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Mensajes - cibernarco

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Hallar la transformación rígida que lleva el triángulo  \( \triangle{ABC} \) en el triángulo \( \triangle{A´B´C´} \)
siendo A=(-2,4) B=(1,2) C=(0,5) A´=(6,4) B´=(3,2) C'=(4,5).

Yo en la teoría pude entender cómo es la transformación que un punto a otro, pero acá con figuras se me complicó un poco, espero puedan ayudar

otra cosa que entendí es que si el eje de simetría está en (0,0) se podría usar \( (x,y)\longrightarrow{(-x,y)} \) pero en este caso el eje de simetría esta en x=2  entonces se ocurrió que la transformación podría ser, \( (x,y)\longrightarrow{-x+4, y)} \)

¿está bien eso? yo pude llegar a eso dibujando ambos triángulos, ¿pero hay algún otro método analítico?

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intente resolver y acercarme lo que mas pueda a la formula general, pero llegue a esto:

\( z_0 + (\overline{z_0}.e^{-2i\theta_1} - z_0 . e^{-2i\theta_1} - z_0) . e^{2i\theta_2} + z . e^{-2i\theta_1+2i\theta_2}  \)

Me parece bastante raro como me esta quedando.

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\( z_0+((\overline{z_1}+ z -z_1).e^{-2i\theta_1}- z_0). e^{2i\theta_2} \)

entonces me quedaria asi: una vez llegado a esto ¿hace falta resolver las distributivas?

o suponer que \( \overline{z_1}+ z -z_1).e^{-2i\theta_1} \) puede ser un \( z \) ya llego a las formula \( R_{z_0,\alpha}(z)=z_0+(z-z_0)e^{i\alpha} \)

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Pasa en que en el libro: "TRANSFORMACIONES EN GEOMETRÍA  EUCLIDIANA Y NO EUCLIDIANA" MARTIN Chuaqui y Gonzalo Riera lo hace, pero de estar ultima forma es mas sencillo, muchas  gracias , no sabes la ayuda que me estas dando, estoy logrando entender todo.

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pude entender las formulas, no entendi cuando dices con un angulo el doble del que forman los ejes de simetría. Con esto te refieres a que la forma general de la axial esta el angulo multiplicado por 2? o por otra cosa? y a que te refieres con ejes de simetria?

Por otro lado intentado componer supongamos dos simetrias axiales \( S_{z_0,\theta}(z)=z_0+(\bar z-\bar z_0)e^{2i\theta} \) y la otra
\( S_{z_1,\theta}(z)=z_1+(\bar z-\bar z_1)e^{2i\theta} \)

entonces componiendo me quedaria : \( z_0+(\overline{(z_1+(\bar z-\bar z_1)e^{2i\theta})} -\bar z_0)e^{2i\theta} \)

de ahi \( z_0+((\overline{z_1}+ z -z_1).e^{2i\theta}- z_0). e^{2i\theta} \)

voy bien haciendo eso?

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hola, con el ejercicio que me respondiste hace un rato me surgio una duda sobre este.

Se me ocurrio hacer esto: Si tengo \( S_{z0} (z)= -z +2z_0 \) por definición de simetria central, entonces para hacer el producto de dos simetrias ( el ejercicio me pide tres , pero yo te pregunto con dos para saber mas que nada si se puede hacer el metodo que te digo) tomo como otra simetrias  \( S_{z1} (z)= -z +2z_1 \), componiendo como dijiste en el otro ejercicio, me quedaria:

\(  -(-z +2z_1) +2z_0 = z - 2 (z_1 -z_0)  \)

¿esta bien eso? porque de esta manera seria mucho mas facil y rapido que lo que hice mas arriba para demostrar

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1) Sea ABC un triángulo equilátero e I su centro de gravedad.Demuestre que la rotación  \( R_{(I,-\displaystyle\frac{2 \pi}{3})} \) es la composición de dos simetrias axiales con respecto a las alturas del triángulo.

Hola chicos me dieron este ejercicio, lo que me genera dudas es el tema de la rotacion, si yo compongo dos simetrias axiales, ¿a qué deberia llegar? ¿ Cómo es la forma de una rotación?

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ahi creo entendi un poco mas, a ver entonces ahora tendria que componer


\( f(z)=2a-\bar{z} \)  y   \( g(z)=2bi+\bar{z} \)


para componerla hice asi: \( -(2a-\overline{z}) +2 (2b_1+\overline{z}) \)

esta bien eso?

