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Mensajes - malboro

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Estructuras algebraicas / Conjunto de primos asociados unitario
« en: 10 Enero, 2020, 07:25 am »
Hola.

Dados  \( P\in Spec(A) \),  \( M\neq\{0\} \). Entonces \( Ass(M)=\{P \} \) sí y solo si \( x_M:M\longrightarrow{M} \) definido por \( x_M(m)=xm \) es nilpotente, para cada \( x\in P \).
Prueba:

Para la ida usamos http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111831.msg441968#msg441968

La vuelta es lo que no me queda claro.

CORREGIDO ENLACE.

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Gracias Geómetracat.


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Hola

Continuando con la caracterización de un endomorfismo nilpotente que se desarrollo  aquí http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111439.0.

Consideremos que \( A \) es un anillo conmutativo con identidad y noetheriano y \( M \) un \( A \)-módulo finitamente generado.

Para cada \( x\in{A} \) definimos el endomorfismo \( x_M:M\longrightarrow{M} \) definido por \( x_M(m)=xm \).
Entonces son equivalentes:

i) \( x_M \) es nilpotente

ii) \( x\in \displaystyle\bigcap_{P\in{Ass(M)}}^{}{P} \).

Ya se desarrollo \( i) \Rightarrow{ii)} \) en el enlace de arriba, ahora veremos \( ii)\Longrightarrow{i)} \).

Dado que \( x\in \displaystyle\bigcap_{P\in{Ass(M)}}^{}{P} \) entonces \( x\in P \) para todo \( P\in Ass(M) \), luego existe un \( m\in M \) tal que \( x\in P=Ann(m)  \), es fácil ver que \( x\in Ann(A/P) \) luego \( x\in Ann(M_i/M_{i-1)} \) para todo \( i=0,1,..,n \) pues  \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \) ( estos \( M_i \) vienen de  lo siguiente:
Consideremos siempre que \( A \) anillo conmutativo con identidad y noetheriano, \( M \) un \( A \)-módulo finitamente generado
 entonces existe una cadena ascendente de submódulos de \( M \), digamos \( 0=M_0\subset{M_1}\subset{M_2}\subset{}...\subset{M_n=M} \) tales que \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \) donde los \( P_i\in Spec(A) \) ).

Afirmación 1: \( x_M(M)\subseteq{M_{n-1}} \)
En efecto:

Sea \( x_M(m)=xm\in x_M(M) \), ya que \( m\in M \) entonces \( m+M_{n-1}\in M/M_{n-1} \) y dado que \( x\in Ann(M/M_{n-1)} \) pues \( x\in Ann(M_i/M_{i-1)} \) para todo \( i \) entonces \( x(m+M_{n-1})=M_{n-1} \) ahora de este último resultado se tendría que \( xm\in M_{n-1} \) si se prueba que  \( x\in M_{n-1} \). Me parece que \( x\in M_{n-1} \) pues \( M/M_{n-1}\cong A/P_i \) y ya que \( x\in P \). Esa es mi inquietud en esta prueba.

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Hola.

Estoy viendo la proposición 8 página 9 del libro LOCAL ALGEBRA del autor JEAN PIERRE SERRE.

Consideremos que \( A \) es un anillo conmutativo con identidad y noetheriano y \( M \) un \( A \)-módulo finitamente generado.

Para cada \( x\in{A} \) definimos el endomorfismo \( x_M:M\longrightarrow{M} \) definido por \( x_M(m)=xm \).
Entonces son equivalentes:

i) \( x_M \) es nilpotente

ii) \( x\in \displaystyle\bigcap_{P\in{Ass(M)}}^{}{P} \)

Prueba:

\( i) \Rightarrow{ii)} \) Por contradicción.

Supongamos que \( x\not\in{P} \) para algún \( P\in{Ass(M)} \).

