Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - jbgg

Páginas: 1 ... 8 9 10 [11]
201
Pues bien, supongo que tienes la idea de que significa un entorno para un punto x. Entonces la definición de abierto dice que un conjunto es abierto si para todo punto del conjunto podemos encontrar un entorno que esté incluido (contenido) en dicho conjunto. Por ejemplo para el conjunto A, se puede ver que para cualquier punto de A podemos encontrar un entorno de la forma (a,b) tal que \( (a,b)\in A \).

En cambio para el conjunto B, se cumple la negación de la definición de abierto, esto es que existe un punto del conjunto tal que todo entorno del punto tiene alguna parte fuera del conjunto B, eso pasa para el punto x=12. Cualquier entorno que tomemos en 12, va a "cortar" al conjunto B y a la "derecha" (si piensas en la recta real) del conjunto B.

Con respecto a conjunto cerrado, no confundas que un conjunto cerrado es que no es abierto, esto último NO es cierto en general. Puede ocurrir que un conjunto sea abierto y cerrado. Y lo que quiere decir cerrado es que el complementario es abierto. Piensa un poquito en que significa.

Cualquier duda puedes preguntar;)

202
Para ver que no converge tendremos que negar la definición de convergencia, esto es: existe \( \varepsilon >0 \) tal que para todo \( n\in \mathbb{N} \) se verifica que \( |x_n -x_0|\geq \varepsilon \).

Hallá vamos, vamos a probarlo para cada n, para ello diferenciemos para n par y para n impar:

- Para \( n=2k,\ k\in \mathbb{N} \): Tomemos \( \varepsilon=2+|x_0|>0 \), entonces se verifica que \( |x_n-x_0|=|2-x_0|\leq |x_0|+|2|=|x_0|+2=\varepsilon \).

- Para \( n=2k+1,\ k\in\mathbb{N} \): Tomemos \( \varepsilon=|x_0|>0 \), entonces se verifica que \( |x_n-x_0|=|0-x_0|=|x_0|\leq |x_0| = \varepsilon \).

Así queda demostrado para cada n natural.

Perdón por no leer que era por definición.

203
Teoría de Conjuntos / Re: demostracion relaciones y conjunto
« en: 02 Octubre, 2010, 08:56 pm »
Te comento la primera implicación, la recíproca es análoga:

Tomemos \( (b,a)\in R^{-1} \) (con \( a\in A \) y \( b\in B \)), entonces quiere decir que \( (a,b)\in R \), como suponemos que \( R\subset S \), entonces \( (a,b)\in S \), por tanto \( (b,a)\in S^{-1} \). Así demostramos que todo elemento de \( R^{-1} \), está en \( S^{-1} \), hemos demostrado que \( R^{-1}\subset S^{-1} \). Como ves hemos demostrado la implicación hacia \( \Rightarrow \), hemos supuesto lo de la izquierda (que como ves lo hemos utilizado en uno de los pasos) y hemos demostrado la derecha. Sabes hacer la otra?¿
Suerte!

204
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: El elemento neutro
« en: 02 Octubre, 2010, 03:06 pm »
Supongo que hablas de una operación interna, pues bien:

Supongamos que existen dos elementos neutros, \( e,e'\in A \), luego como \( e \) es elemento neutro y \( e'\in A \) por tanto se verifica que \( e*e'=e' \), pero como también \( e' \) es elemento neutro se verifica que \( e*e'=e \), como \( * \) es operación interna para cada par de elementos sólo se tiene un resultado, luego \( e*e'=e=e' \), por tanto \( e=e' \) y el elemento neutro es único.

205
Se puede también demostrar, tomando la subsucesión de los impares y viendo que converge a 0 (ya que es constante), y la subsucesión de los pares que converge a 2 (también es constante). Luego como un límite debe ser único... pues ya lo tienes.

206
Números complejos / Re: Ecuación con números complejos y logaritmos
« en: 28 Septiembre, 2010, 04:01 pm »
Pues ahí va:
\( \\
\mbox{Llamemos, }\\
\log 1 = a+bi, \mbox{ entonces, }\\
e^{a+bi}=1, \mbox{ por la igualdad de Euler se sabe que, }\\
e^a\cdot e^{bi} = 1,\\
e^a\cdot (\cos b+ i\sin b) = 1.
 \)

De esta última ecuación se tiene que \( \cos b \cdot e^a + i\sen b\cdot e^a = 1 \), igualamos parte real y parte imaginaria, y queda que:
\( e^a\cos b=1,\mbox{ y } e^a\sin b = 0 \), como \( a\in\mathbb{R} \), entonces \( e^a> 0 \), luego \( \sin b=0 \), entonces \( b \) puede ser o bien \( 2\pi k \) o bien \( \pi+2\pi k \), en el primer caso \( \cos b=1 \) y en el segundo caso \( \cos b=-1 \). Además como \( e^a>0 \) entonces por la primera ecuación se tiene que \( \cos b>0 \), luego la única solución es que \( b=2\pi k \), luego queda que \( e^a=1 \), como \( a\in\mathbb{R} \), entonces la única solución es que \( a=0 \), luego así se verifica las ecuaciones. Y queda que
\( \log 1=a+bi= 0+2\pi k i= 2\pi k i \)

