Hola a todos. Sólo aportar lo siguiente:

Entonces, la pregunta es: ¿alcanzaría con dar una matriz \( g\in{}GL_2(\mathbb{R}) \) y una matriz \( h\in{}GL_2(\mathbb{C}) \), que verifiquen \( g\,.h\neq{}h\,.g \)?

No. Sólo con esa condición no basta ya que puede que el elemento \( gh \) en la clase izquierda \( gH \) se represente con el elemento \( h^{\prime}g \) en la clase derecha \( Hg \), siendo \( h\neq{h^{\prime}} \). Por ejemplo considera el grupo simétrico de grado 3:

\( S_3= \{(1),(12),(13),(23),(123),(132) \}  \).

Comprueba que \( H=\{(1),(123),(132)\}  \) es un subgrupo normal. Nota además que el elemento \( (12)(123) \) en la clase \( (12)H \) es diferente del elemento \( (123)(12) \) en la clase \( H(12) \). Fijate que en cambio \( (12)(123)=(132)(12) \).

Saludos

Sea \( f  \) un polinomio linealizado con coeficientes en \( \mathbb{F}_{q^n} \) y \( q \)-grado \( k \), digamos \( f=f_0x + f_1 x^q + \cdots + f_{k-1}x^{q^{k-1}} + f_k x^{q^k} \). He demostrado que si el rango de \( f \), visto como transformación lineal, es \( n-k \), entonces \( N(f_0)=(-1)^{kn} N(f_k) \). Debo mostrar ahora que el recíproco no es cierto, para \( k>1 \). Es decir, el hecho que \( N(f_0)=(-1)^{kn} N(f_k) \) no implica que \( f \) tenga rango \( n-k \) ¿Se les ocurre algún contraejemplo?

PD: \( N \) denota la norma del cuerpo \( \mathbb{F}_{q^n} \) sobre el cuerpo \( \mathbb{F}_q \).

De antemano se les agradece cualquier aporte.

Saludos.

Cita de: serpa en 28 Noviembre, 2017, 04:12 am

Cita de: lcdeoro en 28 Noviembre, 2017, 03:19 am

Encontrar todos los homomorfismos de \( \mathbb{Z_8}\ en\ \mathbb{Z_{12}} \), Una idea para saber como hallarlos.

Estos homomorfismos están determinados por la imagen del elemento \( 1_{\mathbb{Z_8}} \)(que es un generador). Entonces, si \( f:\mathbb{Z_8}\longrightarrow{\mathbb{Z_{12}}} \) es un homomorfismo:

1. Como \( 8 \cdot f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(8 \cdot 1_{\mathbb{Z_8}})=f(0_{\mathbb{Z_8}})=0_{\mathbb{Z_{12}}} \), se sigue que \( ord(f(1_{\mathbb{Z_8}})) \mid 8 \).

2. Del mismo modo se sigue que \( ord(f(1_{\mathbb{Z_8}})) \mid 12 \).

\( 8 \cdot f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(8 \cdot 1_{\mathbb{Z_8}})=f(0_{\mathbb{Z_8}})=0_{\mathbb{Z_{12}}} \) en esta parte no entiendo bien, por qué se introduce el 8 dentro de f, luego el 8 operado con \( 1_{\mathbb{Z_8}} \) por qué resulta el \( 0_{\mathbb{Z_8}} \) y por último como se llega a que \( ord(f(1_{\mathbb{Z_8}})) \mid 8 \).

Gracias.

1. \( 8 \cdot f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) +f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) + f(1_{\mathbb{Z_8}}) +f(1_{\mathbb{Z_8}}) = f(1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} +1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}} + 1_{\mathbb{Z_8}})= f(0_{\mathbb{Z_8}})=0_{\mathbb{Z_{12}}} \).

2. En todo grupo \( G \) se cumple: si \( g\in{G} \), con \( ord(g) < \infty \) y \( g^n=e \), para algún \( n\in{\mathbb{N}} \), entonces \( ord(g) \mid n \).


Saludos

Hola a todos! El profesor resolvió un ejercicio y no sé qué hizo:

En un Álgebra de Boole \( (B, \wedge, \vee) \) con primer elemento \( 0_B \) y último elemento \( 1_B \) se verifica \( \overline{a \wedge b} = \overline{a} \vee \overline{b} \).

---

Resolución:

VERDADERO.

\( \overline{a \wedge b} = \overline{a} \vee \overline{b} \Leftrightarrow{} \begin{cases}(1) & \color{red}(a \wedge b) \vee (\overline{a} \vee \overline{b}) & = & 1_B \\ (2) & \color{red}(a \wedge b) \wedge (\overline{a} \vee \overline{b}) & = & 0_B \end{cases} \)

Dem.:
\( (1) \; (a \wedge b) \vee (\overline{a} \vee \overline{b}) = (a \vee b \vee \overline{a}) \wedge (a \vee b \vee \overline{b}) = (a \vee \overline{a} \vee b) \wedge 1_B = 1_B \wedge 1_B = 1_B \).

