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Mensajes - jbgg

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Esquemas de demostración - Inducción / Re: Implicación verdadera
« en: 24 Octubre, 2013, 08:19 am »
Otra manera.

Tomamos el conjunto de puntos solución \( S=\{(x,y) : x-y=1,\ -x+y=1\} \).
Se verifica que \( S=\emptyset \), entonces \( S=\emptyset \subset C \), para cualquier conjunto \( C \), que podemos tomar, en particular el que te interesa, \( C = \{(x,y) : x=y\} \).

Así como se tiene \( S\subset C \), ocurre que si \( (x,y)\in S \) entonces \( (x,y)\in C \).

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Estructuras algebraicas / Re: Características
« en: 23 Octubre, 2013, 08:18 pm »
Por lo tanto, veo que \( 1_B+1_B+...+1_B=0 \)(n veces) y yo se que m es el mínimo natural que  \( \underbrace{1_B+1_B+\ldots+1_B}_{m\quad veces}=0  \).Por lo tanto n es un múltiplo de m, es decir, \( char(B)\leq char(A) \)

El único detalle es que no deduces que es múltiplo, sino que por ser \( m \) el menor con esa propiedad, quiere decir que cualquier otro que también cumpla la propiedad debe ser mayor, como \( n \) la cumple entonces \( m \) es menor que \( n \), esto es \( m\leq n \).

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Esquemas de demostración - Inducción / Re: Implicación verdadera
« en: 23 Octubre, 2013, 08:14 pm »
Lo que has deducido es cierto, si hubiera algunos números que cumpliera las ecuaciones. Es decir, al escribir las ecuaciones y trabajar con ellas, trabajas con posibles soluciones. Pero en ese caso no hay ninguna solución, porque no existe un número \( (x-y) \) que cumpla \( (x-y)=1 \) (primera ecuación) y \( (x-y)=-1 \) (segunda ecuación)

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Cálculo de Varias Variables / Re: Operador Laplaciano
« en: 23 Octubre, 2013, 08:10 pm »
Bien, era mejor buscar en google. Porque lo había intentado por el método "tradicional" (único que conozco) y no me ha salido, además de que era muchas cuentas.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Operador Laplaciano
« en: 23 Octubre, 2013, 03:31 pm »
Deberías de comenzar en hallar el cambio de variables.

Para esto usa que \( (x,y)=(a_1(t)+eSn_1(t),a_2(t)+eSn_2(t)) \). El vector normal lo podemos hallar en función de la parametrización de la curva, ya que \( (n_1(t),n_2(t))=(-\dot{a}_2(t),\dot{a}_1(t)) \) (el punto indica derivada con respecto a \( t \), y se calcula tomando el vector tangente, y calculando un perpendicular a este, que en el plano es cambiar las coordenadas y cambiar de signo la primera). Ahora ya podemos escribir el cambio de variable

\( \begin{array}{c}
x(t,S) = a_1(t)-eS\dot{a}_2(t)\\
y(t,S) = a_2(t)+eS\dot{a}_1(t)
\end{array} \)

A partir de aquí no he hecho los cálculos, pero consiste en hacer las derivadas parciales, del cambio anterior, hasta conseguir \( \partial^2_x+\partial^2_y \), seguramente habrá que despejar y demás (si has hecho el de cambio a polares, sabes lo que te hablo). Si desde aquí no te sale, lo comentas, y lo intento yo ;)

P.D.: He llamado con subíndices a las coordenadas.

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Cálculo 1 variable / Re: Tangentes horizontales
« en: 22 Octubre, 2013, 10:41 pm »
Sí. Mostrando un polinomio que cumple eso, por ejemplo \( f(x)= x^3+x \), la derivada es \( f'(x) = 3x^2+1 \) que nunca se anula.

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Estructuras algebraicas / Re: Características
« en: 22 Octubre, 2013, 10:30 pm »
Esto creo es falso(\( \Leftarrow \)). Por ejemplo \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) tiene una copia de \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) sin embargo \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) no es de característica 2.

