Hola.

El  ejemplo màs conocido de un espacio localmente anillado es \( (Spec(A),O_{Spec(A)}) \).

Otros ejemplos de espacios localmente anillados en geometrìa algebraica clàsica y en anàlisis complejo?

Gracias

Hola.

Alguien puede recomendarme algunos textos donde se comente y se explique que el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto (  la paradoja de Bertrand Russell o  paradoja del Barbero).

Muchas gracias.

Saludos

Hola.

Estuve haciendo las cuentas y no se consigue que T sea homomorfismo  , tengo que considrear el funtor representable covariante, ya con eso consigo la prueba. Escribiré de nuevo todo.

Gracias

Hola Geómetracat.

\( <G,*> \) un grupo y \( G  \) es visto  como  categoría denotada por \( C_G  \) que tiene un solo objeto, digamos "@".

\( H:C_G\to [C_G,Sets] \) es definido como:

En objetos:  \( @\in{C_G} \) definimos un objeto   \( h_@ \) de \( [C_G,Sets] \) de la siguiente manera: \( H_@:C_G\longrightarrow{Sets} \)

\(   @  -------->H_@@=Mor_{C_G}(@,@) \)

\( @\xrightarrow[s{}]\,{@} ------> h_@@\xrightarrow[H_@s]\,{h_@@} \)       tal que     \( H_@s(t)=t*s   \)     con \( t:@\longrightarrow{@} \), definido
 
así \( H_@ \) es un funtor contravariante.

En flechas: Para cada \( f:@\longrightarrow{@} \)    definimos una transformación natural \(  H_f:H_@\longrightarrow{H_@}    \).

Así definido \( H \) es funtor covariante.

El embedding de Yoneda nos dice que H es plenamente fiel e inyectivo en objetos.

Denotemos por \( F \) a la imagen del funtor \( H \), entonces \(  F=Im(H) \).
Afirmación 1:
\( F:C_G\to Sets \) es un funtor contravariante fiel.

\( F \) es  fiel sí y solo si \( T \) es inyectiva.
\( T \) está definida como sigue:
la aplicación \( T:Mor_{C_G}(@,@)\to Mor_{Sets}(F_@,F_@) \) definida como \( T(g):F_@\to F_@ \) tal que \( T(g)_@:F_@@\to F_@@ \) con \( T(g)_@(h)=h*g \). (Está definición de \( T  \) es por causa de como está definido \( H \))

MI PREGUNTA ES LA SIGUIENTE:

Porqué cuando \( F \) es la imagen de \( H \) se tiene que \( F_@@=Mor_{C_G}(@,@) \) ?

Veamos que \( T \) es inyectiva:

Sean \( f,g\in Mor_{C_G}(@,@) \) tal que \( T(g)=T(f) \) (estoy igualando transformaciones naturales, esto tiene sentido?)

pienso que esa igualdad significa \( T(g)_@=T(f)_@ \), luego \( T(g)_@(h)=T(f)_@(h) \) y esto es h*g=h*f y como estos son elementos del grupo entonces tomamos inversa de \( h \), luego \( g=f \). Por lo tanto \( T  \) es inyectiva.

Ahora observemos los siguiente:

\( G=Mor_{C_G}(@,@)  \)  y \( Mor_{Sets}(F_@,F_@)=\left\{{G\to G}\right\} \) es un grupo con la operación composición,  luego \( T:G\to \left\{{G\to G}\right\} \).
 Falta ver que \( T \) sea un homomorfismo (esto lo conseguí) y luego ya tengo un monomorfismo osea \( G \) sería un subgrupo de \( \left\{{G\to G}\right\} \).

Falta ver que  la colección de aplicaciones \( {G\to G} \) son biyectivas , para esto último cúal es la idea?

Gracias

Hola.

Mi pregunta es la siguiente:

Podemos definir funtores contravariantes  fieles, plenos, plenamente fieles y densos?

Lo que pasa es que en los libros definen eso para funtores covariantes.

Gracias

Falta una más.

Gracias.
No está en esas notas pero yo escribí la prueba, justamente es una caracterización de cuando un funtor es representable.
No usé el Lema de Yoneda.   

Puedo colocar la demostración que escribí?

Saludos

Sea \( \mathfrak{C} \) una categoría.
Para cada \( X\in \mathfrak{C} \) definimos \( \mathcal{H}_X:\mathfrak{C}\to \textbf{Set} \) de la siguiente manera:

\( \textbf{En objetos} \): Para cada \( U\in \mathfrak{C} \) tenemos que  \( \mathcal{H}_XU:=Mor_{\mathfrak{C}}(U,X) \)

\( \textbf{En flechas} \): Para cada flecha \( f:U\to V \) en \( \mathfrak{C} \) tenemos que

$$
\begin{array}{rccl}
\mathcal{H}_Xf:\mathcal{H}_XV:=Mor_{\mathfrak{C}}(V,X)&\longrightarrow&\mathcal{H}_XU:=Mor(U,X)\\ g&\mapsto&\mathcal{H}_Xf(g):=g\circ f
\end{array}
$$ 

es una flecha en \( \textbf{Set} \).