Ahora dado que \( P\in{Ass(M)} \) (ya que \( P\in{Ass(M)} \) entonces existe un \( m\in{M} \) tal que \( P=Ann(m) \), esto quiere decir que \( xm\neq{0} \)) entonces existe un submódulo \( N  \) de \( M \) que es isomorfo a \( A/P \). Consideremos la restricción \( x_M|_N:N\rightarrow{M} \) de \( x_M \) que también es nilpotente y sabemos que \( m\in{N} \) (pues es sabido que \( N=<m> \)), luego tenemos que existe un entero positivo \( r \) tal que \( (xm)^r=0 \) entonces \( x^r\in{Ann(m^r)} \). No consigo llegar a la contradicción, espero una sugerencia.

Gracias

25
Muchas gracias a todos.

Saludos

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Hola.

Consideremos siempre que \( A \) anillo conmutativo con identidad y noetheriano, \( M \) un \( A \)-módulo finitamente generado.

Afirmación 1.-  \( A/P \) como un \( A \) módulo y \( P\in{Spec(A)} \). Entonces tenemos que \( Ass(A/P)=P \).

Afirmación 2.- Si \( N \) es un submódulo de M como \( A \)- módulos entonces \( Ass(N)\subseteq{Ass(M)\subseteq{Ass(N)\cup{Ass(M/N)}}} \).

Afirmación 3.- Existe una cadena ascendente de submódulos de \( M \), digamos \( 0=M_0\subset{M_1}\subset{M_2}\subset{}...\subset{M_n=M} \) tales que \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \) donde los \( P_i\in Spec(A) \).

Teorema.-  Si existe una cadena ascendente de submódulos de \( M \), digamos \( 0=M_0\subset{M_1}\subset{M_2}\subset{}...\subset{M_n=M} \) tales que \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \) donde los \( P_i\in Spec(A) \) entonces  \( Ass(M)\subseteq{\left\{{P_1,P_2,...,P_n}\right\}} \). Esto quiere decir que el conjunto de los ideales primos asociados es finito.

Prueba:

Por inducción en la longitud de la cadena.

Para \( n=1 \) tenemos \( 0=M_0\subset{M_1=M} \) tales que \( M_1/M_0\cong A/P_1 \), luego por afirmación 1 tenemos que \( Ass(M)=\left\{{P_1}\right\} \).

Supongamos que cumple el teorema para una cadena de longitud \( n-1 \) (Hipótesis inductiva).   ( pregunta: La hipótesis inductiva quiere decir que  \( Ass(M)\subseteq{\left\{{P_1,P_2,...,P_{n-1}}\right\}} \) )

Ahora consideremos una cadena de longitud \( n \), digamos \( 0=M_0\subset{M_1}\subset{M_2}\subset{}...\subset{M_n=M} \). tales que \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \). (Pregunta: Hay que probar que \( Ass(M)\subseteq{\left\{{P_n}\right\}} \)).

Cocientando la cadena anterior con \( M_1 \) tenemos \( 0=M_1/M_1\subset{M_2/M_1}\subset{}...\subset{M_n/M_1=M/M_1} \) dicha cadena tiene longitud \( n-1 \) y es fácil ver que \( (M_i/M_1)/(M_{i-1}/M_1)\cong A/P_i \) luego por hipótesis inductiva tenemos que \( Ass(M)\subseteq{\left\{{P_1,P_2,...,P_{n-1}}\right\}} \). Por otro lado tenemos que \( M_n/M_{n-1}\cong A/P_n \) luego \( Ass(M/M_{n-1})=\left\{{P_n}\right\} \) y \( Ass(M_1)=\left\{{P_1}\right\} \), ya que \( M_1 \) es un submódulo de \( M \) entonces por afirmación 2 tenemos que \( Ass(M_1)\subseteq{Ass(M)} \) luego \( P_1\in{Ass(M)} \), también por afirmación 2 tenemos que \( Ass(M)\subseteq{Ass(M_1)\cup{Ass(M/M_1)}} \). Hasta aquí llegue.

Espero una sugerencia.

Muchas gracias.


27
Muchas gracias.

Saludos

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Hola

¿Se cumple que \( K^n=K\oplus{K}\oplus{}...\oplus{K} \),  (\( n \) -veces ) ?  donde \( K \) es un \( K \)-espacio vectorial.