La afirmación que hago es cierta, de hecho, tu contraejemplo no vale porque la aplicación que estás pensando no es homomorfismo de anillos (la unidad multiplicativa debe identificarse con la unidad multiplicativa, en tu caso \( 1\to 3 \) y \( 3\neq 1 \)).

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Estructuras algebraicas / Re: Características
« en: 22 Octubre, 2013, 08:52 pm »
La afirmación que comentas es verdad si es isomorfismo, pero también se cumple con algo más débil, si es homomorfismo inyectivo (sobreyectividad no hace falta).

La demostración supongo que se puede hacer directo por la definición de característica de anillo. Pero si conoces la siguiente caracterización para la característica de anillo quizás te puede resultar cómodo, dice así, un anillo \( A \) tiene característica \( n \) si y sólo si \( A \) contiene un subanillo isomorfo a \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \).

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Teoría de Conjuntos / Re: Relación inversa
« en: 22 Octubre, 2013, 08:42 pm »
La relación inversa es como has definido aquí

El libro de texto dice: "Dada una relación \( \mathcal{R} \) entre \( A \) y \( B \), \( \mathcal{R}\subset{A\times{B}} \) se denomina relación inversa de \( \mathcal{R} \) al subconjunto \( \mathcal{R}^{-1}\subset{B\times{A}} \) definido por

\( \mathcal{R}^{-1}=\{(y,x)\in{B\times{A}}\mid{(x,y)\in{\mathcal{R}\subset{A\times{B}}}}\} \)."

Más adelante relaciona cuando una relación \( \mathcal{R} \) es reflexiva con una propiedad con la relación inversa, justo la que has escrito

Propiedad simétrica: La relación \( \mathcal{R} \) es simétrica si y sólo si \( \mathcal{R}^{-1}\subset{R} \)

En lo anterior no está definiendo relación inversa, sino que está usandola para dar una equivalencia para que una relación \( \mathcal{R} \) cumpla la propiedad simétrica.

Creo que era esto lo que querías aclarar, si no, comentas lo que quieras.

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Números complejos / Re: Imagen de una circunferencia con Mathematica
« en: 22 Octubre, 2013, 08:34 pm »
Si el radio es 4, la curva será \( 4 e^{i t} \), en lugar de 2.

Y no es que la gráfica no salga, sino que lo tapa los ejes. Si pones
Código: [Seleccionar]
ParametricPlot[{Re[fd[2 Exp[I t]]], Im[fd[ 2 Exp[I t]]]}, {t, 0, 2 Pi},Axes->False]entonces aparece, aunque no se verán los ejes.

Para que se vea con los ejes también, puedes hacer
Código: [Seleccionar]
ParametricPlot[{Re[fd[2 Exp[I t]]], Im[fd[ 2 Exp[I t]]]}, {t, 0, 2 Pi},PlotStyle -> {Thick, Red}]y algo mejor se ve.

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Está bien ;)

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Teoría de Conjuntos / Re: diferencia de conjuntos
« en: 22 Octubre, 2013, 08:26 am »
Tomando un elemento del conjunto de la izquierda y llegando que está en el de la derecha, deberás usar que \( B-C\subset B \). ¿Lo puedes resolver con esta idea?

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La expresión se puede simplificar del siguiente modo

\( \displaystyle \frac{x^3+xy^2+i(x^2y+y^3)}{x^2+y^2} = \frac{x(x^2+y^2)+ iy(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = x+iy \)

a) Con lo anterior, ya puede juzgar si así definida la función es continua o no en \( z=0 \)

b) También, fácilmente, puedes hablar sobre la función en cualquier \( z\neq0 \).

c) Puedes usar que \( u(x,y)=x \) para \( (x,y)\neq(0,0) \).

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el_manco llevas razón. La dificultad está en interpretar esas comas y el enunciado. No estaría mal aclarar exactamente cuales son las hipótesis y cuales las conclusiones. Mis disculpas si interpreté los enunciados incorrectamente.

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Análisis Matemático / Re: Estudiar la continuidad en dos variables
« en: 21 Octubre, 2013, 12:16 am »
Cuando se define una función hay que decir cual es el dominio, ¿sabes cual es el dominio de la función?

