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Mensajes - jbgg

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Matemáticas Generales / Re: Determinar extremo y familia de cubos
« en: 27 Junio, 2015, 10:04 pm »
Hola,

para el primero te aconsejo que pienses que el punto medio entre un punto cualquiera \( (x,y) \) y el punto \( (-4,5) \) es \( \frac{1}{2}(x,y)+\frac{1}{2}(-4,5) \), de ahí puedes igualar al punto medio que te dan y deducir \( x \) e \( y \).

Para el segundo, entiendo que se refiere a que buscas todos los polinomios de tercer grado que pasan por dichos puntos. Entonces imaginate que buscas un polinomio que pases por los puntos \( (\alpha_1,\beta_1),(\alpha_2,\beta_2),(\alpha_3,\beta_3) \), con \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \) diferentes. Entonces el único polinomio en la variable \( x \) (llamado polinomio interpolador de Lagrange) es
\( \displaystyle \beta_1\frac{(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)}{(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha3)}+\beta_2\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_3)}{(\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha3)}+\beta_3\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)}{(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha2)} \)

Pero este polinomio sería de segundo grado, si quieres añadir un término de tercer grado pero que no cambie los valores en los puntos deseados debería ser
\( \begin{array}{l}
\displaystyle \beta_1\frac{(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)}{(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha3)}+\beta_2\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_3)}{(\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha3)}+\beta_3\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)}{(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha2)}\\
\displaystyle+\lambda(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha3)
\end{array} \)

donde la familia de polinomios está parametrizada por el parámetro \( \lambda\in\mathbb{R} \).

Espero que esto te sirva.

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Cálculo 1 variable / Re: Convergencia de sucesión
« en: 27 Junio, 2015, 09:47 pm »
Hola,

como tú mismo has dicho, si \( n\geq4 \) entonces

\( \displaystyle\frac{2}{n}\leq\frac{1}{2} \).

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Mi razonamiento es muy parecido, relacionando las distintas raíces del cubo. Por eso te lo comenté de esa manera, pensando los paréntesis como diferentes raíces del cubo y las combinaciones que hay. El razonamiento sería el siguiente:

Si escribimos en forma polar los números \( 2z^2-1=r_1e^{i\theta_1} \) y \( z^2+1=r_2e^{i\theta_2} \), entonces sabemos que \( (r_1e^{i\theta_1})^3=(r_2e^{i\theta_2})^3 \), lo cual ocurre cuando \( r_1^3=r_2^3 \) que como son números reales es lo mismo que \( r_1=r_2 \). Y la relación de los ángulos sí que hay varias (eso viene por las tres raíces cúbicas de la unidad) y entonces habría tres relaciones:
 a) \( \theta_2=\theta_1 \)
 b) \( \theta_2=\theta_1+\frac{2\pi}{3} \)
 c) \( \theta_2=\theta_1+\frac{4\pi}{3} \).

Estudiemos cada caso:
 a) \( z^2+1=r_2e^{i\theta_2}=r_1e^{i\theta_1}=2z^2-1 \)
 b) \( z^2+1=r_2e^{i\theta_2}=r_1e^{i\left(\theta_1+\frac{2\pi}{3}\right)}=r_1e^{i\theta_1}e^{i\frac{2\pi}{3}}=(2z^2-1)e^{i\frac{2\pi}{3}} \)
 c) \( z^2+1=r_2e^{i\theta_2}=r_1e^{i\left(\theta_1+\frac{4\pi}{3}\right)}=r_1e^{i\theta_1}e^{i\frac{4\pi}{3}}=(2z^2-1)e^{i\frac{4\pi}{3}} \)

En todo caso lo único que tenemos que resolver es una ecuación de segundo grado. Si hay alguna duda puedes consultarla.

La conclusión que debes sacar del cálculo es que si dos números complejos cumple que sus cubos son iguales, entonces son iguales salvo un factor de una raíz cúbica de la unidad.

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Hola,
otra forma de intentarlo es, pensando los paréntesis en polares por ejemplo, \( 2z^2-1=r e^{i\theta} \), entonces ¿qué relación tiene la forma polar del otro paréntesis si sabes que su cubo son iguales?