Así definido \( \mathcal{H}_X \) es un funtor contravariante.







Definición:

 Un funtor \( \mathcal{F}:\mathfrak{C} \to \textbf{Set} \)  contravariante es dicho  \( \textbf{representable} \)
 si \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_X \)  para algún \( X\in \mathfrak{C} \).

Definición:

 Si  \( \mathcal{F}:\mathfrak{C} \to \textbf{Set} \) es un funtor  contravariante  entonces un par \( (X,a) \)
 donde  \( X\in \mathfrak{C} \) y \( a\in \mathcal{F}X  \) es un \( \textbf{objeto universal} \) si para
 cada \( U\in \mathfrak{C} \) y para cada \( b\in \mathcal{F}U \) existe una única flecha \( f:U\to X \)
 tal que \( \mathcal{F}f(a)=b \).


Corolario:
Para cada \( A, B\in \mathfrak{C} \) se tiene que \( f:A\to B \) es un
  isomorfismo en \( \mathfrak{C} \) sí y solo si \( \mathcal{H}_A\to \mathcal{H}_B \)
  es un isomorfismo  en
   \( [\mathfrak{C},\textbf{Set}] \).
   
    En otras palabras \( A\cong B \)  sí y solo si \( \mathcal{H}_A\cong \mathcal{H}_B \).


Los objetos universales de un funtor
\( \mathcal{F}:\mathfrak{C}\to \textbf{Set} \) son únicos salvo isomorfismos. En efecto: Supongamos que un funtor   \( \mathcal{F}:\mathfrak{C}\to \textbf{Set}  \) es representado por dos objetos universales digamos \( (X,a) \) y \( (Y,b) \) entonces \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_X \) y \( \mathcal{F} \cong \mathcal{H}_Y \), luego \( \mathcal{H}_X \cong \mathcal{H}_Y \) entonces por el corolario obtenemos que \( X\cong Y \)

Cómo pruebo que \( a=b \) ?

Hola.

Consideremos un cuerpo \( \mathbb{K} \).

Vamos a definir una categoría \( \mathfrak{C} \) de la siguiente manera:

\( Ob(\mathfrak{C})=\mathbb{N} \) y para cada \( n,m\in \mathbb{N} \) tenemos \( Mor_{\mathfrak{C}}(n,m)=M_{m\times n}(\mathbb{K}) \) donde

\( M_{m\times n}(\mathbb{K}) \) es el conjunto de matrices de orden \( m\times n \) con entradas  en \( \mathbb{K} \).

La composición está dada por el producto de matrices y las identidades

son las matrices identidad.

 

Para cada \( V\in \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) fijamos una base \( \beta_{V} \) de V.

Si \( T:V\to W \) es una transformación lineal, definimos \( A_T \) como la

matriz asociada a \( T \) en las bases \(  \beta_{V}  \)y \( \beta_{W} \).

Definimos \( \mathcal{F}: \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin}\to \mathfrak{C} \) de la siguiente manera:

En objetos: Para cada objeto \( V\in \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) definimos \( \mathcal{F}V:=Dim(V) \)

en \( \mathfrak{C} \) donde \( Dim(V) \) es la dimensión del espacio vectorial \( V \).





En flechas: Dada la flecha \( T:V\to W  \) en \(  \textbf{Vect}_{\mathbb{K},fin} \) definimos la flecha

 \( \mathcal{F}T:=A_T:\mathcal{F}V=Dim(V)=n\to \mathcal{F}W=Dim(W)=m \)  en \( \mathfrak{C} \) donde
 
 \( A_T\in M_{m\times n}(\mathbb{K}) \).
 
 Es fácil ver que \( \mathcal{F} \) es un funtor.

Conseguí probar que  \( \mathcal{F} \) es una equivalencia.
 
Cómo consigo probar  que \( \mathcal{F}  \) no es un isomorfismo. (Un funtor es un isomorfismo si es plenamente fiel y biyectivo en objetos)

Gracias
 

Cuatro parejas de casados se ubican, cada esposo al lado de su esposa, en 8 sillas alrededor de una mesa circular en una heladería donde se expenden helados de 4 sabores diferentes. Si cada persona pide helado de un solo sabor y 6 de estas personas solo consumen 2 de los 4 sabores que hay, ¿de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse y hacer su pedido las 8 personas?

No entiendo el análisis siguiente:

Número de maneras es:

\( 3!*2^{10}*4^2 \)

Gracias.