Una vez conocido el dominio, se puede estudiar la continuidad en cada punto del dominio.

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Análisis Matemático / Re: Estudiar la continuidad en dos variables
« en: 20 Octubre, 2013, 11:47 pm »
mmm no se tendria que usar limites para este problema?
- la funcion no se define cuando x e y valen 2/π

El problema, que te ha comentado el_manco, es que para definir una función hay que mostrar que valores toma en todo punto de su dominio (el cual también hay que explicitarlo, aunque hay veces que se entiende cual es). Y como te ha comentado en los puntos donde el denominador se anula no está definido la función.

Si no se dice el dominio, se entiende que es en todo \( \mathbb{R}^2 \) salvo donde no se conoce los valores (en este caso, cuando se anula el denominador). Los puntos donde se anulan, es cuando \( x \) e \( y \) son números enteros impares.

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Análisis Matemático / Re: Analizar si la funcion es continua....
« en: 20 Octubre, 2013, 11:28 pm »
\( \displaystyle\lim_{r\to0^+} \frac{\tan(r^2)}{r^2} = \lim_{r\to0^+} \frac{\sin(r^2)}{r^2}\cdot\frac{1}{\cos(r^2)} \)

¿Sabes que \( \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)?

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Antes de exponer mi duda, agradecer el tiempo que dedicas en escribir estas cosas.

Mi duda viene de la siguiente afirmación

La relación exacta entre los conjuntos medibles Lebesgue y los conjuntos de Borel es que un conjunto \( A \) es medible Lebesgue si y sólo si \( A=B\cup N \), donde \( B \) es un conjunto de Borel y \( N\subset C \), para otro conjunto de Borel \( C \) de medida nula.

Y mi razonamiento es el siguiente, los conjuntos de Borel forman un álgebra, así que la unión de dos de ellos es un conjunto de Borel, entonces si cada medible Lebesgue se escribe como unión de dos conjuntos de Borel, todo conjunto medible Lebesgue es de Borel. Pero por lo siguiente

Sin embargo, sucede que \( \mathcal M_n \) es estrictamente mayor que \( \mathcal B_n \). De hecho tiene una propiedad que no cumple el álgebra de Borel:

Si \( A \) es un conjunto medible Lebesgue con medida \( 0 \) y \( B\subset A \), entonces \( B \) es medible Lebesgue (obviamente de medida \( 0 \)).

no puede ocurrir.

¿puede ser que en la afirmación de la equivalencia de conjunto medible Lebesgue, el conjunto de medida nula no tiene porqué ser de Borel?

Gracias.

Edito: fallo mio. Acabo de leer bien la proposición y el conjunto \( N \) no es de Borel, sino un subconjunto de un conjunto de medida nula de Borel.

He mezclado la proposición que vale para medibles Lebesgue y no para Borel, pensando que sí vale para estos últimos. Al tenerlo delante (por citarlo) me he dado cuenta.

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Análisis Matemático / Re: Analizar si la funcion es continua....
« en: 20 Octubre, 2013, 09:46 pm »
Para estudiar continuidad habrá que comprobar si

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) \)

Para estudiar este límite te aconsejo un cambio a polares.

Habiendo comprobado la continuidad en \( (0,0) \), en los demás puntos la continuidad es inmediata por composición y cociente de funciones continuas.

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1) La afirmación se cumple en todo espacio métrico (no hace falta que sea separable, e incluso en todo espacio topológico).

Por contradicción, supongamos que \( (f_n)_n \) tiene intersección vacía, esto es \( \bigcap_n f_n=\emptyset \). Ahora considera los complementarios de \( (f_n)_n \), entonces se tendrá que \( \bigcup_n f_n^c=E \)... continúa.

2) En el segundo entiendo que \( K\subset\mathbb{R} \), entonces con esas hipótesis es falso el enunciado. Considera \( K=\mathbb{R} \), es infinito, todos sus puntos son de acumulación y no es compacto. ¿Puede que la hipótesis sea \( K \) infinito numerable?

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