Gracias

29
Muchas gracias Manco.

Saludos

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Gracias Manco ahora lo veo.

Ese PDF lo tienes completo?

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Hola.

Sea \( A \) un anillo local donde \( K=\displaystyle\frac{A}{M} \) con \( M \) ideal maximal de A.

Sean \( M \) y \( N \) dos \( A \)-módulos. Probar que si \( M\otimes_A{N}=0 \)  entonces \( M=0 \) o \( N=0 \).

La prueba la he visto aquí: https://dangtuanhiep.files.wordpress.com/2008/09/papaioannoua_solutions_to_atiyah.pdf.

La parte que no me queda clara es,  porqué \( M_K:=M\otimes_A{K} \) es un \( K \)-espacio vectorial?

Muchas gracias

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Gracias Manco.

Estoy manejando justamente la propiedad universal.

Saludos

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Hola.

Supongamos que  \( V \) y \( W \) son  \( K \)-espacios vectoriales con bases \( (e_i)_{i \in I} \) y \( (f_j)_{j \in J} \)  respectivamente. Entonces la colección de elementos \( e_i \otimes f_j \)  con  \( \left(i,j\right) \in I \times J \) forma una base de \( V\otimes W \).

Una idea por favor para la independencia lineal.

Gracias

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Estructuras algebraicas / Re: Subgrupo de la intersección
« en: 15 Octubre, 2019, 06:09 am »
7 y 5 son coprimos y divide un número A natural a cada uno de ellos entonces cuánto vale A?

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Estructuras algebraicas / Re: Centro y grupo cociente
« en: 13 Octubre, 2019, 03:03 pm »
Hola.

Mira aquí https://proofwiki.org/wiki/Center_of_Dihedral_Group
Si no entiendes algún paso puedes preguntar.

Saludos

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Muchas gracias Geómetracat.

\( M/N \) es simple porque los submódulos de ese cociente se identifican con los submódulos de M que contienen  N ?

37
Hola

Estoy queriendo probar una afirmación que el Manco comentó en el siguiente hilo: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110846.0 .
Ojo: \( A \) es anillo conmutativo con identidad.
Afirmación del hilo:
Si \( M\neq{0} \) es un \( A \)-módulo finitamente generado  entonces existe un submódulo \( N\neq{M} \) tal que \( \displaystyle\frac{M}{N} \) es simple.

Prueba:

Usaremos la siguiente afirmación:

\( M\neq{0} \) es simple sí y solo si para cada \( 0\neq{m}\in M \) se tiene que \( M=<m> \) (ejercicio).



Supongamos que \( \left\{{m_1,...,m_k}\right\} \) son los generadores de \( M \).

Inducción sobre \( k \).\

Para \( k=1 \)

Tenemos que \( <m_1>=M \). Si consideramos un \( m_0\in M \) tal que \( m_0\neq{m_1} \) entonces \( <m_0> \) es un submódulo de \( M \).
Afirmación: \( \displaystyle\frac{M}{<m_0>} \) es simple. El razonamiento está bien?  (En este caso \( N=<m_0> \)).

Y para lo que sigue de la inducción ?

Gracias
 




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Estructuras algebraicas / Re: El lema de Nakayama
« en: 12 Octubre, 2019, 07:36 pm »
Muchas gracias Manco.

Hay alguna razón para es  cambio de hipótesis? porque la prueba es la misma.

saludos

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Estructuras algebraicas / Re: El lema de Nakayama
« en: 11 Octubre, 2019, 04:58 pm »
Gracias Manco.

Si quitamos la hipótesis de \( I \) está contenido en el radical de Jacobson de \( A \) y colocamos que el anillo \( A \) es local. La prueba es la misma ?

Saludos

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Estructuras algebraicas / Re: El lema de Nakayama
« en: 11 Octubre, 2019, 01:58 pm »
Gracias Manco.

Continuando con la prueba entonces tenemos \( M/N \cong A/m \) y luego necesito relacionar con un contenido al maximal \( m \) y también al módulo  \( M \) para conseguir que \( mM\neq M \). Qué consigo de ese isomorfismo?

saludos


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