207
Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Re: Tilde en modo LaTeX en foro
« en: 28 Septiembre, 2010, 12:30 am »
administrador, perdona que no lo haya visto hasta ahora (como era un editado pues no me di cuenta), una posible solución es:

\( \mbox{d}\mbox{ef} \)

208
Números complejos / Re: Ecuación con números complejos y logaritmos
« en: 27 Septiembre, 2010, 11:31 pm »
pues en que en los complejos, \( \log 1= 2\pi k i,\ k\in\mathbb{Z} \).

209
Cálculo 1 variable / Re: Una función f compuesta consigo misma
« en: 25 Septiembre, 2010, 07:29 pm »
Pues la condición que dices de \( a=-d \) es verdadera. Aunque yo lo he hecho más "directo" (no a la inversa xD). He compuesto f en f, y la expresión que resulta de la composición la he igualado a \( x \). Y operando queda la siguiente ecuación:
\( c(a+d)x^2+(a+d)(a-d)x-b(a+d)=0 \), luego para que eso se cumpla para todo \( x \) será para \( a+d=0 \), y queda la restricción que te sale, pero por medio de las operaciones que se le hace a la ecuación, hay otra restricción, ya que queda en un denominador: \( c(a+d)+bc+d^2=0 \), como \( a+d=0 \) entonces queda la restricción así:
\( bc+d^2=0 \), luego queda que \( d^2=-bc \), como he dicho esto queda en un denominador, luego esto no se puede dar, esto es que la restricción es que \( -bc\neq d^2 \). Así que creo que te falta esto último.

210
Googleando he encontrado esto:
http://web.udl.es/usuaris/p4088280/teaching/leccion_mexico.pdf. De aquí puedes cojer alguna idea. Lo he visto por encima y parece que hay distintas aplicaciones. Espero que te inspire.

211
Si has dado grafos planos, pues está la utilidad de colorear un mapa, coloreando el multigrafo dual... junto al teorema de los cuatro colores...

212
Matemática Aplicada / Re: Ejercicios combinatoria
« en: 15 Septiembre, 2010, 03:18 pm »
Do'h! Llevas toda la razón ;)

No lo tomé en cuenta cuando escribí las restricciones...

entonces las restricciones quedan como: \( 0<x_1\leq 9,\ 0\leq x_2,x_3,x_4,x_5\leq 9 \). El razonamiento es el mismo, lo que cambia son algunas cosas.

213
Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Re: Tilde en modo LaTeX en foro
« en: 14 Septiembre, 2010, 07:08 pm »
Si te refieres a no usar el comando \mbox{}, también puedes usar \textrm{}:

\( \textrm{Texto de prueba en \LaTeX} \)

214
Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Re: Tilde en modo LaTeX en foro
« en: 14 Septiembre, 2010, 06:39 pm »
Gracias por la \( \mbox{r\'apida} \) respuesta.

215
Tutoriales y fórmulas con LaTeX / Tilde en modo LaTeX en foro
« en: 14 Septiembre, 2010, 06:27 pm »
Buenas,
mi pregunta es cómo poner la tilde cuando se está en modo LaTeX, porque a mi no me sale, un ejemplo:
\( \\
\mbox{Estoy en \LaTeX y escribo la palabra con tilde: camión.} \) (Si pinchais podeis ver que he escrito en modo \LaTeX toda la frase)

216
Matemática Aplicada / Re: Ejercicios combinatoria
« en: 14 Septiembre, 2010, 05:45 pm »
Vamos a calcular el número de soluciones enteras que tiene la ecuación:
\( \\
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20,\qquad\mbox{donde}\ 0\leq x_i\leq 9,\quad 1\leq i\leq 5 \)
Llamemos R al conjunto de las soluciones que nos piden, esto es en las que todos los sumandos están entre 0 y 9 (incluidos). Pues es más fácil calcular el complementario, es decir la negación, que será el conjunto en el que alguno de los sumandos es mayor estricto que 9, esto es mayor o igual que 10. Llamemos al complementario el conjunto S. Ahora bien el conjunto S se puede calcular su cardinal si lo "despiezamos", como es el conjunto de las soluciones en el que alguno es mayor que 9, pues será la unión de los conjuntos del que el primero es mayor que 9, con el que el segundo es mayor que 9,... así hasta el quinto. Le vamos a llamar \( S_i \), escrito formalmente esto es:
\( \\
S_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_2,x_3,x_4,x_5\geq 0\ \mbox{y}\ x_1>9\}\\
S_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1,x_3,x_4,x_5\geq 0\ \mbox{y}\ x_2>9\}\\
S_3=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1,x_2,x_4,x_5\geq 0\ \mbox{y}\ x_3>9\}\\
S_4=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1,x_2,x_3,x_5\geq 0\ \mbox{y}\ x_4>9\}\\
S_5=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1,x_2,x_3,x_4\geq 0\ \mbox{y}\ x_5>9\} \)

