{F}T:=A_T:\mathcal{F}V=Dim(V)=n\to \mathcal{F}W=Dim(W)=m \)  en \( \mathfrak{C} \) donde
 
 \( A_T\in M_{m\times n}(\mathbb{K}) \).
 
 Es fácil ver que \( \mathcal{F} \) es un funtor.

Conseguí probar que  \( \mathcal{F} \) es una equivalencia.
 
Cómo consigo probar  que \( \mathcal{F}  \) no es un isomorfismo. (Un funtor es un isomorfismo si es plenamente fiel y biyectivo en objetos)

Gracias
 

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Categorías / Re: Yoneda embedding
« en: 15 Diciembre, 2018, 09:22 pm »
Muchas gracias.

Se puede demostrar eso sin usar el Lema de Yoneda?

Saludos

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Combinatoria / Combinatoria de parejas y helados
« en: 13 Diciembre, 2018, 08:03 pm »
Cuatro parejas de casados se ubican, cada esposo al lado de su esposa, en 8 sillas alrededor de una mesa circular en una heladería donde se expenden helados de 4 sabores diferentes. Si cada persona pide helado de un solo sabor y 6 de estas personas solo consumen 2 de los 4 sabores que hay, ¿de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse y hacer su pedido las 8 personas?

No entiendo el análisis siguiente:

Número de maneras es:

\( 3!*2^{10}*4^2 \)

Gracias.


            

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Combinatoria / Combinatoria (dígitos de un teléfono)
« en: 13 Diciembre, 2018, 07:55 pm »
Fernando necesita llamar por teléfono a la oficina de personal de su centro de trabajo. De los \(  7 \) dígitos del número telefónico, él recuerda los \( 3 \) primeros, también recuerda que los \( 3 \) últimos son iguales pero diferentes de cero. Si el costo de cada llamada es de \( S/ 0,20 \) y casualmente no ingresa otra llamada al teléfono de la oficina durante el tiempo que Fernando intenta comunicarse, ¿cuál es el costo máximo, en soles, que está dispuesto a asumir Fernando si él insistirá hasta comunicarse con la oficina de personal?

No entiendo el análisis siguiente:

(Número máximo de intentos que realizaría Fernando)\( =1*1*1*10*9*1*1= 90 \)

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