Espero que esto te ayude, sino comenta y lo explico más.

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Buenas tengo el siguiente ejercicio.
Sea \( X \) un espacio normado compacto. Si \( M\subseteq{X} \) es cerrado, pruebe que \( M \) es compacto.
La definición de espacio compacto con la que trabajo es esta:
Un espacio métrico \( X \) es compacto. Cuando toda sucesión \( (x_{n})\subseteq{X} \) tiene una sub sucesión \( (x_{n_{k}}) \) converge a un punto de \( X \)
Bueno yo he trabajado así.
Como \( M \) es cerrado , Para toda sucesión \( (x_{n}) \)contenida en X existe un elemento \( x \) en \( M \) tal que \( x_{n}\rightarrow{x} \) ; \( n\rightarrow{\infty} \)
Por otro lado Como \( X \) es un espacio compacto. Existe un elemento \( w\in{X} \) tal que una sub sucesión de \( (x_{n_{k}})\subset{(x_{n})} \) tal que \( x_{n_{k}}\rightarrow{w} \); \( k\rightarrow{\infty} \)
Lo que me falta ver es que \( x=w \) así \( M \) sería un conjunto compacto. Me parece que se puede hacer por contradicción pero no lo logro , ¿podrían echarme una mano?


Solamente he leido la primera frase, y me he preguntado ¿puede existir un espacio normado compacto?

El único ejemplo que se me ocurre es el espacio vectorial nulo (solamente tiene el cero).

Si \( X \) es un espacio normado y \( X\neq\{0\} \), entonces existe \( x\in X \) no nulo. Si considero la sucesión \( x_n=\frac{1}{n\|x\|}x \), se verifica que toda subsucesión de dicha sucesión no converge, luego \( X \) no es compacto.

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Yo continuaría excribiendo la definición del operador \( T \):

\( \displaystyle\int_\mathbb{R}|T\varphi(t)|^2\;dt = \displaystyle\int_\mathbb{R}|\varphi(t+1)|^2\;dt \).

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¿Sabes que la bola unidad cerrada de un espacio de dimensión finita es compacta?

Espero que te sirva la indicación.

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Cita de: argentinator
Citar
Otra manera de demostrarlo con el conjunto que propones es, tomar el límite en \( \pm\infty \), según algún \( p_i \) sea positivo o todos sean negativos, respectivamente.

Esto ya no funciona.
Si tomamos una lista finita de exponentes \( p_i \), no hay garantías de que sean todos positivos o todos negativos.


A lo mejor no lo tenía que haber puesto en una misma frase, pero en esa frase estoy separando en dos casos (que dan todos los casos), si alguno es postivo (en este caso se toma límite a \( +\infty \)) o si ninguno es positivo (todos son negativos, en este caso se toma límite a \( -\infty \)).

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Cita de: argentinator
Consideremos la familia de funciones \( F=\{f_p; f_p(x)=e^{px}, p\in \mathbb{R}\} \).
Se puede probar fácilmente que todas esas funciones son diferenciables.
Así que \( F\subset V \).

Quisiéramos demostrar que los elementos de F son linealmente independientes entre sí.
Supongamos que no.
Entonces existen constantes no nulas \( c_1, ..., c_n \), y exponentes \( p_1,...,p_n  \) tales que:

\( c_1e^{p_1x}+c_2e^{p_2x}+...+c_ne^{p_nx}=0. \)

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \( p_1< p_2< ...< p_n \), y que \( c_n> 0 \).


Este argumento funciona si algún \( p_i \) es positivo. La demostración funciona tomando el conjunto \( F=\{f_p; f_p(x)=e^{px}, p>0\} \).

Otra manera de demostrarlo con el conjunto que propones es, tomar el límite en \( \pm\infty \), según algún \( p_i \) sea positivo o todos sean negativos, respectivamente.

Solamente lo digo por comentar un detalle, ya se dice que "en los detalles está el demonio" (aunque en este caso no).