Luego \( S=S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4\cup S_5 \), ahora vamos a aplicar el principio de inclusión-exclusión para hallar el cardinal de la unión, para ello necesitamos el cardinal de cada uno de ellos, el cardinal de las intersecciones dos a dos, el de las intersecciones tres a tres, el de cuatro a cuatro y el de cinco a cinco. Pues bien, parecerán muchas pero no son tantas, ahora veremos, empecemos a calcular el de \( |S_1| \):

Arriba tenemos la definición del cardinal de \( S_1 \), hay que calcular el número de soluciones que cumplen que \( x_1>9 \), esto es \( x_1\geq 10 \), luego cambiamos a \( y_1=x_1-10 \), así quedará que \( y_1\geq 0 \), y cambiamos \( y_2=x_2,\ y_3=x_3,\ y_4=x_4,\ y_5=x_5 \), así queda la ecuación:
\( \\
y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=10 \)
de esta última ecuación ya es fácil hayar el número de soluciones enteras, hay dos formas: \( PR_{14}^{10,4}=C_{14,10}=\binom{14}{10}=\binom{14}{4} \).

Ahora habría que calcular cada \( S_i \), pero si nos fijamos habrá el mismo número de ecuaciones que en \( S_1 \), luego \( |S_i|=\binom{14}{4}=1001 \).

Ahora vamos con las intersecciones dos a dos, vemos que pasa lo mismo, es decir el cardinal de cada conjunto de las intersecciones dos a dos es igual a cualquier otro de las intersecciones dos a dos, así que calculamos el de 2 a 2, se usa el mismo razonamiento que hemos usado antes, esta vez se cambia dos (hazlo para \( x_1 \) y para \( x_2 \), si tienes dudas pues comenta). Así llegaremos a que \( |S_i\cap S_j|=1 \).

Ahora con las intersecciones tres a tres, cuatro a cuatro y cinco a cinco, si se razona de la misma forma se da cuenta que el cardinal es 0 en todos los casos, sólo hay que leer como queda la ecuación y se ve que es imposible que haya soluciones.

Luego entonces ahora sólo queda aplicar el principio de inclusión-exclusión:

\( |S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4\cup S_5|=\binom{5}{1}\cdot 1001+ \binom{5}{2}\cdot 1 + 0 + 0 + 0 \), bueno has visto que he añadido \( \binom{5}{1} \), ese es el número de conjuntos que hay que es 5, y cuando toca con el de dos a dos pongo \( \binom{5}{2} \) este es el número de intersecciones dos a dos (formas de elegir 2 de un conjunto de 5 elementos sin importar el orden y donde no se pueden repetir). Así que haciendo las cuentas anteriores queda:

\( |S|=|S_1\cup S_2\cup S_3\cup S_4\cup S_5|=5\cdot 1001+10\cdot 1= 4995 \).

Este es el cardinal del complementario, ahora hay que calcular el que nos piden realmente, para ello calculamos todas las soluciones enteras que tiene la ecuación y le restamos el número de ecuaciones del complementario (que hemos calculado), el número de soluciones enteras de la ecuación será:
\( \\
C_{24,20}= \binom{24}{20}=10626 \)

Luego lo que nos piden es:
\( \\
10626-4995=5631 \).

217
Matemática Aplicada / Re: Ejercicios combinatoria
« en: 14 Septiembre, 2010, 04:13 pm »
Buenas, la respuesta es la a)5631

Si necesitas saber como se hace comenta y lo explico.

218
Matemática Aplicada / Re: Ejercicios combinatoria
« en: 13 Septiembre, 2010, 02:58 pm »
Para el primer problema:

Tenemos 6 cajas y 7 objetos que son distintos uno de otro. Una condición es que al menos haya un objeto en cada caja.
Luego con la condición que nos dan primero vamos a decidir las formas que hay de repartir en cada caja un objeto...es decir, para la primera caja tendremos 7 objetos, decidido éste, tenemos para la segunda caja 6 objetos... así hasta la sexta caja será: 7·6·5·4·3·2=7!, y ahora nos falta decidir donde colocamos el objeto que nos falta, ésto es elegir una caja de las 6 que hay, es decir \( \binom{6}{1}=\frac{6!}{(6-1)!\cdot 1!}=\frac{6!}{5!}=6 \). Luego, por el principio del producto, 7!·6 formas de repartir los objetos.

Para el siguiente problema:

debemos de plantear la ecuación siguiente:
\(  x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20,\qquad\mbox{donde}\ 0\leq x_i\leq 9,\quad 1\leq i\leq 5 \)
Y hallar el número de soluciones enteras que hay.
Me lo voy a refrescar bien y te lo contesto ;)

Páginas: 1 ... 8 9 10 [11]