Hola amigos, estoy tratando de resolver este ejercicio.
CORREGIDO
Sea \( C=\left\{{x\in{\mathbb{R}}^{+}:2<x^2}\right\} \), pruebe que \( \inf(C) =\sqrt{2} \)
Bueno, en primer lugar
(a)
\( C \) es un conjunto no vacío, pues \( 3^{2}=9>2 \) por que que \( 3\in{C} \)
(b)
\( C \) es un conjunto acotado inferiormente , ya que, si suponemos lo contrario, para cada \( T\in{\mathbb{R}} \) existe algún elemento \( x_{T} \) de \( C \) tal que \( x_{T}<T \), en particular si \( T=1 \), debe haber algún \( x_{1}\in{C} \) tal que \( x_{1}<1 \) de donde \( x^{2}_{1}<1 \). Pero como \( x_{T}\in{C} \) se tiene que \( 2<x^{2}_{1} \)
por tanto \( 2<1 \) lo que claramente es una contradicción. por tanto \( C \) es un conjunto acotado inferiormente.
De (a) y de (b) se tiene que \( C \) es un conjunto con ínfimo en \( \mathbb{R} \)
Mi problema es probar que efectivamente se cumple que \( inf(C)=\sqrt[ ]{2} \)
Se que se hace probando que es imposible que \( inf(C)>\sqrt[ ]{2} \) y que también es imposible que \( inf(C)<\sqrt[ ]{2} \)
Yo lo hice así: Sea \( I=inf(C) \)
1) Si \( I>\sqrt[ ]{2} \), existe un \( 0<\epsilon<1 \) y que \( \epsilon<\displaystyle\frac{I^2-2}{2I} \) para el cual habrá un número real x tal que.
\( I-\displaystyle\frac{I^2-2}{2I}<x<I \)
de donde al elevar al cuadrado
\( I^{2}-2I\left\{{\displaystyle\frac{I^2-2}{2I}}\right\}+\left\{{\displaystyle\frac{I^2-2}{2I}}\right\}^{2}<x^{2} \)
De donde al simplificar se tiene que:
\( 2+\left\{{\displaystyle\frac{I^2-2}{2I}}\right\}^{2}<x^{2} \)
De donde \( 2<x^{2} \) con lo que \( x\in{C} \) de donde \( I \) NO SERÍA EL ÍNFIMO DEL CONJUNTO \( C \).
¿Está bien lo que hice?. Podrían ayudarme con el otro caso, no logro resolverlo
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