Hace tiempo que no leo el foro, pero este subforo siempre lo miro porque me gusta el análisis funcional.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Soluciones de EDO
« en: 27 Octubre, 2013, 02:28 pm »
Yo creo que solución singular y particular es lo mismo. Pero no puedo estar seguro porque no había escuchado antes solución singular, siempre he escuchado solución general y particular.

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¡Hostia!

Me acabo de acordar que en análisis funcional mi profesor dijo que, si \( K \) es compacto, entonces \( C(K) \) (funciones continuas de \( K \) en el cuerpo), es espacio vectorial pero no lo probó. Y la demostración no es trivial (no quiero decir que no sea sencilla).

Perdón por el off-topic, pero hay cosas curiosas.

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Cálculo 1 variable / Re: Integral de funciones trigonométricas.
« en: 26 Octubre, 2013, 10:20 pm »
Sí está bien, si quieres asegurarte por ti mismo puedes derivar tu solución y comprobarlo.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Soluciones de EDO
« en: 26 Octubre, 2013, 09:51 pm »
Tienes que entender que eso es cierto para sistemas lineales.

Entonces en un sistema lineal \( \dot{x}=A(t) x+b(t) \), la solución general del sistema no homogéneo, será la suma de una solución particular y la solución general del sistema homogéneo asociado (que es \( \dot{x}=A(t) x \)).

Si a orden te refieres a la dimensión de la matriz \( A \) entonces sí, para cualquier orden.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Separación de variables EDO's
« en: 26 Octubre, 2013, 09:45 pm »
Si \( |C_2|=1 \) entonces sí está bien. Puedes comprobar que si por ejemplo \( C_2=2 \) entonces no es solución.

Por lo demás, me alegro que vayas comprendiendo las ecuaciones diferenciales ;)

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Perdón si tiene otra interpretación, cuando digo trivial o directa pienso en que escribiendo la definición se tiene el resultado. De todas maneras, gracias por hacerme pensar una tarde aburrida de lluvia.

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¡Vaya!

La suma de funciones continuas siempre es una función continua.

No me pareció trivial esa afirmación e intenté demostrarla, porque me pareció bastante interesante y nunca lo había visto.

Intenté hacerla por preimagen de abierto y no he podido. Al final la he hecho de la siguiente manera.

Spoiler
Sean \( f:X\rightarrow\mathbb{R} \) y \( g:X\rightarrow\mathbb{R} \) funciones continuas. Entonces la función \( (f,g): X\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R} \) definida como \( (f,g)(x) = (f(x),g(x)) \), es continua por la topología producto del producto en \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \). La función \( +:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) es continua. Y \( f+g = +\circ(f,g) \) por composición de continuas \( f+g \) es continua.
[cerrar]

Supongo que habrá manera más directa, pero por lo menos me vale para asegurarme de tu afirmación.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Separación de variables EDO's
« en: 26 Octubre, 2013, 04:34 pm »
Bueno, yo no he comprobado los cálculos.

¿Pero qué significa ambas son solución para ti?

Además, te pregunto yo, ¿porqué te extraña que pueda haber otras posibles (en este caso de elección de signo) cuando tienes muchas más posibles, porque te recuerdo que \( C_1 \) es una constante a determinar?

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Sí, vas bien. Si \( A-2I \) es invertible entonces sólo hay una solución (es lo mismo que hemos aplicado antes con la matriz \( B \) para llegar aquí).

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Vas bien, después de \( B\cdot(A-2I)\cdot x = 0 \), puedes multiplicar por la inversa de \( B \) y obtener la ecuación equivalente \( B^{-1}\cdot B\cdot(A-2I)\cdot x=B^{-1}\cdot0 \), esto es \( (A-2I)\cdot x=0 \). Este paso se puede llevar a cabo porque \( B \) es invertible, en otro caso las ecuaciones no serían equivalentes.

Por cierto, observa que he quitado paréntesis, esto es posible porque el producto de matrices es asociativo.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Separación de variables EDO's
« en: 25 Octubre, 2013, 08:20 pm »
Los teoremas de unicidad indica que un problema de Cauchy tiene solución única, osea cuando se tiene una condición inicial fijada. En este caso depende de que el valor de la variable independiente en el punto inicial sea positivo o negativo, la solución será u otra.

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