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El apunte que tengo y el libro que me dieron para trabajar no está muy completo que digamos, no dice específicamente axial mi apunte pero lo llama simetría respecto a una recta. y me dan la fórmula \( \left |{z}\right |.e^{i \color{red}\theta} \)

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voy a ir intentado entender paso a paso lo que hiciste.
Primero tomaste dos rectas coincidentes con el eje real y el eje imaginario. Luego como haces para llegar a \( f(z)=2a-\bar{z} \)

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Una simetria de centro O seria \( S(z)=-(z-z_0) + z_0 \)  pero de ahi como parto para llegar a dos simetrias axiales?

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Si entiendo lo que dices, muchas gracias!. Lo raro es que el practico se llama en complejos y en la teoria que el profesor no dio el resuelve la composicion de dos simetrias asi como lo hize yo. Voy a hacerlo como el puso en los apuntes y luego le preguntare si asi esta bien o debo expresarlo en complejos.

Siguendo con el ejercicio, ahora usaria un punto \( (c_1, c_2) \) entonces:

\( x´´ \longrightarrow{x+2 (b_1 - a_1) - c_1}\longrightarrow{ -x-2(b_1- a_1 - c_1)} \)

y para y´´ \( -y-2(b_2 - a_2 -c_2) \)

estaria bien asi?

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Hola chicos me dieron este ejercicio espero puedan ayudarme!

1) Demuestre que la simetría en el centro O es la composición de dos simetrías axiales

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hola chicos, pude hablar con el profesor sobre este ejericicio y me dice que se puede resolver de esta manera, lo dejo para que quede completo o opinen sobre esta resolucion:

\( T_ac = a + k  \longrightarrow{ c= a+ k} \longrightarrow{k =c-a}\longrightarrow{k=\overline{ca}} \)


\( T_bd = b + k  \longrightarrow{ d= b+ k} \longrightarrow{k =d-b}\longrightarrow{k=\overline{db}} \)

entonces \( \overline{ca}=\overline{db} \) lo mismo haria con el lado ba y el dc  y quedaria demsotrado que es un paralelogramo

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Si el practico que estoy resolviendo se llama isometrias en el plano complejo, yo lo que hice fue, por ejemplo para definir la simetrias de (x,y) respecto a A=\( (a_1,a_2) \) hice:

 \( x\longrightarrow{x-a_1}\rightarrow{-x+2a_1=x´} \)

lo mismo con \( y\longrightarrow{y-a_2}\rightarrow{-y+2a_2=y´} \)    esto me da \( S_(a) \)

Ahora con un punto \( b=(b_1,b_2)  \) contruyo \( S_(a) o S_(b) \longrightarrow{-(x+2a_1)+2b_1}=x+2(b_1-a_1) \)

igual para Y' y me queda \( y+2(b_2-a_2) \)

ahi lo hice para dos simetrias, ¿para hacer con tres deberia hacer lo mismo de nuevo para un punto \( (c_1,c_2) \)?

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genial muchas gracias!!

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Entonces asi podria ser: \( \displaystyle\frac{z+ (-(z-a)+a)}{2} = a \)  resolviendo me queda que es a=a , esta bien eso?
 

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Te está faltando corregir el título.

Hola chicos me dieron este ejercicio.

1)Demuestre que el producto de tres simetrias centrales (con igual o diferente centros) es una simetria.

A mi se me ocurrio tomar 3 simetrias: \( S_a= (-x+2a_1,-y+2a_2) \)  \( S_b= (-x+2b_1,-y+2b_2) \) \( S_c= (-x+2c_1,-y+2c_2) \)

Pero como hago para hacer su producto?

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Si puede entender eso que pusiste. Ahora yo para demostrarlo no tengo valores para reemplazar en \( \dfrac{z+S_a(z)}{2}=a \)
Y para hacerlo en forma generica se me ocurrio hacer \( \displaystyle\frac{(x,y)+ (-x,-y)}{2}= a \) pero ahi me quedaria a=0 significado algo eso? esta bien lo que hice?

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Hola chicos, tengo este ejercicio!

Definimos las simetrías centrales de centro \( z_0 \) como \( S_z0 = -(z- z_0) + z_0 \)

a) Sea \( S_a \) una simetria central. Demuestre que el punto medio entre P y  \( S_a (P) \) es a

Por lo que tengo entendido esto es muy claro, porque una simetria central es respecto a un punto en este caso el punto a, y quda obvio que es la mitad. Porque es la misma distancia de "a" hacia la P que hacia \( S_a (P) \) . ¿Esta bien lo que digo? en ese caso ¿cómo haria para demostrarlo?

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