Otra manera.

Tomamos el conjunto de puntos solución \( S=\{(x,y) : x-y=1,\ -x+y=1\} \).
Se verifica que \( S=\emptyset \), entonces \( S=\emptyset \subset C \), para cualquier conjunto \( C \), que podemos tomar, en particular el que te interesa, \( C = \{(x,y) : x=y\} \).

Así como se tiene \( S\subset C \), ocurre que si \( (x,y)\in S \) entonces \( (x,y)\in C \).

Lo que has deducido es cierto, si hubiera algunos números que cumpliera las ecuaciones. Es decir, al escribir las ecuaciones y trabajar con ellas, trabajas con posibles soluciones. Pero en ese caso no hay ninguna solución, porque no existe un número \( (x-y) \) que cumpla \( (x-y)=1 \) (primera ecuación) y \( (x-y)=-1 \) (segunda ecuación)

Deberías de comenzar en hallar el cambio de variables.

Para esto usa que \( (x,y)=(a_1(t)+eSn_1(t),a_2(t)+eSn_2(t)) \). El vector normal lo podemos hallar en función de la parametrización de la curva, ya que \( (n_1(t),n_2(t))=(-\dot{a}_2(t),\dot{a}_1(t)) \) (el punto indica derivada con respecto a \( t \), y se calcula tomando el vector tangente, y calculando un perpendicular a este, que en el plano es cambiar las coordenadas y cambiar de signo la primera). Ahora ya podemos escribir el cambio de variable

\( \begin{array}{c}
x(t,S) = a_1(t)-eS\dot{a}_2(t)\\
y(t,S) = a_2(t)+eS\dot{a}_1(t)
\end{array} \)

A partir de aquí no he hecho los cálculos, pero consiste en hacer las derivadas parciales, del cambio anterior, hasta conseguir \( \partial^2_x+\partial^2_y \), seguramente habrá que despejar y demás (si has hecho el de cambio a polares, sabes lo que te hablo). Si desde aquí no te sale, lo comentas, y lo intento yo

P.D.: He llamado con subíndices a las coordenadas.

Esto creo es falso(\( \Leftarrow \)). Por ejemplo \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) tiene una copia de \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) sin embargo \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) no es de característica 2.

La afirmación que hago es cierta, de hecho, tu contraejemplo no vale porque la aplicación que estás pensando no es homomorfismo de anillos (la unidad multiplicativa debe identificarse con la unidad multiplicativa, en tu caso \( 1\to 3 \) y \( 3\neq 1 \)).

La relación inversa es como has definido aquí

El libro de texto dice: "Dada una relación \( \mathcal{R} \) entre \( A \) y \( B \), \( \mathcal{R}\subset{A\times{B}} \) se denomina relación inversa de \( \mathcal{R} \) al subconjunto \( \mathcal{R}^{-1}\subset{B\times{A}} \) definido por

\( \mathcal{R}^{-1}=\{(y,x)\in{B\times{A}}\mid{(x,y)\in{\mathcal{R}\subset{A\times{B}}}}\} \)."

Más adelante relaciona cuando una relación \( \mathcal{R} \) es reflexiva con una propiedad con la relación inversa, justo la que has escrito

Propiedad simétrica: La relación \( \mathcal{R} \) es simétrica si y sólo si \( \mathcal{R}^{-1}\subset{R} \)

En lo anterior no está definiendo relación inversa, sino que está usandola para dar una equivalencia para que una relación \( \mathcal{R} \) cumpla la propiedad simétrica.

Creo que era esto lo que querías aclarar, si no, comentas lo que quieras.

Está bien

La expresión se puede simplificar del siguiente modo

\( \displaystyle \frac{x^3+xy^2+i(x^2y+y^3)}{x^2+y^2} = \frac{x(x^2+y^2)+ iy(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = x+iy \)

a) Con lo anterior, ya puede juzgar si así definida la función es continua o no en \( z=0 \)

b) También, fácilmente, puedes hablar sobre la función en cualquier \( z\neq0 \).

c) Puedes usar que \( u(x,y)=x \) para \( (x,y)\neq(0,0) \).

Cuando se define una función hay que decir cual es el dominio, ¿sabes cual es el dominio de la función?

Una vez conocido el dominio, se puede estudiar la continuidad en cada punto del dominio.

\( \displaystyle\lim_{r\to0^+} \frac{\tan(r^2)}{r^2} = \lim_{r\to0^+} \frac{\sin(r^2)}{r^2}\cdot\frac{1}{\cos(r^2)} \)

¿Sabes que \( \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)?

Para estudiar continuidad habrá que comprobar si

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) \)

Para estudiar este límite te aconsejo un cambio a polares.

Habiendo comprobado la continuidad en \( (0,0) \), en los demás puntos la continuidad es inmediata por composición y cociente de funciones continuas.