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Temas - Hasclepio

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Cálculo 1 variable / Composición de desarrollos limitados de Taylor
« en: 25 Diciembre, 2009, 06:33 pm »
Hola

Estoy intentando entender la demostración de la composición de desarrollos limitados.

En el libro me aparece una  identidad que no entiendo bien, y es la siguiente, en un paso de la demostración de \( g \circ f \)

\( \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i\big(p(x)+o(x^n)\big)^i=\sum_{i=1}^n a_i\big(p(x)\big)^i+o(x^n) \)

En donde p y q son los respectivos polinomios de los desarrollos de dos funciones f y g, centrados en el origen y además: \( q(y)=\sum_{i=1}^n a_i y^i \)

un saludo (he buscado por el foro pero no viene en ningún lugar esto  ???)

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Cálculo 1 variable / Derivadas y notación diferencial de Leibniz
« en: 22 Diciembre, 2009, 10:48 am »
Hola

He mirado por el buscador, y he encontrado varios mensajes que trataban el tema de lso "diferenciales" en el cálculo.

Sin embargo, en ninguno de ellos se llega a nada, porque se desvía el tema hacia visiones particulares e intentos de crear una teoría propia.

Quería por favor, que alguien me explicara porqué está mal usar la derivada como cociente de cantidades infinitesiamles, ya que aunque la derivada es un límite, y no un cociente, esta definición es equivalente a la derivada mediante cociente de cantiades infinitesimales.

Por ejemplo, si la función \( y=f(x) \) tal que \(  f:[a,b] \to \mathbb{R} \) es continua en un intervalo cerrado y derivable en el abierto, se puede aplicar el teorema de los incrementos finitos y aprovechando que la función es continua, llegando a que:

\( \Delta y = f'(x_0)\Delta x +  o(\Delta x)\Delta x \)

En donde se puede definir \( dy=f'(x_0)\Delta x \) en el punto \( x_0 \), que se puede interpretar como una aplicación lineal.

Si se designa ahora \( y=f(x)=x \Rightarrow \Delta y=1\Delta x + o(\Delta x) \) y se llega a que \( dx=\Delta x \) tenemos que en el límite, teniendo en cuenta la notación de la o pequeña de Landau:

\( f'(x_0)=\dfrac{dy}{dx} \)
Como cociente cuando \( h=\Delta x\to 0 \)

Y esta definición es equivalente a la inicial, es trivial probarlo, por ejemplo \( \Rightarrow \)

\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \Rightarrow f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)+o(h) \) \( \Rightarrow \Delta y =f'(x_0)h+o(h)  \) Llegando al diferencial de la función y=f(x)

Que se puede seguir trivialmente, sacando el otro diferencial y después en el otro sentido, se puede deducir el límite de la definición de toda la vida, partiendo del cociente de diferenciales.


Dicho todo esto ¿por qué algunos libros lo consideran una huída "heurística" y cutrecilla? hace mucho tiempo, nadie sabía interpretar lo que era un diferencial, famosos son las citas de Euler, pero hoy en día se puede definir con un límite de una función que es igual a cero, ya que para cualquier numero dado, siempre seremos capaces de encontrar un valor \( \epsilon > 0 \) que la haga menor.

Es decir, que no lo entiendo, por favor a ver si alguien me puede explicar dónde está lo heurístico, porque yo veo una equivalencia entre dos definiciones, una es un límite  y la otra  usa la notación diferencial, como cociente de cantidades infinitesimales.

un saludo

Si una cantidad no negativa fuera tan pequeña que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podría ser sino cero. A quienes preguntan qué es una cantidad infinitamente pequeña en matemáticas, nosotros respondemos que es, de hecho, cero. Así pues, no hay tantos misterios ocultos en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el cálculo de lo infinitamente pequeño en algo sospechoso para mucha gente. Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las páginas siguientes, donde explicaremos
este cálculo.

Leonhard Euler


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