\( (2) \;  (a \wedge b) \wedge (\overline{a} \vee \overline{b}) = (a \wedge \overline{a} \wedge \overline{b}) \vee (b \wedge \overline{a} \wedge \overline{b}) = \ldots = 0_B \vee 0_B = 0_B \).

---

Entiendo las operaciones que hizo para obtener el primer y último elemento pero no entiendo el por qué de lo rojo. Yo tengo la definición de

Sea \( (B, ≼) \) Álgebra de Boole: \( \forall{}x \in{} B, \exists{}\overline{x} \in{} B: \begin{cases}x \wedge \overline{x} & = & 0_B \\ x \vee \overline{x} & = & 1_B \end{cases} \). ¿No es esto diferente a lo que puse en rojo? Entiendo que tomó \( x = (\overline{a} \vee \overline{b}) \), pero \( \overline{x} \) debería ser \( \overline{x} = \overline{(\overline{a} \vee \overline{b})} \). O sea ¿\( \overline{x} = \overline{(\overline{a} \vee \overline{b})} = (a \wedge b) \) por De Morgan?

Gracias!!

De seguro ya habían demostrado: \( \overline{a\vee b}=\bar{a} \wedge \bar{b} \). Es lo que está usando en la prueba.

Saludos

En un dominio de ideales principales, un ideal es primario si y sólo si es potencia de un ideal primo.

Que tan fácil de ver es este resultado?

Gracias por sus ideas.

Sea \( R \) un dominio de ideales principales y sea \( (a) \) un ideal en \( R \).

1. supongamos primero que \( (a) \) es primario y que además \( a \) no es potencia de un primo. Al ser \( R \) un dominio de factorización única, se tiene que \( a=p_{1}^{n_1}\cdots p_{k}^{n_k} \), para primos \( p_i \in{R} \) distintos dos a dos. Tomemos \( b=p_{1}^{n_1} \) y \( c=p_{2}^{n_2}\cdots p_{k}^{n_k} \). Nota que \( bc \in{(a)} \), pero \( b^n,c^n \not\in{(a)} \), para todo \( n \in{\mathbb{N}} \), lo cual contradice la hipótesis.

2. Supongamos ahora que \( (a) \) es potencia de un primo. Digamos \( (a)=(p)^n \). Entonces \( a=rp^n \), con \( r\in{R} \) (unidad). Entonces podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que \( a=p^n \). Si \( bc \in{(a)} \) y \( b \notin{(a)} \), entonces \( p \mid c \). Luego \( a = p^n \mid c^n \), lo cual implica que \( c^n\in{(a)} \).

Saludos.

Hola. Fijate en esto

Piensa en lo siguiente: si \( G \) es un grupo y \( a \in{G} \) es tal que \( a^2= a  \), entonces necesariamente \( a=e \).

Lo anteiror dice que si en un grupo existe un elemento idempotente, entonces dicho elemento ha de ser el neutro ¿conclusión?


Saludos

Piensa en lo siguiente: si \( G \) es un grupo y \( a \in{G} \) es tal que \( a^2= a  \), entonces necesariamente \( a=e \).



Saludos

Hola a todos! Me gustaría probar o refutar la siguiente proposición:

"En todo grupo existe un único elemento idempotente".

¿Un elemento idempotente es aquél tal que operado consigo mismo por la operación definida en un grupo se obtiene el mismo elemento?

No sabría decir si siquiera es verdadera o falsa (proponiendo un contraejemplo)...

Fernando, Luis, Masacroso, alguno AYUDA!!

De la manera más sencilla por favor,

Gracias!!

Falso. Piensa en el cuatro de Klein. Todos son idempotentes.

Saludos.

¿Alguien? 

Hola.

Cómo puedo demostrar que el grupo diedrico  \( D_6 \) es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2 \) x \( S_3 \) . Tengo una demostración en la que utilizamos que \( S_3 \) es isomorfo a las matrices invertibles 2x2 con coeficientes en \( \mathbb{Z}_2 \)
Muchas gracias de antemano un saludo

Demuestra que en \( \mathbb{Z}_2 \times S_3 \) hay dos elementos \( \alpha \text{ y } \beta \), que satisfacen: \( ord(\alpha)=2, ord(\beta)= 3, \  \alpha \beta \alpha =\beta ^{-1} \).

Luego demuestra que \( \mathbb{Z}_2 \times S_3 = \left<{\alpha , \beta}\right> \).

Saludos.